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    因式分解實(shí)錄

    2018-03-29 11:44:32廣東省廣州市增城區(qū)正果中學(xué)陳強(qiáng)毅
    數(shù)學(xué)大世界 2018年7期
    關(guān)鍵詞:公因式平方差代數(shù)式

    廣東省廣州市增城區(qū)正果中學(xué) 陳強(qiáng)毅

    因式分解是初中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一塊跘腳石,克服它,就能通往更美好的知識(shí)甸園。教師在因式分解的教學(xué)時(shí)也發(fā)現(xiàn),無(wú)論怎么教,學(xué)生都不會(huì),花很多時(shí)間去教學(xué)、做練習(xí)、復(fù)習(xí),但實(shí)際效果都不好。學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)更是著急,越急越學(xué)不會(huì),越心慌,有些學(xué)生甚至不想往后學(xué)習(xí)了。有些教師在因式分解的教學(xué)時(shí)一帶而過(guò),明知教不會(huì),就隨便教。在人教版的因式分解章節(jié)中,已經(jīng)簡(jiǎn)化了因式分解的知識(shí)點(diǎn),把十字相乘法放到了選學(xué)的內(nèi)容里,即便簡(jiǎn)化了因式分解知識(shí)點(diǎn),只學(xué)提公因式法和公式法,學(xué)生仍舊難以掌握,這讓很多教師感到困惑。用學(xué)生的思維去理解因式分解,去教學(xué),或許會(huì)得出意想不到的效果。

    一、因式分解的本質(zhì)

    很多學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)存在困難是因?yàn)椴幻靼滓蚴椒纸獾谋举|(zhì)和不明白為什么要進(jìn)行因式分解,因式分解的本質(zhì)是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式。因式分解是分式學(xué)習(xí)的前奏,兩者之間密不可分,息息相關(guān),相互影響。通過(guò)因式分解才能約去分式中相同的項(xiàng),是一個(gè)化簡(jiǎn)的過(guò)程,化簡(jiǎn)了才便于運(yùn)算,讓計(jì)算更簡(jiǎn)單。在分式通分時(shí),利用因式分解可讓分母變得更簡(jiǎn)單,減少錯(cuò)誤。當(dāng)學(xué)生明白因式分解的意義所在,有目的地進(jìn)行學(xué)習(xí),就會(huì)知道學(xué)習(xí)因式分解是有用的,從而提高學(xué)習(xí)興趣。因?yàn)閷W(xué)生不知道因式分解的用處,又難學(xué),所以大多數(shù)學(xué)生都不喜歡這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí),覺(jué)得學(xué)來(lái)沒(méi)用的就不想學(xué)了。通過(guò)調(diào)查了解到學(xué)生對(duì)因式分解的學(xué)習(xí)熱情普遍不高,如果學(xué)生知道這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是很有用的,那么他們就會(huì)加倍努力去學(xué)習(xí)。有目的,自然效果就不同。

    二、因式分解為什么難學(xué)

    很多老師覺(jué)得因式分解的內(nèi)容簡(jiǎn)單,卻不明白為什么學(xué)生學(xué)起來(lái)那么困難。其實(shí),主要有以下幾個(gè)原因:

    1.提公因式?jīng)]學(xué)好。

    2.公式法沒(méi)掌握好。

    3.因式分解過(guò)于單調(diào),學(xué)起來(lái)枯燥無(wú)味。

    4.因式分解和整式的乘法運(yùn)算是相反的,又十分相似,就像一個(gè)沙漏,可以兩邊倒,卻不知哪邊是頭,哪邊是尾。學(xué)生在兩者之間的運(yùn)算是盲目的,沒(méi)有方向,什么時(shí)候是和,什么時(shí)候是積,讓學(xué)生很是困惑,不能區(qū)分,因而學(xué)不好。

    5.學(xué)生操之過(guò)急、不夠耐心,甚至看到因式分解就怕。

    三、因式分解在教材中處于一個(gè)尷尬的地位

    1.因式分解在分式之前,這時(shí)學(xué)因式分解,學(xué)生會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)味,不知道因式分解的用處,一味學(xué)習(xí)這么困難的知識(shí),一錯(cuò)再錯(cuò),打擊學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。學(xué)生在和與積之間很難區(qū)分,如在代數(shù)式2ax2+4ax+2中,和中有積;而在代數(shù)式(2x+y)(2x-y)中,積中有和。怎樣才是積的形式,什么時(shí)候不能再分解,沒(méi)有一個(gè)明確的方向,讓學(xué)生很是為難,無(wú)從下手。

    2.如果把因式分解放在分式之后,那么很多約分與通分的知識(shí)將無(wú)法進(jìn)行。很多時(shí)候,分式的值為0、有意義都與因式分解有關(guān)。因此,它只能在分式之前學(xué)習(xí)。

    四、因式分解的方法和步驟

    (一)因式分解的方法

    在人教版初中數(shù)學(xué)中,要求學(xué)生學(xué)習(xí)提公因式法與公式法,并在課后閱讀與思考里對(duì)十字相乘法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。為了減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),我們主要圍繞這兩種方法進(jìn)行教學(xué),要求學(xué)生盡量掌握這兩種因式分解方法,為以后學(xué)習(xí)分式等有關(guān)內(nèi)容打好基礎(chǔ)。對(duì)于“十字相乘法”,我們只要求學(xué)生簡(jiǎn)單了解,并介紹一種最簡(jiǎn)單的形式——x2+(p+q)x+pq型的因式分解。

    1.提公因式法

    (1)簡(jiǎn)單型多項(xiàng)式因式分解,例如:因式分解8a3b2+12ab3c,在這種形式里,找公因式的順序?yàn)橄日覕?shù)字,再找字母。把8寫成2×4,把12寫成3×4,找到數(shù)字部分的公因式4,字母部分為ab2。所以,8a3b2+12ab3c的公因式是4ab2。

    (2)整體提取型因式分解,例如:因式分解2a(b+c)-3(b+c),這里要把(b+c)看作一個(gè)整體進(jìn)行提取,把剩下的2a-3括起來(lái),結(jié)果為(b+c)(2a-3)。

    2.公式法

    (1)平方差公式法,形式如a2-b2=(a+b)(a-b),它的特征是一般有兩項(xiàng)。

    (2)完全平方公式法,形式如a2±2ab+b2=(a±b)2,它的特征是一般有三項(xiàng)。用公式法時(shí)必須準(zhǔn)確找出代數(shù)式中的“a”和“b”。

    (二)因式分解的步驟

    因式分解的步驟簡(jiǎn)記成三個(gè)字:1.“提”,即提取公因式;2.“公”,即用公式法進(jìn)行因式分解;3.“查”,在進(jìn)行完前兩步后,對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢查,看看還有沒(méi)有可以分解的因式。如:很多學(xué)生以為做到這里就完成了,通過(guò)檢查,可以發(fā)現(xiàn)(a2-b2)還可以分解,正確的做法是

    五、因式分解中出現(xiàn)的問(wèn)題

    1.不會(huì)加括號(hào)

    2.很多學(xué)生不會(huì)把1寫成12

    3.提公因式不徹底

    4.不會(huì)“調(diào)位”

    在因式分解-4x2+y2時(shí),大部分同學(xué)的做法為:-4x2+y2=(-2x)2+y2=(-2x+y)(-2x-y)。-4x2與y2之間是和的關(guān)系,卻硬是把平方差公式套上去,說(shuō)明這部分同學(xué)對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握得不夠透徹。正確的做法應(yīng)該是先變?yōu)閥2-4x2,再進(jìn)行分解,如:-4x2+y2=y2-4x2=y2-(2x)2=(y+2x)(y-2x)。

    5.分解不徹底

    6.不會(huì)改變符號(hào)

    錯(cuò)例1:因式分解-x2+4xy-4y2=(-x)2+2(-x)·2y-(2y)2=(-x-2y)2,正確的做法是先添負(fù)號(hào)添括號(hào),再進(jìn)行因式分解,如:-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2。

    錯(cuò)例2:因式分解:m(a-3)+2(3-a),很多同學(xué)在做這道題時(shí)不會(huì)分解,找不到相同的項(xiàng),沒(méi)有發(fā)現(xiàn)a-3與3-a是互為相反數(shù)的關(guān)系,把m(a-3)+2(3-a)中第二項(xiàng)中的3-a變?yōu)閍-3,就可以進(jìn)行因式分解了,方法是把第二項(xiàng)前的“+”變?yōu)椤?”,即m(a-3)-2(a-3)=(m-2)(a-3)。

    7.把符號(hào)看錯(cuò)

    8.系數(shù)為1時(shí)提取漏項(xiàng)

    在學(xué)習(xí)因式分解的過(guò)程中,要注意以下幾點(diǎn):

    1.靈活動(dòng)用公式。

    2.會(huì)交換加數(shù)的位置。

    3.會(huì)根據(jù)公式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行正確的變形。

    4.熟練掌握公式的形狀結(jié)構(gòu),清楚什么時(shí)候能用公式。

    六、怎樣能學(xué)好因式分解

    1.準(zhǔn)確地提出公因式,并檢查是否漏項(xiàng)。

    2.熟練掌握平方差公式和完全平方公式,方法是每天利用1~2分鐘左右快速讀一遍。

    3.用公式法因式分解時(shí),用橫線或方框把公式中的“a”和“b”標(biāo)記出來(lái)。

    4.會(huì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危`活運(yùn)用公式。如:-a4+16變形為16-a4,并把a(bǔ)4變?yōu)椋╝2)2。

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