數(shù)學實驗工具：助力初中生數(shù)學學習的應然選擇①

董林偉 石樹偉

(1.江蘇省中小學教學研究室 210013；2.江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心 225006)

在20世紀初，數(shù)學的研究和教育存在著一種脫離社會文化的孤立主義傾向，人們錯誤地認為數(shù)學只是少數(shù)天才腦子里想象出來的“自由創(chuàng)造物”，數(shù)學的發(fā)展無須社會文化的推動，其真理性無須實踐的檢驗.這種傾向一直影響著今天的中國數(shù)學教育：數(shù)學教學內(nèi)容過度的形式化，重結果輕過程；數(shù)學教學方式過度的離身性，傾向身心二元論，忽視操作和體驗；數(shù)學教學目標過度的應試化，重解題能力的提升，輕數(shù)學素養(yǎng)的培育.初中生處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，上述傾向導致初中生畏懼數(shù)學，不愿意學習數(shù)學，初中數(shù)學難教、難學.

數(shù)學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學教與學的活動方式，是在教師的引導下，學生運用有關工具，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論、理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學結論的數(shù)學活動[1]，數(shù)學實驗工具的開發(fā)是開展數(shù)學實驗的關鍵和瓶頸.數(shù)學實驗工具可以改變學生學習的數(shù)學知識形態(tài)，改善學生的數(shù)學學習方式，促進學生素養(yǎng)的全面發(fā)展，克服上述數(shù)學教育的孤立主義傾向，是助力初中生數(shù)學學習的應然選擇.

1 借助工具，改變數(shù)學知識呈現(xiàn)形態(tài)

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》指出“課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.課程內(nèi)容的組織要處理好過程與結果的關系，直觀與抽象的關系，直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關系”[2].知識形態(tài)有兩種：感性知識和理性知識，數(shù)學實驗工具的開發(fā)應用，目的就是讓數(shù)學教學內(nèi)容的呈現(xiàn)符合初中生的年齡和心理特征，化理性知識為感性知識，從而讓學生感到數(shù)學可親可近，產(chǎn)生想學數(shù)學的欲望.

1.1 化抽象為直觀

從小學進入初中后，學生的數(shù)學學業(yè)成績開始逐步出現(xiàn)兩極分化現(xiàn)象，部分學生在知識掌握上出現(xiàn)嚴重脫節(jié)，甚至失去數(shù)學學習的信心.這是因為數(shù)學學科的抽象性強，學好這一學科需要學習者具備一定的直接經(jīng)驗的基礎.小學數(shù)學學習內(nèi)容與學生生活非常接近，小學數(shù)學教學重視利用豐富的教學具幫助學生開展數(shù)學學習，進入初中后隨著學習內(nèi)容的抽象程度越來越高，現(xiàn)成的可以直接利用的工具越來越少，部分學生在數(shù)學學習中難以理解抽象的數(shù)學概念和原理，數(shù)學學習產(chǎn)生困難.

學生在校學習的知識多是間接經(jīng)驗，但間接經(jīng)驗的掌握必須以學生自身的直接經(jīng)驗為支撐，數(shù)學知識更需要化抽象為直觀.針對初中生數(shù)學學習兩極分化的難題，新課程強調(diào)數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有機會獲得直接經(jīng)驗，而直接經(jīng)驗的獲得則依賴于學生的操作實驗等外在活動，數(shù)學實驗工具則能夠為學生提供操作探索的素材，從而將抽象的數(shù)學知識轉化為形象直觀的數(shù)學知識，為間接經(jīng)驗的獲取提供直接經(jīng)驗.基于初中生的年齡特點和思維特征，當前為初中生開發(fā)更多的數(shù)學實驗工具就成為一項非常迫切的需求.

1.2 化結果為過程

著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學的呈現(xiàn)方式，“沒有一種數(shù)學的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來.一旦問題解決了，呈現(xiàn)的程序便顛倒過來，使得火熱的思考變成冰冷的美麗.”張奠宙教授曾將數(shù)學知識的形態(tài)分為學術形態(tài)和教育形態(tài)，許多書本上呈現(xiàn)的數(shù)學知識便是邏輯嚴密的學術形態(tài)，呈現(xiàn)出冰冷的美麗，讓學生望而生畏.現(xiàn)在的任務就是把它們重新顛倒過來，使它們以學生容易接受的教育形態(tài)呈現(xiàn)出來，即將冰冷的美麗變成火熱的思考.

借助工具讓學生動手操作、動腦思考，自主探索數(shù)學知識，從而經(jīng)歷知識的形成過程[3]，這樣的數(shù)學學習，學生掌握的知識便是教育形態(tài)的知識，它變結果性知識為過程性知識，其中既有事實性知識，更有策略性知識，既掌握了基礎知識和基本技能，更獲得了基本思想和基本活動經(jīng)驗.

1.3 化靜態(tài)為動態(tài)

人們的數(shù)學觀的演變經(jīng)歷了由靜態(tài)的、絕對主義數(shù)學觀到動態(tài)的、可誤主義數(shù)學觀的發(fā)展過程.所謂動態(tài)的數(shù)學觀，是把數(shù)學看作處于動態(tài)發(fā)展過程中的知識，因而一定包含錯誤、嘗試、改正和改進的過程.動態(tài)的數(shù)學觀認為數(shù)學不是絕對真理的堆積，數(shù)學是在證偽與證實的交替中，螺旋向前發(fā)展的[1].數(shù)學教學應是由不確定知識到確定知識的漸進過程.

數(shù)學實驗工具為學生通過動手動腦“做”數(shù)學來進行數(shù)學學習活動提供了可能.借助工具的數(shù)學學習體現(xiàn)了結果性知識與過程性知識的統(tǒng)一，學生在教師的引導下，親身經(jīng)歷一個概念、規(guī)則的形成過程，通過動作思維和邏輯思維感悟知識發(fā)生過程、理解知識結果；借助工具的數(shù)學學習體現(xiàn)了操作與思維的統(tǒng)一，學生從可視化的數(shù)學內(nèi)容入手，通過動手操作、動腦思考，逐步對直觀的知識進行抽象、推理，最后獲得數(shù)學結論；借助工具的數(shù)學學習體現(xiàn)了實驗與論證的統(tǒng)一，學生先通過動手操作獲得數(shù)學猜想，再通過嚴謹?shù)难堇[推理對猜想進行論證；借助工具的數(shù)學學習體現(xiàn)了證偽與證實的統(tǒng)一，在探尋結論的過程中，證偽起著非常重要的作用，在確定結論的時候，證實又發(fā)揮著決定性的作用.

2 借助工具，改善學生數(shù)學學習方式

課程改革倡導學生的學習方式應由被動接受式學習向主動探究式學習的轉變，強調(diào)“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數(shù)學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”[2].借助實驗工具動手操作、動腦思考，在“做數(shù)學”的過程中學習數(shù)學，符合學生的認知規(guī)律，改善了學生的數(shù)學學習方式，有助于激發(fā)學生學好數(shù)學的信心.

2.1 變被動接受為主動探究

皮亞杰的發(fā)生認識論認為，認識的心理發(fā)生既不是來自先天的遺傳，也不是來自后天的環(huán)境，而是來自主體的行動.無獨有偶，美國學者、學習專家愛德加·戴爾提出了著名的學習金字塔理論，以量化的形式直觀顯示知識學習的規(guī)律：知識再現(xiàn)呈現(xiàn)金字塔型規(guī)律，講授、閱讀、視聽結合、演示、小組討論、實驗操作、快速應用并向他人講授這七種學習方式中，兩周后知識的保持率依次遞增，即講授法的知識再現(xiàn)效果最差，而實驗操作和快速應用并向他人講授的效果最好[1].這七種學習方式逐步從個人學習、被動學習向團隊學習、主動學習轉化，學習者的主體參與性越來越強.

借助工具實驗操作的數(shù)學學習，學生既動腦又動手，手腦并用，內(nèi)外互動，這里不是教師將知識直接展現(xiàn)給學生，讓學生無條件地接受，而是讓學生在“做數(shù)學”的過程中主動探究發(fā)現(xiàn)知識[3].學生的數(shù)學學習變被動接受為主動探究，因為是學生主動學習得來的知識，學生理解透徹、印象深刻，學習效果好，從而促進學習效率的提高.

2.2 變統(tǒng)一化學習為個性化學習

學生在成長發(fā)展的過程中，表現(xiàn)出各不相同的個體差異.認知方式上，既有適應數(shù)學傳統(tǒng)的思辨學習方式的場獨立型，也有弱于思辨學習方式的場依存型；智力類型上，美國教育心理學家加德納提出的多元智力理論認為，人的智力由數(shù)理邏輯智力、空間智力、語言智力、音樂智力、身體動覺智力、人際關系智力、自我調(diào)節(jié)智力、觀察自然智力等因素構成，傳統(tǒng)的數(shù)學學習主要局限于數(shù)理邏輯智力、空間智力、語言智力三個方面，忽視了身體動覺智力對學生數(shù)學學習的至關重要的作用；感知覺類型上，學生接受信息的方式主要有視覺型、聽覺型、動覺型以及各種不同的組合，在主要依靠視聽的前提下，不同的人對不同的感覺器官和感知通道有不同的偏愛，傳統(tǒng)的數(shù)學教學方式下動覺型學生的數(shù)學學習潛力不能得到充分發(fā)揮；性別差異上，通常表現(xiàn)為男生的數(shù)學學習優(yōu)于女生，這與男女生的生理和心理上的性別特征有關[1].

美國當代教育家布盧姆曾指出“教育應是選擇適合兒童的教育，而不是選擇適合教育的兒童.”學生的個體差異是客觀存在的，數(shù)學教學應致力于實現(xiàn)義務教育階段的培養(yǎng)目標，面向全體學生，適應學生個性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.傳統(tǒng)的教學方式強調(diào)步調(diào)一致的數(shù)學學習，不能照顧各種不同認知方式、智力類型、感知覺類型和性別的學生.而數(shù)學實驗工具的使用，則為場依存型學生提供了必要的外界環(huán)境刺激，能充分發(fā)揮身體動覺智力對學生數(shù)學學習的作用，能充分調(diào)動各種感官滿足動覺型學生的學習需要，也順應女生在感知、思維、記憶和解決問題上的特殊性，注重感性形象、細節(jié)把握，彌補她們在理性思維、整體認知、動手操作等方面的不足，使她們在數(shù)學學習中能與男生并駕齊驅.借助工具讓學生動手操作、動腦思考，在“做數(shù)學”的過程中學習數(shù)學，滿足了各種不同類型學生的需要，使學生的個性化學習成為可能.

2.3 變“離身”思辨為具身體驗

傳統(tǒng)認知理論堅持身心二元論的立場和觀點，認為學習過程僅是在大腦內(nèi)進行的，有人稱這種學習為“脖子以上的學習”或“離身”思辨型學習.隨著研究的深入，心理學家們正日益關注人的身體運動參與其中的“具身認知”的研究，認為人的身體在認知的過程中起到了非常關鍵的作用，認知是包括大腦在內(nèi)的身體的認知，認知是通過身體的體驗及其行為活動方式而形成.換句話說，身體運動參與的認知和情感活動，決定其活動的性質(zhì)和成效，如人在忘情吟詩時就會出現(xiàn)渾然不覺地隨詩歌韻律而搖頭晃腦[4].

傳統(tǒng)的身心二元論主導下的教學方式是將純粹理性的知識傳授給學生，只啟動了學生的大腦，人們往往將知識視作一種客觀存在，且不依賴學習主體的不同而接受效果不同，知識是客觀的(不以人的意志為轉移)、確定的(不會變化或比較穩(wěn)定)、間接的(是別人發(fā)現(xiàn)或發(fā)明出來的，自己不參與原初創(chuàng)造)、現(xiàn)成的(由別人準備好的)[4].借助工具的實驗操作性學習從具身體驗性出發(fā)，在信息的輸出輸入和存儲過程中，突出并延長體驗環(huán)節(jié)，通過學習者的感受、覺知及“做中學”等不同的方式，將傳統(tǒng)的視聽課堂轉變?yōu)椴僮餍缘捏w驗過程，將“脖子以上的學習”發(fā)展遷移為全身心融合的學習.因此，借助工具讓學生身體運動參與其中的實驗操作性學習發(fā)揮其獨特的心理功能，提高了數(shù)學學習成效.

2.4 變“半腦”學習為全腦學習

人的大腦分左右兩半球，左半球主要側重于邏輯推理和語言表達，右半球主要側重于空間和形象思維，腦科學研究表明，右腦功能的開發(fā)和利用，對協(xié)調(diào)整個大腦、促進思維的廣度和靈活性有非常大的幫助[1].傳統(tǒng)的數(shù)學學習方式過于偏重邏輯、系統(tǒng)、抽象和理性，較多地使用大腦的左半球，有人稱之為“半腦”學習，導致右腦功能較強的“右腦人”難以在數(shù)學學習上有突出表現(xiàn)，數(shù)學成績相對較差.借助工具通過觸覺、空間知覺、歸納、類比等直覺思維和具體形象思維及動作記憶等認知活動，能使大腦右半球功能充分發(fā)揮，將右半球的直覺與左半球的理性有效融合，激活全腦思維.

人的大腦皮層負責高級的認知和情緒情感活動，它由額葉、頂葉、枕葉和顳葉四個區(qū)域組成，分別有著不同的功能：顳葉以聽覺功能為主，枕葉以視覺功能為主，頂葉以身體感覺功能為主，額葉以軀體運動功能為主，除上述感覺區(qū)和運動區(qū)以外，還有起聯(lián)絡、綜合作用的皮層聯(lián)合區(qū)[1].傳統(tǒng)的數(shù)學學習較多地利用了枕葉和顳葉的視聽功能，借助工具讓學生實驗操作，則充分發(fā)揮了頂葉與額葉的驅體感覺與驅體運動功能，實驗操作過程中多感官的協(xié)同作用又使皮層聯(lián)合區(qū)的功能得到喚醒與激發(fā).這就使大腦皮層各個部位各個區(qū)域的功能充分發(fā)揮，從而大大提高學習的成效.

3 利用工具：促進學生素養(yǎng)的全面發(fā)展

我國數(shù)學教育目標有一個演變的過程，建國后五六十年代是追求雙基，八九十年代是培養(yǎng)能力，新世紀初課標實驗稿提出三維目標，課標修訂后提出四基四能，現(xiàn)在是核心素養(yǎng).這些目標之間并非后者否定前者，而是后者對前者的繼承和發(fā)展.借助數(shù)學實驗工具幫助學生開展數(shù)學學習，一直以來都是促進數(shù)學教育目標達成的有效手段，在當前關注學生核心素養(yǎng)培育的背景下仍然有助于充分挖掘數(shù)學教育的育人功能，促進學生素養(yǎng)的全面發(fā)展.

3.1 有助于形成正確的價值觀念

利用數(shù)學實驗工具開展數(shù)學學習，為學生創(chuàng)設了熟悉的現(xiàn)實情境或數(shù)學情境、科學情境，為學生提供了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的機會，有利于學生充分感悟到數(shù)學來源于生活又服務于生活，充分領略到數(shù)學的科學價值、應用價值和文化價值，增強學習數(shù)學的動力和學好數(shù)學的信心.非智力因素是學習的動力源，激活動力才是有效的學習，數(shù)學學習以實驗工具為載體，集多種感覺器官為一體，其顯著效能是能夠激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動內(nèi)在動機，由此引發(fā)智力參與，同時獲得成功之后的成就感又能使興趣得以持續(xù)，產(chǎn)生一種學習上的“動車效應”[1]，有利于改變學生數(shù)學難學的負面印象，增強繼續(xù)學好數(shù)學的信念.

1996年，聯(lián)合國教科文組織21世紀委員會提出了學習的“四大支柱”即“四個學會”，其中之一是學會共處，即學會共同生活，學會與他人共同工作.世界經(jīng)合組織及美國、歐盟都提出了自己的學生發(fā)展核心素養(yǎng)框架，它們都共同強調(diào)了“能在異質(zhì)社會團體中互動”的素養(yǎng)，要求學生學會與他人合作.學生在開發(fā)數(shù)學實驗工具的過程中有時需要與社會、企業(yè)打交道，向專家、老師請教，與同學合作，在使用數(shù)學實驗工具進行探究學習的過程中與老師、同學合作交流更是必不可少.因此，開發(fā)應用數(shù)學實驗工具有利于學生合作意識和能力的培養(yǎng)，增強對合作交流重要性的認識.

3.2 有助于培養(yǎng)必備的思維品格

利用數(shù)學實驗工具開展實驗操作，是一個動手操作與動腦思考緊密結合、證偽與證實和諧統(tǒng)一、主動探究與意志努力相互促進的數(shù)學學習過程，有利于培養(yǎng)學生的理性思維能力、批判質(zhì)疑的意識和勇于探究的精神，從而促進科學精神素養(yǎng)的培育；有利于培養(yǎng)學生樂學善學、勤于反思的優(yōu)良學習品格和現(xiàn)代公民必須具備的信息意識，從而促進學會學習素養(yǎng)的培育；有利于培養(yǎng)學生的動手實踐意識、問題解決能力和技術運用水平，從而促進實踐創(chuàng)新素養(yǎng)的培育.

3.3 有助于提升關鍵的數(shù)學能力

利用數(shù)學實驗工具幫助學生開展數(shù)學學習，讓抽象的數(shù)學知識變得形象直觀，內(nèi)隱的數(shù)學思維變得可視化，枯燥的技能訓練變得有趣、有意義，有利于基礎知識、基本技能目標的達成，特別是難點知識、重要技能的掌握；借助數(shù)學實驗工具的數(shù)學學習不是結果性知識的直接灌輸，而是一個讓學生動手操作、動腦思考的主動學習的過程，在此過程中學生主動發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，為學生感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗提供了時空和機會.利用數(shù)學實驗工具幫助學生開展數(shù)學學習有利于“四基四能”目標的全面實現(xiàn)，而“四基四能”則是培養(yǎng)學生數(shù)學關鍵能力的沃土，是發(fā)展學生數(shù)學關鍵能力的有效載體.

利用數(shù)學實驗工具動手操作、動腦思考的數(shù)學學習過程，為數(shù)學關鍵能力的培養(yǎng)提供了必要的現(xiàn)實情境或數(shù)學情境、科學情境，提供了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的機會，學生得以從生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，通過實驗操作等手段，從直觀、想象到發(fā)現(xiàn)、猜想，最后得到驗證，從感性到理性掌握數(shù)學概念和命題，使學生親歷數(shù)學知識的建構過程，從而有利于學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等關鍵能力的提升.