集合語(yǔ)言在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用

張安玲

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

1 引言

實(shí)變函數(shù)的一個(gè)典型特征是常常需要用集合論的語(yǔ)言描述函數(shù)的性質(zhì)，并懂得兩種不同語(yǔ)言之間如何進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。掌握函數(shù)論語(yǔ)言與集合論語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，有助于學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)知識(shí)[1]。

連接函數(shù)與集合之間最基本的橋梁是集合的特征函數(shù)：

函數(shù)χE（x）稱(chēng)為集合E的特征函數(shù)，利用這個(gè)函數(shù)可以在函數(shù)的性質(zhì)與集合的性質(zhì)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。例如集合序列的極限所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)與特征函數(shù)的極限是相同的，前者是集合極限的語(yǔ)言，后者則是函數(shù)極限的語(yǔ)言。

2 用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)

用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)，是實(shí)變函數(shù)中的常用方法之一。

例：若f（x）在R上有定義，且在[a，b]上有上界M，即任意對(duì)x∈[a，b]有f（x）≤M。

上述函數(shù)性質(zhì)用集合語(yǔ)言表示為：[a，b]?{x：f（x）≤M}。

例：若f（x）在R上連續(xù)，即任意取定x0∈R，對(duì)?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)｜x-x0｜＜δ時(shí)，有｜f（x）-f（x0）｜＜ε。

用集合語(yǔ)言表示為：

例：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

用集合語(yǔ)言表示為：。

例：在集合E上f（x）≠g（x）。

f（x）=g（x）在集合E上幾乎處處成立。

3 用集合運(yùn)算的語(yǔ)言描述函數(shù)列性質(zhì)

需要搞清楚分析語(yǔ)言中的“存在”、“任意”與集合運(yùn)算之間的關(guān)系。所謂存在，只需有一個(gè)成立就可以，所謂任意則是指對(duì)所有的都成立。所以“存在”對(duì)應(yīng)集合的“并”運(yùn)算，“任意”對(duì)應(yīng)集合的“交”運(yùn)算[2]。

例：設(shè){fn（x）}是定義在E上的函數(shù)列。若x∈E，則{fn（x）}有界的充要條件是存在M＞0，使得對(duì)任意n，|fn（x）|≤M。

注：與“存在”相對(duì)應(yīng)的是并集運(yùn)算，與“任意”相對(duì)應(yīng)的交集運(yùn)算。

用集合語(yǔ)言表示為：{有界

數(shù)學(xué)分析中的很多定義、命題涉及“任意”和“存在”這兩個(gè)邏輯量詞，它們的否定說(shuō)法是把“任意”改為“存在”，而把“存在”改為“任意”。在集合論中，德摩根公式很好地反映了數(shù)學(xué)分析中這種論述的合理性[2]。

例：設(shè){fn（x）}是定義在E上的函數(shù)列，若x是使{fn（x）}收斂于0的點(diǎn)，則對(duì)任意ε＞0，存在N∈￥，使得對(duì)任意n≥N，{fn（x）}＜ε。

用集合語(yǔ)言表示為：

上述的ε＞0可以取任意的值，但是集合的運(yùn)算通常僅限于最多可數(shù)次，所以需要用一個(gè)可數(shù)的序列去替換。事實(shí)上，如果a＞ε＞0，只要k充分大，必有，反之，如果存在k，使得，只要取就可以有a＞ε了。

所以上述兩個(gè)分別可以寫(xiě)成

用集合語(yǔ)言表示為：

例：若{f（nx）}是定義在R上的一列函數(shù)，（x）=+∞，則對(duì)任意的M＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，有fn（x）＞M。

用集合語(yǔ)言表示為：

也可以描述為：

4 用集合語(yǔ)言描述不收斂點(diǎn)集

在實(shí)變函數(shù)中有幾個(gè)重要定理，一個(gè)是反映一致收斂與幾乎處處收斂關(guān)系的葉果洛夫定理，另一個(gè)是反映依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂關(guān)系的里斯定理，再一個(gè)是幾乎處處收斂與依測(cè)度收斂關(guān)系的勒貝格定理。這三個(gè)定理都與函數(shù)的逼近有關(guān)，所有這些定理的證明都涉及一個(gè)基本問(wèn)題：函數(shù)序列的收斂狀況如何？換句話說(shuō)，函數(shù)序列在哪些點(diǎn)是收斂的，在哪些點(diǎn)是不收斂的。

要完成上述諸定理的證明，最關(guān)鍵的一個(gè)步驟是需要將上述函數(shù)論語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成集合論語(yǔ)言，也就是說(shuō)，需要用集合的方式將不收斂的點(diǎn)集表示出來(lái)[3]。

在E上{fn（x）}不收斂于f（x）用集合語(yǔ)言描述為或極限不存在

葉果洛夫定理?xiàng)l件：{fn}是E上一列a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的函數(shù)f的可測(cè)函數(shù)。{fn}不收斂于函數(shù)f的點(diǎn)集是

{fn}a.e.收斂于函數(shù)f，用集合語(yǔ)言表示為：對(duì)任意固定的 k，有

a.e.有限的函數(shù)f用集合語(yǔ)言表示為

里斯定理：設(shè)在E上{fn（x）}依測(cè)度收斂于f（x），則存在子列在E上a.e.收斂于f（x）。證明思路：

勒貝格定理與葉果洛夫定理的條件是一樣的，由葉果洛夫定理可知，對(duì)?ε＞0，存在可測(cè)子集e?E，使得me＜ε 且在Ee上一致收斂于f（x）。由一致收斂定義可知，對(duì)?σ＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n≥N 時(shí)，對(duì)?x∈Ee，恒有成立，從而。

5 結(jié)束語(yǔ)

用集合語(yǔ)言描述函數(shù)性質(zhì)以及用集合運(yùn)算語(yǔ)言描述函數(shù)列性質(zhì)是實(shí)變函數(shù)中常用的方法，掌握好這種方法，能理解實(shí)變函數(shù)中許多定理的證明，有助于學(xué)好實(shí)變函數(shù)。