因式分解實(shí)錄

廣東省廣州市增城區(qū)正果中學(xué) 陳強(qiáng)毅

因式分解是初中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一塊跘腳石，克服它，就能通往更美好的知識(shí)甸園。教師在因式分解的教學(xué)時(shí)也發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎么教，學(xué)生都不會(huì)，花很多時(shí)間去教學(xué)、做練習(xí)、復(fù)習(xí)，但實(shí)際效果都不好。學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)更是著急，越急越學(xué)不會(huì)，越心慌，有些學(xué)生甚至不想往后學(xué)習(xí)了。有些教師在因式分解的教學(xué)時(shí)一帶而過(guò)，明知教不會(huì)，就隨便教。在人教版的因式分解章節(jié)中，已經(jīng)簡(jiǎn)化了因式分解的知識(shí)點(diǎn)，把十字相乘法放到了選學(xué)的內(nèi)容里，即便簡(jiǎn)化了因式分解知識(shí)點(diǎn)，只學(xué)提公因式法和公式法，學(xué)生仍舊難以掌握，這讓很多教師感到困惑。用學(xué)生的思維去理解因式分解，去教學(xué)，或許會(huì)得出意想不到的效果。

一、因式分解的本質(zhì)

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)存在困難是因?yàn)椴幻靼滓蚴椒纸獾谋举|(zhì)和不明白為什么要進(jìn)行因式分解，因式分解的本質(zhì)是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式。因式分解是分式學(xué)習(xí)的前奏，兩者之間密不可分，息息相關(guān)，相互影響。通過(guò)因式分解才能約去分式中相同的項(xiàng)，是一個(gè)化簡(jiǎn)的過(guò)程，化簡(jiǎn)了才便于運(yùn)算，讓計(jì)算更簡(jiǎn)單。在分式通分時(shí)，利用因式分解可讓分母變得更簡(jiǎn)單，減少錯(cuò)誤。當(dāng)學(xué)生明白因式分解的意義所在，有目的地進(jìn)行學(xué)習(xí)，就會(huì)知道學(xué)習(xí)因式分解是有用的，從而提高學(xué)習(xí)興趣。因?yàn)閷W(xué)生不知道因式分解的用處，又難學(xué)，所以大多數(shù)學(xué)生都不喜歡這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，覺(jué)得學(xué)來(lái)沒(méi)用的就不想學(xué)了。通過(guò)調(diào)查了解到學(xué)生對(duì)因式分解的學(xué)習(xí)熱情普遍不高，如果學(xué)生知道這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是很有用的，那么他們就會(huì)加倍努力去學(xué)習(xí)。有目的，自然效果就不同。

二、因式分解為什么難學(xué)

很多老師覺(jué)得因式分解的內(nèi)容簡(jiǎn)單，卻不明白為什么學(xué)生學(xué)起來(lái)那么困難。其實(shí)，主要有以下幾個(gè)原因：

1.提公因式?jīng)]學(xué)好。

2.公式法沒(méi)掌握好。

3.因式分解過(guò)于單調(diào)，學(xué)起來(lái)枯燥無(wú)味。

4.因式分解和整式的乘法運(yùn)算是相反的，又十分相似，就像一個(gè)沙漏，可以兩邊倒，卻不知哪邊是頭，哪邊是尾。學(xué)生在兩者之間的運(yùn)算是盲目的，沒(méi)有方向，什么時(shí)候是和，什么時(shí)候是積，讓學(xué)生很是困惑，不能區(qū)分，因而學(xué)不好。

5.學(xué)生操之過(guò)急、不夠耐心，甚至看到因式分解就怕。

三、因式分解在教材中處于一個(gè)尷尬的地位

1.因式分解在分式之前，這時(shí)學(xué)因式分解，學(xué)生會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)味，不知道因式分解的用處，一味學(xué)習(xí)這么困難的知識(shí)，一錯(cuò)再錯(cuò)，打擊學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。學(xué)生在和與積之間很難區(qū)分，如在代數(shù)式2ax2+4ax+2中，和中有積；而在代數(shù)式（2x+y）（2x-y）中，積中有和。怎樣才是積的形式，什么時(shí)候不能再分解，沒(méi)有一個(gè)明確的方向，讓學(xué)生很是為難，無(wú)從下手。

2.如果把因式分解放在分式之后，那么很多約分與通分的知識(shí)將無(wú)法進(jìn)行。很多時(shí)候，分式的值為0、有意義都與因式分解有關(guān)。因此，它只能在分式之前學(xué)習(xí)。

四、因式分解的方法和步驟

（一）因式分解的方法

在人教版初中數(shù)學(xué)中，要求學(xué)生學(xué)習(xí)提公因式法與公式法，并在課后閱讀與思考里對(duì)十字相乘法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。為了減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，我們主要圍繞這兩種方法進(jìn)行教學(xué)，要求學(xué)生盡量掌握這兩種因式分解方法，為以后學(xué)習(xí)分式等有關(guān)內(nèi)容打好基礎(chǔ)。對(duì)于“十字相乘法”，我們只要求學(xué)生簡(jiǎn)單了解，并介紹一種最簡(jiǎn)單的形式——x2+（p+q）x+pq型的因式分解。

1．提公因式法

（1）簡(jiǎn)單型多項(xiàng)式因式分解，例如：因式分解8a3b2+12ab3c，在這種形式里，找公因式的順序?yàn)橄日覕?shù)字，再找字母。把8寫成2×4，把12寫成3×4，找到數(shù)字部分的公因式4，字母部分為ab2。所以，8a3b2+12ab3c的公因式是4ab2。

（2）整體提取型因式分解，例如：因式分解2a（b+c）-3（b+c），這里要把（b+c）看作一個(gè)整體進(jìn)行提取，把剩下的2a-3括起來(lái)，結(jié)果為(b+c)（2a-3）。

2．公式法

（1）平方差公式法，形式如a2-b2=（a+b）（a-b），它的特征是一般有兩項(xiàng)。

（2）完全平方公式法，形式如a2±2ab+b2=（a±b）2，它的特征是一般有三項(xiàng)。用公式法時(shí)必須準(zhǔn)確找出代數(shù)式中的“a”和“b”。

（二）因式分解的步驟

因式分解的步驟簡(jiǎn)記成三個(gè)字：1.“提”，即提取公因式；2.“公”，即用公式法進(jìn)行因式分解；3.“查”，在進(jìn)行完前兩步后，對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢查，看看還有沒(méi)有可以分解的因式。如：很多學(xué)生以為做到這里就完成了，通過(guò)檢查，可以發(fā)現(xiàn)（a2-b2）還可以分解，正確的做法是

五、因式分解中出現(xiàn)的問(wèn)題

1．不會(huì)加括號(hào)

2．很多學(xué)生不會(huì)把1寫成12

3．提公因式不徹底

4．不會(huì)“調(diào)位”

在因式分解-4x2+y2時(shí)，大部分同學(xué)的做法為：-4x2+y2=（-2x）2+y2=（-2x+y）（-2x-y）。-4x2與y2之間是和的關(guān)系，卻硬是把平方差公式套上去，說(shuō)明這部分同學(xué)對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握得不夠透徹。正確的做法應(yīng)該是先變?yōu)閥2-4x2，再進(jìn)行分解，如：-4x2+y2=y2-4x2=y2-(2x)2=(y+2x)（y-2x）。

5．分解不徹底

6．不會(huì)改變符號(hào)

錯(cuò)例1：因式分解-x2+4xy-4y2=(-x)2+2(-x)·2y-(2y)2=(-x-2y)2，正確的做法是先添負(fù)號(hào)添括號(hào)，再進(jìn)行因式分解，如：-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2。

錯(cuò)例2：因式分解：m(a-3)+2(3-a)，很多同學(xué)在做這道題時(shí)不會(huì)分解，找不到相同的項(xiàng)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)a-3與3-a是互為相反數(shù)的關(guān)系，把m(a-3)+2(3-a)中第二項(xiàng)中的3-a變?yōu)閍-3，就可以進(jìn)行因式分解了，方法是把第二項(xiàng)前的“+”變?yōu)椤?”，即m(a-3)-2(a-3)=(m-2)(a-3)。

7．把符號(hào)看錯(cuò)

8．系數(shù)為1時(shí)提取漏項(xiàng)

在學(xué)習(xí)因式分解的過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：

1.靈活動(dòng)用公式。

2.會(huì)交換加數(shù)的位置。

3.會(huì)根據(jù)公式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行正確的變形。

4.熟練掌握公式的形狀結(jié)構(gòu)，清楚什么時(shí)候能用公式。

六、怎樣能學(xué)好因式分解

1.準(zhǔn)確地提出公因式，并檢查是否漏項(xiàng)。

2.熟練掌握平方差公式和完全平方公式，方法是每天利用1～2分鐘左右快速讀一遍。

3.用公式法因式分解時(shí)，用橫線或方框把公式中的“a”和“b”標(biāo)記出來(lái)。

4.會(huì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危`活運(yùn)用公式。如：-a4+16變形為16-a4，并把a(bǔ)4變?yōu)椋╝2）2。