一題多解在不定積分中的應(yīng)用

孟獻(xiàn)青

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

一題多解教學(xué)是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，用不同的方法解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)形式。一題多解可以幫助學(xué)生提高對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生深刻理解定理內(nèi)在的意義，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)各個(gè)方法之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度，不同方面學(xué)以致用，使乏味的高等數(shù)學(xué)活靈活現(xiàn)。下面以求解不定積分為例，充分體現(xiàn)一題多解在高等數(shù)學(xué)中的作用。

1 理論依據(jù)[1]

不定積分的計(jì)算必須具有扎實(shí)且豐富的基礎(chǔ)知識(shí)。常用的計(jì)算不定積分的方法有基本積分公式，不定積分的第一類換元法和第二類換元法，分部積分法，有理函數(shù)的積分。第一類換元法主要是湊微分法和代數(shù)換元法，第二類換元法主要是三角換元法。另外在做題過(guò)程中，也可以結(jié)合加項(xiàng)減項(xiàng)法，三角函數(shù)的恒等變形等簡(jiǎn)化計(jì)算。對(duì)于不定積分的計(jì)算，方法比較多，而且也比較靈活，只有通過(guò)較多的練習(xí)，才能將各種方法熟練地結(jié)合起來(lái)，才能更快更好的計(jì)算不定積分。

2 應(yīng)用舉例[2-3]

例1計(jì)算不定積分

首先，考慮用第一類換元法求解，于是有

解1（湊微分法）

解4（代數(shù)換元法）

解5（三角換元法）

另外，也可以考慮把第一類換元法和分部積分法結(jié)合起來(lái)進(jìn)行計(jì)算。由解2知，于是

解6（分部積分法）

解7(綜合法)

解1（湊微分法）

解2（分部積分法）

解3（換元積分法）

解1（湊微分法）

解3（換元法）令x=t，則x=t2，dx=2tdt

解 4（換元法）令 4-x=t，則x=4-t2，dx=-2tdt，

解5（換元法）令x=2+t，則dx=dt，

解3到解5都是先用換元法，然后再湊微分，但是解5的方法比較巧妙。

解6（三角換元法）

3 結(jié)束語(yǔ)[4]

通過(guò)一題多解的訓(xùn)練，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還可以開(kāi)拓他們的解題思路，把學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法融會(huì)貫通起來(lái)。在一題多解的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的解題思路、方法有機(jī)會(huì)在其他同學(xué)面前展現(xiàn)，這不僅能獲得教師的認(rèn)可，而且還可以增加學(xué)生的成就感，這樣學(xué)生就能更加積極主動(dòng)地參與到課程的學(xué)習(xí)中，而不是被動(dòng)地接受，于是這種積極的心態(tài)就能極大地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，所以一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，提高數(shù)學(xué)興趣的一種有效教學(xué)手段。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014.

[2]孟獻(xiàn)青,高曉燕.關(guān)于曲線積分計(jì)算的探討[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,33（6）：12-13.

[3]龔友運(yùn).從不定積分的一題多解淺析高等數(shù)學(xué)的發(fā)散思維[J].教育教學(xué)論壇,2011（6）：73-75.

[4]周后卿.積分中的一題多解與思維訓(xùn)練[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào),2014(2):158-160.