內(nèi)嚙合齒輪泵排量的精確計(jì)算

郭善新，張 禹，余運(yùn)龍，陳達(dá)貴，關(guān)翔鋒

（1.福建江夏學(xué)院電子信息科學(xué)學(xué)院，福建福州350108；2.有機(jī)光電子福建省高校工程研究中心，福建福州350108）

內(nèi)嚙合齒輪泵作為一種容積式泵，其流體輸送性能與輪齒幾何形狀和齒輪副傳動(dòng)直接相關(guān)。工程上一般根據(jù)齒輪參數(shù)采用近似計(jì)算，某些特定場(chǎng)合需要精確計(jì)算泵的排量。2007年蘭州理工大學(xué)的葉清提出一種比較便捷的近似公式估算內(nèi)嚙合泵排量[1]。2009年蘭州理工大學(xué)的劉志剛與楊國(guó)來(lái)用力矩法推導(dǎo)出內(nèi)嚙合泵的瞬時(shí)流量公式[2]。2012年浙江大學(xué)的ZHOU HUA,SONG WEI等提出一種新型齒形齒廓齒輪泵的流量計(jì)算，并就對(duì)齒輪副流體輸運(yùn)特性考核指標(biāo)及排量、單位體積排量、流量脈動(dòng)系數(shù)進(jìn)行了數(shù)值模擬和考量[3]。2013年常州大學(xué)的錢(qián)志達(dá)等推導(dǎo)出一種較小誤差的公式，同時(shí)研究了等變位、角度變位的變化對(duì)流量的影響，對(duì)不同型式的排量進(jìn)行計(jì)算[4-5]。

目前工程上關(guān)于內(nèi)嚙合齒輪泵排量的設(shè)計(jì)大多采用近似計(jì)算[6]，而比較精確的排量計(jì)算并沒(méi)有完全考慮實(shí)際齒輪齒廓在工作時(shí)齒側(cè)間隙及重合度的影響。文中采用體積法推導(dǎo)出基于漸開(kāi)線直齒內(nèi)嚙合齒輪泵的參數(shù)瞬時(shí)流量方程，分析輪齒在嚙合過(guò)程中嚙合點(diǎn)的位置情況，精確考量齒側(cè)間隙對(duì)齒輪泵排量的影響，得到精確的漸開(kāi)線齒廓內(nèi)嚙合齒輪泵排量公式。

1 內(nèi)嚙合齒輪泵的瞬時(shí)流量推導(dǎo)

假設(shè)輸送流體介質(zhì)始終無(wú)氣泡產(chǎn)生且在高低壓轉(zhuǎn)化過(guò)程中具有不可壓縮性，齒輪泵內(nèi)液壓元件無(wú)形變及磨損，且各密封環(huán)節(jié)可靠不會(huì)發(fā)生泄漏。

根據(jù)漸開(kāi)線齒廓齒性形狀為直齒的內(nèi)嚙合齒輪泵工作原理[7]，一副嚙合輪齒如圖1所示。

圖1 一副嚙合齒輪的嚙合圖

由機(jī)械原理可知，外齒輪1、內(nèi)齒輪2在嚙合節(jié)點(diǎn)的速度相等，由式（1）表示：

式中:ω1，ω2——外齒輪1、內(nèi)齒輪2的角速度,rad/s；

同時(shí)滿(mǎn)足條件：ω1dt=d?1，ω2dt=d?2，代入上式（1），得

壓油腔所掃過(guò)的面積為：

把式（2）代入（4），得

式中：ra1，ra2——外齒輪1、內(nèi)齒輪2的齒頂圓半徑，mm；

rn1，rn2——外齒輪1、內(nèi)齒輪2的嚙合圓半徑，mm；

等式(6)兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)，可求得漸開(kāi)線齒廓直齒內(nèi)嚙合齒輪泵的瞬時(shí)流量表達(dá)式，

上式（7）中的齒頂圓半徑，分別滿(mǎn)足如下等式，

式中：ha1,ha2——外齒輪1、內(nèi)齒輪2的齒頂高，mm；

r1,r2——外齒輪1、內(nèi)齒輪2的分度圓半徑，mm；

式（7）中的兩個(gè)嚙合圓半徑為變量，根據(jù)圖2中的三角關(guān)系

圖2 內(nèi)嚙合三角形

可求得

將式（8）（9）（10）（11）代入（7），可得關(guān)于漸開(kāi)線齒廓齒形為直齒的瞬時(shí)流量方程，

2 一對(duì)內(nèi)嚙合輪齒的排油體積

一對(duì)內(nèi)嚙合輪齒在嚙合過(guò)程中所排油體積可用式（13）表示，

T——一對(duì)嚙合齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間，s；

f——嚙合點(diǎn)至節(jié)點(diǎn)p的距離，mm；

由于式（13）中有dt和f兩個(gè)變量不便于積分，為方便計(jì)算需統(tǒng)一為一個(gè)變量f。且需規(guī)定f值的正負(fù)，當(dāng)齒輪副的嚙合點(diǎn)未轉(zhuǎn)到節(jié)點(diǎn)p前f值為負(fù)，齒輪副的嚙合點(diǎn)越過(guò)p點(diǎn)后f值為正。再由漸開(kāi)線的性質(zhì)f=rb1φ1，則df=rb1ω1dt，可得，

嚙合點(diǎn)至節(jié)點(diǎn)p的距離f的值因嚙合,輪齒重合度及齒側(cè)間是否存在間隙而有差異，故需分類(lèi)討論。

2.1 嚙合輪齒間有齒側(cè)間隙

齒側(cè)間隙是指一對(duì)互相嚙合的齒輪，在其非工作面間沿公法線方向（即沿嚙合線方向）上的間隙?？梢詼贤▏Ш宵c(diǎn)與齒廓線之間的困油區(qū)。

有齒側(cè)間隙的漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪泵的嚙合過(guò)程如圖3-a，3-b，3-c。

圖3-a 嚙合過(guò)程

圖3-b 嚙合過(guò)程

圖3-c 嚙合過(guò)程圖

3-a，該位置時(shí)，外齒輪工作齒面齒廓與內(nèi)齒輪齒頂圓交于A點(diǎn)進(jìn)入嚙合點(diǎn)，因重合度大于1，前一齒外齒廓與內(nèi)齒輪的嚙合點(diǎn)B尚未退出嚙合，在非工作面間沿嚙合線方向存在齒側(cè)間隙，點(diǎn)A、點(diǎn)B與期間齒廓外形構(gòu)成一封閉區(qū)間，體積為V，此刻V最大；

3-b，隨著齒輪的運(yùn)轉(zhuǎn)，外齒輪工作齒面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于C點(diǎn),前一齒外齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于D點(diǎn)，C、D點(diǎn)對(duì)稱(chēng)于節(jié)點(diǎn)p，齒側(cè)有間隙，點(diǎn)C、點(diǎn)D與之間齒廓外形構(gòu)成的封閉區(qū)間體積V達(dá)最小值；

3-c，齒輪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到外齒輪工作齒面齒廓與內(nèi)齒輪進(jìn)入E點(diǎn)嚙合，同時(shí)前對(duì)輪齒的外齒輪齒頂圓與內(nèi)齒輪嚙合于點(diǎn)F，然后前對(duì)輪齒才脫開(kāi)嚙合線。

齒側(cè)間有間隙的輪齒各嚙合點(diǎn)位置如圖4所示。

圖4 有齒側(cè)間隙的各嚙合點(diǎn)位置

對(duì)于有側(cè)隙的漸開(kāi)線齒廓齒形形狀為直齒的一對(duì)嚙合輪齒而言，每當(dāng)主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)基節(jié)tj長(zhǎng)度即一個(gè)輪齒就形成一個(gè)新的嚙合點(diǎn)。當(dāng)?shù)谝积X外齒輪工作面齒廓于內(nèi)齒輪嚙合到點(diǎn)B位置時(shí)，第二齒的內(nèi)齒輪齒頂圓在A點(diǎn)位置剛好進(jìn)入嚙合位置，開(kāi)始排油，并且把第一齒通向壓油腔的通道封閉堵死，使第一對(duì)輪齒從點(diǎn)B到點(diǎn)F的這段嚙合長(zhǎng)度中不再參加齒輪泵的排油。以后各對(duì)輪齒都重復(fù)此過(guò)程，即每對(duì)輪齒在，

嚙合起始位置，f=-l1，參加排油,

嚙合終止位置，f=tj-l1，排油結(jié)束。

因此其積分上下限為-l1→tj-l1，

則把式（14）及嚙合位置代入式（13），那么

求解式（15）得

2.2 無(wú)齒側(cè)間隙

無(wú)齒側(cè)間隙的漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪泵的嚙合過(guò)程如下圖5-a至5-f：

5-a 嚙合過(guò)程圖

5-b 嚙合過(guò)程圖

5-c 嚙合過(guò)程圖

5-d 嚙合過(guò)程圖

5-e 嚙合過(guò)程圖

5-f 嚙合過(guò)程圖

5-a，新的一對(duì)輪齒在外齒輪工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于A點(diǎn)進(jìn)入嚙合線，因重合度大于1，前一齒工作面齒廓與內(nèi)齒輪的嚙合點(diǎn)B尚未退出嚙合，由于無(wú)齒側(cè)間隙，在非工作面齒廓于內(nèi)齒輪相交于C′，點(diǎn)A、點(diǎn)C′與之間齒廓外形構(gòu)成一封閉區(qū)間，體積為V1，點(diǎn)B、點(diǎn)C′與之間齒廓外形構(gòu)成一封閉區(qū)間，體積為V2，V1與V2各自獨(dú)立，無(wú)流通，和為V，此刻V最大；

5-b，齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)，前一齒工作面齒頂圓與內(nèi)齒輪齒廓的嚙合點(diǎn)D將退出嚙合，新一齒工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于C點(diǎn)，它們之間的嚙合點(diǎn)為F′；

5-c，當(dāng)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)到輪齒的對(duì)稱(chēng)中線與齒輪中心連線重合時(shí)，新一齒工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于D點(diǎn)，前一齒非工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于E′點(diǎn)，D點(diǎn)、E′點(diǎn)與之間齒廓外形構(gòu)成體積最?。?/p>

5-d，齒輪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，外齒輪工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于G點(diǎn)時(shí)，外齒輪齒頂圓與內(nèi)齒輪的嚙合點(diǎn)A′進(jìn)入嚙合，而前一齒非工作面齒廓嚙合點(diǎn)B′尚未脫出嚙合線；

5-e，齒輪再旋轉(zhuǎn)到，外齒輪工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于F點(diǎn)時(shí)，前一齒的內(nèi)齒輪齒頂圓與外齒輪的非工作面齒廓嚙合點(diǎn)D′，即將脫出嚙合；

5-f，齒輪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，外齒輪工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于E點(diǎn)時(shí)，輪齒的對(duì)稱(chēng)中線與齒輪中心連線重合，非工作面齒廓與內(nèi)齒輪嚙合于D′點(diǎn)；

各嚙合點(diǎn)位置如圖6所示。

圖6 無(wú)齒側(cè)間隙的各嚙合點(diǎn)位置

對(duì)于無(wú)側(cè)隙的漸開(kāi)線齒輪而言，主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)過(guò)半齒（即每轉(zhuǎn)過(guò)半個(gè)基節(jié)）就有一個(gè)新的嚙合點(diǎn)形成。即由主動(dòng)齒輪的嚙合點(diǎn)A開(kāi)始進(jìn)入嚙合線開(kāi)始排油，隨著輪齒的旋轉(zhuǎn)，直到齒輪運(yùn)行到G點(diǎn)位置，由于齒側(cè)之間不存在間隙，主動(dòng)齒輪的齒頂圓進(jìn)入新的嚙合點(diǎn)A′，把排油通道堵死，排油至此結(jié)束。由于齒輪的對(duì)稱(chēng)性，新的排油從嚙合點(diǎn)A′開(kāi)始，到嚙合點(diǎn)F′排油結(jié)束。以后各對(duì)輪齒都重復(fù)此過(guò)程，即每對(duì)輪齒在，

則把式（14）及嚙合位置代入式（13），則

求解式（18）得

3 精確理論排量

內(nèi)嚙合泵的排量為主動(dòng)齒輪旋轉(zhuǎn)一周的排油體積，

其中，ke=3ε2-6ε+4（有齒側(cè)間隙），ke=3ε2-3ε+1（無(wú)齒側(cè)間隙）；

當(dāng)嚙合齒間無(wú)齒側(cè)間隙時(shí)，理論排量公式為，

4 精確理論排量分析比較

嚙合輪齒在傳動(dòng)時(shí)考慮齒側(cè)間隙排量的理論精確模型如式（21）（22），公式表明確定的齒輪參數(shù)下理論精確排量是關(guān)于重合系數(shù)開(kāi)口向下的二次函數(shù)。當(dāng)嚙合齒間有齒側(cè)間隙時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為ε=1；當(dāng)嚙合齒間無(wú)齒側(cè)間隙時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為ε=0.5。由機(jī)械原理知，齒輪連續(xù)傳動(dòng)條件知ε≥1，那么隨著ε的增大，排量公式呈減函數(shù)，齒間無(wú)側(cè)隙的排量遞減更快，且在同等的ε下，齒間有側(cè)隙的排量更大。不考慮嚙合輪齒的根切、干涉的情況下，把重疊系數(shù)為變動(dòng)參數(shù)，以一具體實(shí)例計(jì)算分別比較，齒輪基本參數(shù)：Z1=13,Z2=19，m=3mm，B=41mm。計(jì)算如下表1。

表中可以看出，在不計(jì)齒輪根切、干涉的情況下，理論精確排量的計(jì)算與齒側(cè)間隙和重合度系數(shù)有關(guān)；當(dāng)ε=1時(shí)排量值最大；一對(duì)相同參數(shù)的嚙合齒輪副在同等重合度系數(shù)的情況下，有齒側(cè)間隙的排量值會(huì)更大些；隨ε增大，排量值呈逐漸減小趨勢(shì)，且無(wú)齒側(cè)間隙的排量值減小的更快。

表1 精確理論排量計(jì)算比較 單位：ml/r

5 結(jié)束語(yǔ)

以?xún)?nèi)嚙合齒輪泵的工作原理采用體積法推導(dǎo)出泵的瞬時(shí)流量方程，分析輪齒在齒間有無(wú)齒側(cè)間隙的嚙合過(guò)程及各嚙合點(diǎn)位置關(guān)系，建立關(guān)于重合度系數(shù)的精確理論排量計(jì)算模型。在確定的齒輪參數(shù)，不考慮嚙合輪齒的根切干涉下，以一具體實(shí)例計(jì)算，表明內(nèi)嚙合齒輪泵的理論精確排量值與重合度系數(shù)及齒間有無(wú)側(cè)隙有關(guān)，相同的重合度系數(shù)下，有齒側(cè)間隙的排量值更大，且隨重合度系數(shù)的增大，排量值愈小。

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