善用類比方法 構(gòu)建整體框架
——“分式”單元教學(xué)課的特色與亮點

■卓 斌

此次評優(yōu)課活動中，13位優(yōu)秀選手共同執(zhí)教了“分式”單元教學(xué)課。這種課型作為省級比賽課題是第一次，充分體現(xiàn)了主辦者的大膽創(chuàng)意與精心設(shè)計。為什么要開設(shè)“單元教學(xué)課”呢？省教研室副主任董林偉先生認(rèn)為：一是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。人類學(xué)習(xí)的一般規(guī)律為：先進(jìn)行“前建構(gòu)”，再到局部的深入研究，然后形成整體認(rèn)識，最后通過反思形成“后建構(gòu)”。二是這種課型關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成與關(guān)鍵學(xué)科能力的培養(yǎng)，把隱藏在顯性數(shù)學(xué)知識背后的隱性知識挖掘、抽取出來。譬如，這節(jié)課要著力解決好三個核心問題：1.為什么要學(xué)習(xí)分式？2.學(xué)習(xí)分式的哪些內(nèi)容？3.我們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)分式內(nèi)容？

創(chuàng)新帶來了活力與動力，更帶來了別樣的精彩與創(chuàng)意。所有的參賽教師都能夠關(guān)注“分式”概念的教學(xué)，注重分式知識發(fā)生、發(fā)展、形成的過程性設(shè)計，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)分式知識的必要性與迫切性；都能夠注重數(shù)學(xué)問題的設(shè)計，揭示分式概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，體現(xiàn)分式定義的合理性與科學(xué)性；都能夠注重數(shù)學(xué)活動的設(shè)計，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革，讓學(xué)生成為課堂學(xué)習(xí)的主角；都能夠注重多媒體技術(shù)的輔助作用，讓課堂充滿時代氣息，實現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)手段與數(shù)學(xué)課程的有機(jī)整合；都能夠注重學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，對新課改的深入實施發(fā)揮了良好的示范引領(lǐng)作用。具體的亮點與特色體現(xiàn)在以下幾個方面。

1.注重創(chuàng)設(shè)問題情境，從生活實際或數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識的必要性。

分式概念的產(chǎn)生大致有兩條途徑：一是從生活實際出發(fā)，抽取出一定量的數(shù)學(xué)式子，然后觀察這種式子的共同特征，再抽取其本質(zhì)屬性，進(jìn)而給出“分式”的數(shù)學(xué)定義。

案例1.列式表示下列問題中的數(shù)量：

（1）如果我市人口總數(shù)為a人，綠地面積為b平方米，那么該市人均擁有綠地 平方米。

（2）有兩塊水稻田，一塊面積為a公頃，產(chǎn)水稻m千克；另一塊面積為b公頃，產(chǎn)水稻n千克，這兩塊水稻田平均每公頃產(chǎn)水稻 千克。

（3）某市到鹽城220千米，一輛客車從該市開往鹽城速度為x千米/小時，需要 小時；一輛小轎車也從該市開往鹽城，速度比客車每小時快10千米，則小轎車到達(dá)目的地需要 小時。

案例2.開門見山地提出問題：兩個整數(shù)相除，結(jié)果有哪些形式？兩個整式相除，結(jié)果又有哪些形式？

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：任意兩個整數(shù)相除不一定是整數(shù)，也可能得到分?jǐn)?shù)。并舉出正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)等這樣的運算結(jié)果。兩個整式相除，有可能得到類似于，，，的一些式子。

基于此，分式概念產(chǎn)生的另一種途徑就是從整式四則運算的封閉性出發(fā)。整式是分式產(chǎn)生的另一個生長點，整式對于加法、減法、乘法具有封閉性，但是兩個整式相除運算時，會產(chǎn)生一類數(shù)學(xué)式子不在整式范疇內(nèi)，很值得研究，從而由數(shù)學(xué)內(nèi)部運算的封閉性提出了研究分式的必要性。

2.注重抽取分式概念的基本要素，讓學(xué)生經(jīng)歷分式概念的建構(gòu)過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。

在給出幾個分式之后，如何自然合理地、獨立自主地建構(gòu)分式的概念，成為必須面對的一個難題。其中較好的處理方式之一就是列表對比。

案例3.請觀察分?jǐn)?shù)與新式子之間的相同點是什么，分子與分母的不同點有哪些，并完成下表。

類別相同點不同點 分子分母分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的形式整數(shù)整數(shù)新式子整數(shù)或者含有字母含有字母

通過列表不難發(fā)現(xiàn)，“新式子”具有以下三個特征：一是具有分?jǐn)?shù)的形式；二是分母中含有字母；三是分子中可以是整數(shù)，也可以含有字母。從而學(xué)生基本上能夠自主地給出“分式”的定義：

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數(shù)式叫作分式。

3.注重溫故知新，借助類比的方法，構(gòu)建分式內(nèi)容的整體框架。

單元教學(xué)課的“重頭戲”就是引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)這一章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。解決這一個問題的關(guān)鍵點就是找到新知識的生長點與培養(yǎng)基，大多數(shù)選手不約而同地想到“分?jǐn)?shù)”。通過引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)階段學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的哪些內(nèi)容，基本邏輯順序是什么，最終得到“分?jǐn)?shù)”一章的內(nèi)容框架為：定義——基本性質(zhì)（約分、通分）——四則運算（加法、減法、乘法、除法）——應(yīng)用（解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題）。

借助合情推理中的類比方法，從而得到“分式”一章可能的學(xué)習(xí)內(nèi)容有：定義——基本性質(zhì)（約分、通分）——四則運算（加法、減法、乘法、除法）——應(yīng)用（解分式方程）。

4.注重設(shè)計各類活動，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，展示分式內(nèi)容的學(xué)習(xí)成效。

在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過數(shù)學(xué)游戲，動手操作，歸納概括等方式，展示數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，以及新授內(nèi)容的學(xué)習(xí)成果。

案例4.按照要求拼一拼，想一想。材料為：全等的長方形紙片若干張。操作方法如下：

（1）1張長方形紙片的面積為b m2，一邊長為?a m，則另一邊長為 m；

（2）2張長方形紙片的面積為2b m2，一邊長為2a m，則另一邊長為 m；

（3）3張長方形紙片的面積為3b m2，一邊長為3a m，則另一邊長為 m；

（4）n張長方形紙片的面積為nb m2，一邊長為na m，則另一邊長為 m。

式的分子、分母同時乘或除以一個不為0的數(shù)，分式的值不變。

案例5.數(shù)學(xué)游戲：小組同學(xué)到組長處，從口袋中任意抽取兩張卡片，并將抽到的兩張卡片組成分式（分?jǐn)?shù)線可直接使用，不需抽?。?。接著，選出兩個分式，在小黑板上進(jìn)行加、減、乘、除中的任意一種運算，小組內(nèi)交流運算法則。

通過一系列數(shù)學(xué)游戲，學(xué)生掌握了分式的概念，設(shè)計了分式的各種運算，并且借助小組的力量，討論了分式四則運算法則。課堂氣氛活躍、熱烈，生成了很多原生態(tài)的成果。

5.注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，依托類比與轉(zhuǎn)化，解決了新知識的學(xué)習(xí)方法問題。

13節(jié)課的共性優(yōu)點就是，都能夠把類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法貫穿于研究“分式”內(nèi)容的始終。有的用分?jǐn)?shù)與分式進(jìn)行類比，有的用整式與分式進(jìn)行類比，把代數(shù)對象的研究經(jīng)驗進(jìn)行了合理的遷移，取得了良好的效果。

大多數(shù)學(xué)生通過回憶七年級學(xué)習(xí)的“一元一次方程”這章內(nèi)容，能夠大膽地為這個方程命名“分式方程”。至于如何解方程，有的學(xué)生提出了“根據(jù)等式性質(zhì)，去掉分母，轉(zhuǎn)化為一元一次方程”的構(gòu)想，既合情合理，又具有創(chuàng)意，展現(xiàn)了活學(xué)活用的本領(lǐng)。類似的情景，在分式的通分與約分、分式的四則運算中都有生動的體現(xiàn)，可謂是順理成章，水到渠成。

6.注重反思與總結(jié)，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與活動中撈足油水，積累了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

“編簍編筐，重在收口”。每位選手都十分重視反思與總結(jié)環(huán)節(jié)。有的教師帶領(lǐng)學(xué)生歸納了分式概念的學(xué)習(xí)框架：為什么要學(xué)習(xí)這個概念，學(xué)習(xí)了分式的哪些內(nèi)容，采用了什么方法來學(xué)習(xí)，有的教師幫助學(xué)生梳理了按照什么樣的思路研究分式這一章知識；有的教師讓學(xué)生談一談這一節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲及困惑。

當(dāng)然，課堂教學(xué)永遠(yuǎn)是一門遺憾的藝術(shù)。譬如，有個別教師在情境設(shè)計方面不夠合理，或者不夠貼近學(xué)生的生活常識，或者選取的實例缺少代表性與普遍性。有個別教師在借班上課的情況下，不能自然地順應(yīng)學(xué)生的思路展開教學(xué)，忽視學(xué)生本身的認(rèn)知需求，更多地按照預(yù)設(shè)的程序進(jìn)行教學(xué)，師生之間互動不夠順暢等。

結(jié)合這次課堂教學(xué)觀摩活動，給予青年教師三點建議：一是數(shù)學(xué)教學(xué)首先要理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教材與課程標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學(xué)是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。二是數(shù)學(xué)教學(xué)要理解學(xué)生。理解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，以此找到學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的認(rèn)知起點，進(jìn)而找到生長點與發(fā)展點。充分預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時可能遇到的障礙。三是數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教學(xué)。要站在學(xué)生的立場思考問題，更為重要的是你的學(xué)生是如何思考問題的，要努力改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)所在，精髓所在！

編后：在本次賽課活動中，江蘇省教研室副主任、特級教師、教授級高級教師董林偉表示，“圖形的運動”一課涉及的兩組活動能充分展示學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生在生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上經(jīng)歷操作、觀察、抽象與分析的活動過程，感受圖形的運動方式，發(fā)展空間觀念與抽象能力、感悟基本數(shù)學(xué)思想。這種基于學(xué)生自主的學(xué)習(xí)活動，不僅能幫助學(xué)生獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗，還能幫助學(xué)生掌握良好的學(xué)習(xí)方法，提高數(shù)學(xué)思維能力，形成數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)?！胺质健眴卧w建構(gòu)教學(xué)是本次賽課活動中推出的一種新的教學(xué)方式，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)下教學(xué)方式的重要轉(zhuǎn)變。單元整體建構(gòu)式教學(xué)不同于以往以關(guān)注知識為主的教學(xué)方式，而是引導(dǎo)學(xué)生運用已有知識、方法與經(jīng)驗，通過類比的方法，對即將學(xué)習(xí)的新內(nèi)容進(jìn)行整體建構(gòu)，這種建構(gòu)不是第一節(jié)課內(nèi)容的教學(xué)，也不是整章知識的教學(xué)，而是通過教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對一章或一個單元進(jìn)行整體把握。單元整體建構(gòu)式教學(xué)方式契合了新課程改革提出的發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)。這次賽課的主題與形式是新教學(xué)方式的嘗試，必將引領(lǐng)江蘇初中數(shù)學(xué)課改的方向。