關(guān)于幾何起始內(nèi)容教學(xué)的思考

■徐德同

2017年11月，筆者有幸作為評(píng)委參加了江蘇省初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)。本屆評(píng)比活動(dòng)精彩紛呈，在省內(nèi)外都產(chǎn)生了較大影響，已成為研究課堂教學(xué)問題，探討課堂教學(xué)規(guī)律，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的重要平臺(tái)，無論對(duì)參賽教師還是觀摩教師來說都是一次盛宴，是個(gè)人成長(zhǎng)最好的催化劑。優(yōu)課觀摩與評(píng)比活動(dòng)“重在學(xué)習(xí)，重在過程，重在交流，重在研究”的活動(dòng)宗旨也深入人心。優(yōu)課觀摩與評(píng)比活動(dòng)的課題之一是蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第5章第2節(jié)“圖形的運(yùn)動(dòng)”。總體上看，每一位開課的教師都很好地詮釋了對(duì)幾何起始內(nèi)容和幾何教學(xué)的理解，讓筆者領(lǐng)略了我省各地課堂教學(xué)改革的理念和青年教師英姿颯爽的風(fēng)采，也引發(fā)了筆者更多的思考。

一、為什么學(xué)幾何？

平面幾何知識(shí)的產(chǎn)生幾乎與人類文明史同步，項(xiàng)武義教授在《基礎(chǔ)幾何學(xué)》中說：幾何學(xué)是人類理性文明對(duì)于我們和大自然中的萬物萬象共存于其中的空間“認(rèn)識(shí)論”。幾何學(xué)的課題就是研究、理解空間的本質(zhì)，它是我們研究大自然、理解大自然的自然起點(diǎn)和基石，它也是整個(gè)自然科學(xué)的啟蒙者和奠基者，是理所當(dāng)然的第一科學(xué)。不論是在自然科學(xué)的發(fā)展順序上，還是在全局的基本重要性上，幾何學(xué)都是當(dāng)之無愧的先行者和奠基者，是其他科學(xué)思想和方法論的自然發(fā)祥地。

幾何學(xué)的發(fā)展大體上可以分為四個(gè)階段：實(shí)驗(yàn)幾何、推理幾何、坐標(biāo)幾何和向量幾何。七年級(jí)的孩子學(xué)幾何入門處于實(shí)驗(yàn)幾何向推理幾何發(fā)展階段。理解幾何學(xué)的重要性和初、高中幾何學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)的幾何發(fā)展階段，對(duì)我們的教學(xué)是有幫助的。

二、怎么教幾何起始課？

教師都有這樣的體會(huì)，幾何難教，難在三處：入門難、論證難、表達(dá)難。三難中尤其要處理好入門難。不解決好這個(gè)首要的問題，影響學(xué)生的不僅是知識(shí)的掌握，更有可能導(dǎo)致從開始就產(chǎn)生對(duì)幾何的畏懼，甚至導(dǎo)致對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的抵觸，那真是因小失大了。如何進(jìn)行幾何起始課的教學(xué)？提幾點(diǎn)想法供大家參考。

1.幾何起始課教學(xué)要從直觀感知開始。

幾何是有嚴(yán)格邏輯體系的一門學(xué)科，它從基本的不加定義的概念和公理出發(fā)，以推理為思維方式。演繹幾何中的點(diǎn)、線、面是一個(gè)抽象的概念，也是基本的概念，是研究幾何學(xué)的基本元素。從數(shù)學(xué)的邏輯來講，應(yīng)該從基本概念出發(fā)，研究它的性質(zhì)，一直推演下去。為什么？因?yàn)閹缀问枪眢w系，公理體系就應(yīng)該以公理為起點(diǎn)。但實(shí)踐證明，這樣做是不行的。開始就是基本元素，就是公理，就是高度抽象的結(jié)果，必然會(huì)扼殺大多數(shù)學(xué)生的想象力、扼殺他們對(duì)數(shù)學(xué)美好的感受和期盼，幾何就會(huì)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸，學(xué)生入門就產(chǎn)生懼怕，學(xué)習(xí)必然有問題。這就是矛盾。數(shù)學(xué)的本來邏輯不適應(yīng)學(xué)生的心理基礎(chǔ)，怎么辦？只好從三維空間開始，讓學(xué)生感受一下多姿多彩的圖形，感受由點(diǎn)、線到面，到圖形的運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槿S空間是我們現(xiàn)實(shí)的生活，是學(xué)生首先感知到的。所以，幾何學(xué)習(xí)應(yīng)該從直觀感知開始：感受流星劃過的光線，感受雨刷刷過的扇面，感受旋轉(zhuǎn)形成的球面。在幾何教學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中當(dāng)孩子的認(rèn)知水平、理解能力和數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)產(chǎn)生矛盾時(shí)，我們往往犧牲數(shù)學(xué)的邏輯性，首先考慮孩子們已有的認(rèn)知，要做到先激趣再明理。

總體來說，參加本次優(yōu)課展示的教師都能注意創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的情境，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)源于生活，源于實(shí)際。

2.幾何起始課教學(xué)要重視抽象和概括。

平面幾何中的概念基本上來源于我們生存的空間，我們要通過豐富的、現(xiàn)實(shí)的、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的實(shí)例揭示幾何概念的形成過程，要讓孩子們感悟出實(shí)物和數(shù)學(xué)概念的區(qū)別和聯(lián)系，要能夠讓孩子們逐步明白所謂抽象和概括就是數(shù)學(xué)化的過程，也就是忽略事物的顏色、密度、厚度、材質(zhì)等物理屬性而抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性。知其然更知其所以然，才是教育教學(xué)的要義所在。

某日聽七年級(jí)“線段、射線與直線”一節(jié)課，教師采用的是先學(xué)后討論的教學(xué)模式，把本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容先錄制成10分鐘的微視頻，微視頻中教師解讀了什么是線段、什么是射線、什么是直線，三者有什么樣的區(qū)別，怎樣數(shù)線段的個(gè)數(shù)等，上課前一天的晚上由學(xué)生自行觀看視頻并完成一定量的自學(xué)檢測(cè)。第二天的課主要討論檢測(cè)題，教師根據(jù)每題的答題情況邀請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)評(píng)論。學(xué)生表現(xiàn)得很踴躍積極，對(duì)題目的討論也很有深度。課后筆者問了某個(gè)學(xué)生一個(gè)問題：“鉛筆是線段嗎？”他先愣了愣，反問我：“有長(zhǎng)度限制嗎？”“鉛筆當(dāng)然是定長(zhǎng)的。”我說。“那鉛筆就是線段。”他很肯定地回答。

這些由現(xiàn)實(shí)對(duì)象或?qū)嵨镏苯映橄蠖傻母拍钆c現(xiàn)實(shí)如此貼近，以致人們常常將它們與現(xiàn)實(shí)原型不分彼此、混為一談。教師在教學(xué)過程中要讓學(xué)生感悟這些概念是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或?qū)嵨锏摹皵?shù)學(xué)化”抽象，體會(huì)并逐漸內(nèi)化這種數(shù)學(xué)抽象意識(shí)很重要。張奠宙先生在《我親歷的數(shù)學(xué)教育》一書中講了一個(gè)小故事：某知名老教師有位學(xué)生是上海飯店的電工，發(fā)現(xiàn)在地下室控制10層以上房間空調(diào)的溫度不準(zhǔn)，分析之后，原來是使用三相電時(shí)，連接地下室和空調(diào)器的電纜長(zhǎng)度不同，因而電阻也不同，剩下的問題是：如何用萬用表測(cè)量這三根電纜的電阻？直接測(cè)量顯然不行，因?yàn)槿f用表沒有這么長(zhǎng)的導(dǎo)線。電工在草稿紙上畫了一張圖，如圖1所示，很快想出了辦法，在房間里把電纜的上端兩兩相連，在地下室很容易測(cè)出兩根電纜的電阻和，分別記為a，b，c，接下來只要解方程組即可。這樣的方程誰都會(huì)解，但是，能夠把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，抽象出圖1和方程組，才是真正的創(chuàng)造！史寧中教授也指出：數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)有三個(gè)：抽象、推理和模型。通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。

圖1

“三根電纜”的故事堪稱數(shù)學(xué)教育的經(jīng)典之作，它告訴我們數(shù)學(xué)教育的意義不僅僅在于解題，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，能用“數(shù)學(xué)的眼光”去觀察思考，這種“眼光”可能就是人們常說的離開學(xué)校多少年之后大多數(shù)知識(shí)都忘了，留下的是深深植根于思維中的“意識(shí)”。

3.幾何入門課教學(xué)要突出動(dòng)手實(shí)踐和操作。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游戲、騎自行車是一樣的，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示，是學(xué)不會(huì)的?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確指出：認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流都是學(xué)習(xí)的重要方式。這就是說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要考慮數(shù)學(xué)本身特點(diǎn)，更要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生通過操作—觀察—探索新知（解決問題）—總結(jié)反思等流程親歷知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，在學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，促使他們?cè)趩栴}解決能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)上獲得發(fā)展。

從本次優(yōu)課評(píng)比中，我們欣喜地看到，參賽教師都能設(shè)計(jì)貼近于學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過觀察、操作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律。諸多課堂中，教師通過做一做、拼一拼、看一看、折一折、移一移、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)等活動(dòng)，讓學(xué)生感悟線段、射線和直線的形成過程，感悟圖形的三種運(yùn)動(dòng)方式。同時(shí)，參賽教師設(shè)計(jì)了各式各樣的教具和學(xué)具，既簡(jiǎn)單又有效，既提升了孩子們動(dòng)手實(shí)踐能力又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生直觀形象地理解知識(shí)提供了很好的幫助。

4.幾何起始課教學(xué)要重視三種語言的轉(zhuǎn)換。

數(shù)學(xué)有三種語言，文字語言、符號(hào)語言和圖形語言，在平面幾何入門課階段，學(xué)生初次接觸這些語言，一時(shí)難以區(qū)分，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象在所難免。比如，有的學(xué)生雖然能背誦“兩點(diǎn)之間線段最短”這句話，但讓學(xué)生在給定的圖形中，找出這句文字對(duì)應(yīng)的圖形時(shí)，往往不能正確地找出來。幾何入門課的教學(xué)一定要重視三種語言之間的轉(zhuǎn)換，尤其要著力培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)語言的描述畫出圖形的能力，依據(jù)語言的描述畫出圖形是動(dòng)手做的一種重要形式和有效途徑。要逐步幫助學(xué)生建立“畫圖是一種解決問題的有效策略”的意識(shí)，使學(xué)生體會(huì)到作圖的價(jià)值，圖形特征越畫越深入，數(shù)量關(guān)系越畫越清楚，思路越畫越清晰，思考越畫越深入。

當(dāng)然，教無定法，幾何入門課教學(xué)的話題應(yīng)該是一個(gè)永恒的話題，任何想法都需要考慮幾何學(xué)科特點(diǎn)：圖形直觀與演繹推理相結(jié)合。圖形直觀是演繹推理的有力支撐，忽視圖形直觀，學(xué)生的思維特征、幾何的教育功能都不能充分展現(xiàn)。荷蘭學(xué)者赫爾曾提出幾何思維發(fā)展模式，認(rèn)為幾何學(xué)習(xí)依次經(jīng)歷直觀、分析、抽象、演繹、嚴(yán)密等五個(gè)水平，這為我們進(jìn)行幾何入門課的教學(xué)也提供了一定的參考。同時(shí)我們也要認(rèn)識(shí)到，幾何學(xué)習(xí)需要邏輯思維和形象思維相互協(xié)調(diào)，它既是演繹推理教學(xué)的載體，也是創(chuàng)造性教學(xué)的平臺(tái)。