延期支付與訂購(gòu)量相關(guān)的易腐產(chǎn)品庫(kù)存決策模型

韋才敏,李忠萍,林小蘋

(1.汕頭大學(xué)理學(xué)院,廣東汕頭 515063)

(2.汕頭大學(xué)數(shù)字信號(hào)與圖像處理技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東汕頭 515063)

1　引言

當(dāng)供應(yīng)鏈成員企業(yè)面臨資金約束,而銀行信貸緊縮、資本市場(chǎng)不發(fā)達(dá),企業(yè)如何從成員企業(yè)間獲得內(nèi)部融資來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的運(yùn)營(yíng)決策是供應(yīng)鏈融資管理研究的熱點(diǎn)問題[1].內(nèi)部融資包括提前付款融資模式與延期支付融資模式.針對(duì)延期支付而言,其形式有兩種:在供應(yīng)商為強(qiáng)勢(shì)企業(yè)的情況下,供應(yīng)商為了激勵(lì)零售商的購(gòu)買行為,往往會(huì)給予零售商一些優(yōu)惠策略[2];在零售商為強(qiáng)勢(shì)企業(yè)的情況下,其通過占用上游企業(yè)供應(yīng)商的資金,擴(kuò)大市場(chǎng)規(guī)模來獲得收益[1].

已有很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)有關(guān)延期支付的問題進(jìn)行研究,如Goyal[3]最早構(gòu)建了允許延期支付的EOQ模型,隨后又有不少科研工作者對(duì)該模型進(jìn)行擴(kuò)展.在允許延期支付條件下,Chung[4]發(fā)現(xiàn)了一個(gè)確定EOQ下的定理.在兩階段的信貸策略下,基于EPQ模型框架,Huang[5]獲得了零售商的最優(yōu)補(bǔ)貨決策.在供應(yīng)商提供的延期支付與零售商訂購(gòu)量相關(guān)時(shí),Chen[6]等人建立了零售商的EOQ模型,獲得了最優(yōu)訂購(gòu)量及訂購(gòu)周期.基于EPQ模型框架,針對(duì)變質(zhì)產(chǎn)品,在零售商提前還款及供應(yīng)商給予其現(xiàn)金折扣優(yōu)惠策略下,李明芳[7]等人建立了零售商的庫(kù)存決策模型,獲得了限制條件下零售商的最優(yōu)決策,然而,其是對(duì)變質(zhì)很低的情形下的結(jié)果,在實(shí)際應(yīng)用中有一定的限制.

然而,上述的研究都假定需求率是確定的常數(shù),而實(shí)際中需求往往和零售價(jià)格相關(guān),此種情況下的延期支付問題,也有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究.在數(shù)量折扣與延期支付固定的條件下,Sana[8]等人考慮了需求依賴于庫(kù)存水平、時(shí)間及價(jià)格等背景下,其獲得了零售商的最優(yōu)決策解.針對(duì)隨機(jī)需求情形,在兩水平的信貸策略下,Dye[9]等人建立了確定的EOQ模型,通過粒子群優(yōu)化算法獲得了最優(yōu)零售價(jià)格、補(bǔ)貨數(shù)及補(bǔ)貨策略.針對(duì)需求依賴于價(jià)格的情形,李明芳[10]等人在供應(yīng)商允許延期支付和現(xiàn)金折扣的優(yōu)惠策略下,建立了聯(lián)合庫(kù)決策模型,獲得了零售商的最優(yōu)訂購(gòu)周期、最優(yōu)零售價(jià)格及最優(yōu)付款時(shí)間.梁培培[11]等人建立了需求基于瞬時(shí)庫(kù)存的延期支付庫(kù)存決策模型,并驗(yàn)證了協(xié)調(diào)的必然性.基于延期支付,Shukla[12]等人建立了需求依賴于時(shí)間的EOQ模型,獲得了零售商最優(yōu)訂購(gòu)策略.Shukla[13]等人建立了需求依賴于庫(kù)存水平的EOQ模型,獲得了最優(yōu)訂購(gòu)周期、訂購(gòu)量,實(shí)現(xiàn)了相關(guān)成本的最小化.

在以上文獻(xiàn)中,雖然考慮了需求率和零售價(jià)格、時(shí)間、庫(kù)存水平等相關(guān)下的延期支付庫(kù)存決策問題,但大多在不允許缺貨假設(shè)下進(jìn)行的,且很少考慮延期支付與訂購(gòu)量相關(guān)情形下的庫(kù)存決策模型.為了使模型更接近實(shí)際情況,在以上的文獻(xiàn)基礎(chǔ)之上,針對(duì)單周期內(nèi)市場(chǎng)的需求依賴于零售價(jià)格、允許缺貨發(fā)生的情形,建立了延期支付與訂購(gòu)量相關(guān)的易腐產(chǎn)品的庫(kù)存決策模型.討論了如何制定最優(yōu)缺貨時(shí)間、訂購(gòu)周期及零售價(jià)格,來實(shí)現(xiàn)零售商年利潤(rùn)最大化,并給出了求解該最優(yōu)決策問題的內(nèi)點(diǎn)算法,為零售商在庫(kù)存管理方面提供了理論支持.并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析參數(shù)對(duì)最優(yōu)決策的影響.

2　符號(hào)與假設(shè)

2.1　符號(hào)

模型中所使用的符號(hào)如表1所示.

表1:符號(hào)說明

2.2　假設(shè)

在模型的構(gòu)建中所做的假設(shè)如下:

(1)時(shí)間期限無限;

(2)交貨時(shí)間忽略不計(jì);

(3)允許缺貨發(fā)生,且缺貨量完全延期供給;

(4)僅考慮單一易腐產(chǎn)品,如食品、水果、蔬菜等;

(5)單位時(shí)間市場(chǎng)的需求量D(p)=a?bp,其中a為市場(chǎng)的潛在需求量,b＞0為客戶對(duì)價(jià)格的敏感度;

(6)如果零售商的訂購(gòu)量Q+S≥Qd(Td≤t1),貸款全部獲得延期支付,即零售商允許在延期期限M 償還進(jìn)貨費(fèi)用c(Q+S);如果零售商的訂購(gòu)量Q+S＜Qd(Td＞t1),貸款部分延期支付,可以延期到期限M 的費(fèi)用為αc(Q+S),其余費(fèi)用在訂購(gòu)產(chǎn)品時(shí)立即付清;

(7)在延期期限M 之前零售商將銷售收入存入銀行獲得利息收益,在延期期限M 之后如果零售商不償還貸款,供應(yīng)商將向其收取利息,且Ik＞Ie.

3　數(shù)學(xué)模型

本節(jié)首先獲得t時(shí)刻零售商庫(kù)存水平的表達(dá)式I(t),然后分情況討論零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)表達(dá)式.類似[14],I(t)滿足以下微分方程

滿足條件I(t1)=0,可得微分方程的解為

且滿足

由(3.2)與(3.3)式,可得訂購(gòu)周期內(nèi)零售商庫(kù)存水平隨時(shí)間變化的大致圖形如下.

圖1:零售商庫(kù)存水平變化圖

零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)為ATP=ATP(t1,T,p)=(銷售收入?總費(fèi)用)/訂購(gòu)周期.總費(fèi)用=訂購(gòu)費(fèi)用+庫(kù)存費(fèi)用+腐敗損失費(fèi)用+采購(gòu)費(fèi)用+短缺費(fèi)用+利息收入?利息支出.在一個(gè)周期內(nèi)總銷售收入為pD(p)T,訂購(gòu)費(fèi)用為A,庫(kù)存費(fèi)用為腐敗損失費(fèi)用為c[Q?D(p)t1],采購(gòu)費(fèi)用為c(Q+S),短缺費(fèi)用為其中在貸款延期到達(dá)之前零售商將銷售產(chǎn)品所獲得的收益存入銀行獲得利息收入,而在延期期限到達(dá)之后如果零售商不償還貸款,則其需要支付高額利息費(fèi)用,而對(duì)于訂購(gòu)周期內(nèi)利息收入與利息支出,根據(jù)貸款全部或部分延期支付分為以下兩種情形.

情形1Td≤t1.

情形2 Td＞t1.

圖2:利息收入及支付示意圖

綜合情形1與情形2,可得零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)為

其中

4　最優(yōu)決策分析

本節(jié)針對(duì)延期支付與訂購(gòu)量相關(guān)的易腐產(chǎn)品庫(kù)存決策模型,且允許缺貨發(fā)生,缺貨完全延期供給.以零售商單位時(shí)間內(nèi)的平均總利潤(rùn)最大化為目標(biāo),獲得最優(yōu)零售價(jià)格、最優(yōu)訂購(gòu)周期及最優(yōu)缺貨時(shí)間即最優(yōu)化問題為以下形式

由于(4.1)式是含有約束條件的非線性優(yōu)化問題,由于計(jì)算的復(fù)雜性,因此,很難求得該問題的解析解.接下來,在限制一些條件情況下,獲得該問題的解析解;然后,又提出一種算法來獲取該問題最優(yōu)數(shù)值解.

4.1　易腐率很小時(shí)的最優(yōu)決策

首先,通過一個(gè)定理來說明優(yōu)化問題(4.1)的最優(yōu)解的存在性.然后,當(dāng)產(chǎn)品易腐率很低時(shí),運(yùn)用泰勒展開式定理,在固定T時(shí)獲得最優(yōu)零售價(jià)格及最優(yōu)缺貨時(shí)間表達(dá)式,實(shí)現(xiàn)了零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)最大化.

接下來,通過一個(gè)定理來說明優(yōu)化問題(4.1)的最優(yōu)解的存在性.

定理4.1存在最優(yōu)零售價(jià)格、最優(yōu)訂購(gòu)周期及最優(yōu)缺貨時(shí)間使得ATPi(t1,T,p)達(dá)到最大化.

證由于決策目標(biāo)函數(shù)ATPi(t1,T,p)對(duì)應(yīng)的海塞矩陣為可以判定其對(duì)角線元素H11,H22,H33均小于零,即證.其中

然后,在產(chǎn)品易腐率很低及固定T的情況下,通過一個(gè)定理給出訂購(gòu)周期內(nèi)零售商的最優(yōu)零售價(jià)格及最優(yōu)缺貨時(shí)間的解析解,并實(shí)現(xiàn)了零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)的最大化.

定理4.2當(dāng)T固定,且B2?4AC≥0時(shí),存在最優(yōu)零售價(jià)格及最優(yōu)缺貨時(shí)間使得零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)ATPi(t1,T,p)達(dá)到最大化,且

其中

證在固定T的情況下,決策函數(shù)TPi(t1,T,p)關(guān)于t1,p求一階偏導(dǎo)數(shù),可得

令(4.4)與(4.5)式等于零,可得

由(4.8)與(4.6)式,可得(4.3)式,對(duì)應(yīng)的海塞矩陣為

4.2　易腐率比較大時(shí)的最優(yōu)決策

令x=(p,T,t1),則方程(3.4)中的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為

其中 gik≥ 0(i=1,···,4;k=1,···,4)為不等式約束條件;fi(x)= ?ATPi(t1,T,p),則公式(3.4)可變?yōu)?/p>

通過minf(x)構(gòu)造罰函數(shù),即增廣目標(biāo)函數(shù)的無約束子問題為

為了獲得優(yōu)化問題(4.9)的數(shù)值解,本節(jié)采用內(nèi)點(diǎn)算法[15?17]進(jìn)行計(jì)算,該算法的具體迭代流程圖如下.

圖3:算法流程圖

注4.1以上算法中,罰因子選擇準(zhǔn)則為選取數(shù)列{τk},滿足以下條件

(1)正數(shù)列;

(2)單調(diào)遞減趨于零.

注4.2罰因子的選擇對(duì)該算法有一定的影響,一般來說不能太大也不能太小,當(dāng)罰因子過大,可能會(huì)使問題(4.10)遠(yuǎn)離問題(4.9);當(dāng)罰因子過小,即τk→0,懲罰項(xiàng)→0·∞形式,則會(huì)給增廣目標(biāo)函數(shù)的求解帶來計(jì)算上的困難.

假設(shè)某物品的周需求量為D=100000?5000p千克,每千克該物品的購(gòu)買成本為c=3元,每次固定訂購(gòu)費(fèi)用為A=1000元,每周期每千克該物品的存儲(chǔ)費(fèi)用為h=0.3元,每周期每千克該物品的存儲(chǔ)費(fèi)用為s=2元,該物品的變質(zhì)率為θ=0.01,延期期限為M=0.5周,年利息收益率為Ie=0.09,年利息支付率為Ie=0.13,貸款部分延期支付的比率α=0.75(每周期按365天計(jì)算).運(yùn)用內(nèi)點(diǎn)算法,并借助Matlab2014a軟件進(jìn)行求解,可得最優(yōu)零售價(jià)格、最優(yōu)訂購(gòu)周期及最優(yōu)缺貨時(shí)間的數(shù)值解,及零售商單位時(shí)間的平均總利潤(rùn)最大值如下表2.

表2:各種情形下對(duì)應(yīng)的零售商的最優(yōu)決策

可得,不同情形下,零售商的最優(yōu)訂購(gòu)量為

分析可知在貸款全部獲得延期支付的最小訂購(gòu)量取對(duì)應(yīng)值下,零售商的最優(yōu)缺貨時(shí)間、最優(yōu)訂購(gòu)周期、最優(yōu)零售價(jià)格及訂購(gòu)周期內(nèi)年最大利潤(rùn),如下表3.

表3:貸款全部獲得延期支付最小訂購(gòu)量Qd對(duì)缺貨時(shí)間、訂購(gòu)周期、零售價(jià)格及零售商利潤(rùn)影響

5　數(shù)值分析

本節(jié)通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步分析采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存費(fèi)用、缺貨費(fèi)用及腐蝕率對(duì)最優(yōu)缺貨時(shí)間、最優(yōu)訂購(gòu)周期、最優(yōu)零售價(jià)格及零售商年最大利潤(rùn)的影響,如下表4–7.假設(shè)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值和4.2節(jié)中的相同,不失一般性,僅M ≤t1＜T(Q+S≥Qd)情形下進(jìn)行討論.

表4:采購(gòu)費(fèi)用對(duì)缺貨時(shí)間、訂購(gòu)周期、零售價(jià)格及零售商利潤(rùn)的影響

表5:庫(kù)存成本對(duì)缺貨時(shí)間、訂購(gòu)周期、零售價(jià)格及零售商利潤(rùn)的影響

表6:腐蝕率對(duì)缺貨時(shí)間、訂購(gòu)周期、零售價(jià)格及零售商利潤(rùn)的影響

由表4、5、6可知,最優(yōu)缺貨時(shí)刻隨著單周期內(nèi)固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本及腐蝕率的增加而不變;最優(yōu)訂購(gòu)周期及最優(yōu)零售價(jià)格隨著單周期內(nèi)固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本及腐蝕率的增加而增加;零售商年利潤(rùn)隨著單周期內(nèi)固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本及腐蝕率的增加而減少.

表7:缺貨成本對(duì)缺貨時(shí)間、訂購(gòu)周期、零售價(jià)格及零售商利潤(rùn)的影響

由表7可知,最優(yōu)缺貨時(shí)刻隨著缺貨成本的增加而不變;最優(yōu)零售價(jià)格隨著單周期內(nèi)缺貨成本的增加而增加;最優(yōu)訂購(gòu)周期及零售商年利潤(rùn)隨著缺貨成本的增加而減少.

根據(jù)以上的數(shù)值分析,可以得到以下管理見解:

第一 單周期固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本及腐蝕率越少,缺貨成本越多,則缺貨時(shí)間越短.

第二 單周期固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本及腐蝕率越少,缺貨成本越多,則訂購(gòu)周期越短.

第三 單周期固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本、腐蝕率及缺貨成本越多,則零售價(jià)格越大.

第四 單周期固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本、腐蝕率及缺貨成本越多,則零售商年利潤(rùn)越小.

6　結(jié)論

當(dāng)零售商面臨資金約束,零售商很難從銀行等外部渠道獲得融資時(shí),如何實(shí)現(xiàn)內(nèi)部融資是供應(yīng)鏈金融研究的熱點(diǎn).因此,供應(yīng)商對(duì)零售商提供延期支付優(yōu)惠策略來刺激其訂購(gòu)行為,且延期支付的期限與訂購(gòu)量相關(guān).首先,針對(duì)易腐產(chǎn)品,且允許缺貨發(fā)生、零售價(jià)格影響市場(chǎng)需求量情形下,建立了相應(yīng)的庫(kù)存決策模型.其次,在易腐率很小的情況下,對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行二階泰勒展開,并運(yùn)用微積分及矩陣論知識(shí),在訂購(gòu)周期固定的條件下,獲得了的零售商最優(yōu)缺貨時(shí)間、最優(yōu)零售價(jià)格及年平均最大利潤(rùn)的解析解.然后,在易腐率比較大的情況下,借助內(nèi)點(diǎn)算法,獲得了零售商最優(yōu)決策的數(shù)值解.最后,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析單周期內(nèi)固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本、腐蝕率及缺貨成本對(duì)零售商最優(yōu)決策的影響,可得單周期內(nèi)固定采購(gòu)費(fèi)用、庫(kù)存成本、腐蝕率及缺貨成本越少,對(duì)零售商和客戶越有利.

該模型在實(shí)際生活中有如下幾方面的應(yīng)用價(jià)值:①供應(yīng)商可以根據(jù)日常中的具體情況,通過改變貸款全部獲得延期支付的最小訂購(gòu)量來調(diào)控零售商的訂購(gòu)量.②當(dāng)產(chǎn)品發(fā)生缺貨時(shí),零售商可以確定適當(dāng)?shù)娜必洉r(shí)間、訂購(gòu)周期及零售價(jià)格來實(shí)現(xiàn)其年利潤(rùn)的最大化,為零售商在庫(kù)存管理方面提供了理論支持.③對(duì)易腐產(chǎn)品庫(kù)存管理方面的問題,借助文中的算法可以很容易獲取零售商的最優(yōu)決策.同時(shí),本模型可以進(jìn)一步擴(kuò)展,如解決多階段多產(chǎn)品庫(kù)存問題.

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