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    探究三元函數最值的求解策略

    2018-03-29 11:44:32江蘇省盱眙中學高三21葉濘琿
    數學大世界 2018年7期
    關鍵詞:變元等式最值

    江蘇省盱眙中學高三(21)班 葉濘琿

    最值問題是高中數學學習的重點和熱點問題,處理多變量函數的最值問題通常需要減元。在高三復習中發(fā)現,近幾年在高考中經常出現三元函數(含有三個變元的函數)的最值問題,而且難度較大,同學們對這類問題感覺比較棘手,本人對此問題做了一些探究,以幾例分析求解策略如下,僅供參考。

    一、代入減元

    解后反思:當給出三元條件等式求一個三元函數的最值時,通常將三元條件等式中的兩個變元用另外一個變元表示代入減元,轉化為二元函數求最值問題。

    二、重組變元

    解后反思:初看這是一個三元式的最值問題,無法直接利用基本不等式來解決。換個思路,可考慮將展開重新組合,變于是就可以利用二元基本不等式求解了。

    三、“1”的代換

    例3.(2013蘇南四校12月檢測)設正實數x,y,z滿足

    解后反思:本題直接用條件等式x+2y+z=1,將三元函數中的“1”換成條件等式的左邊,然后分離,把“x+y”和“y+z”當作整體,轉化為二元函數求最值問題。

    四、并元處理

    思路分析:根據題意可得f '(x)=ax2+bx+c≥0在R上恒成立,則a>0,Δ=b2-4ac≤0。

    五、數形結合

    例5.已知實數a,b,c滿足a2+b2=c2,c≠0,則的取值范圍為_____ 。

    解后反思:本題考查了三角函數換元法、直線的斜率計算公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式,考查了數形結合及轉化思想,考查了推理能力與計算能力。

    六、兩次變形

    例6.(2017無錫期末)已知a>0,b>0,c>2,且a+b=2,則的最小值為 。

    思路分析:根據目標式的特征,進行恰當的變形,利用基本不等式知識求解。

    解后反思:本題的關鍵是首先通過固定變量c(視a,b為主元),然后利用代換(齊次化)、配湊等技巧對代數式進行兩次變形使用二元基本不等式,并結合不等式的性質巧妙地求得了最小值。

    七、逐步消元

    例7.已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,令xyz的最大值是_______。

    令 f(x)=xyz=z3-z2-z,則 f'(x)=3z2-2z-1=(z-1)(3z+1),

    解后反思:由條件可得xy+yz+xz=-1,利用x+y+z=1,逐步消元可得xyz=z3-z2-z,利用導數的方法,可求出xyz的最大值。

    八、各個擊破

    例8.(2017泰興中學)已知x,y,z均為非負數且x+y+z=2,則的最小值為 。

    思路分析:∵x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=2,∴z=2-x-y≥0,即x+y≤2。令函數則 f′ (x)=x2-1, 當 x∈ (0,1)時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,1)上單調遞減;當x∈(1,2)時,f′(x)>0,∴f(x)在(1,2)上單調遞增,∴f(x)min=f(1)。同理:令g(y)=y2-y,則g′(y)=2y-1,當時,g′ (y)<0,∴ g(y)在上單調遞減;當時,g′(y)>0,∴g(y)在上單調遞增,

    解后反思:本題求解不知道如何下手,但是容易想到將z=2-x-y代入化為二元問題,突破口是分別把x,y當作主元,得到個一元函數分別利用導函數研究單調性,求其最小值即可。

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