變式數(shù)學(xué)真奇妙，顛來(lái)倒去皆可照
——暨觀摩公開(kāi)課《15.4角的平分線》后的一點(diǎn)感想

安徽省宣城市績(jī)溪縣適之中學(xué) 呂國(guó)梅

近期有幸觀摩市骨干教師張曉峰的公開(kāi)課——《15.4角的平分線（習(xí)題課）》。隨著教學(xué)年份的增長(zhǎng)，我越來(lái)越感到教學(xué)的茫然和無(wú)所適從，在教育方面層出不窮的新問(wèn)題曾一度讓我對(duì)教學(xué)產(chǎn)生倦怠、困惑、迷茫，站在轟轟烈烈新課改的浪潮中，我被一波又一波的巨浪席卷致暈?！逃磥?lái)的模式到底是什么樣的？尤其是對(duì)我們初中數(shù)學(xué)課堂而言，又有什么樣獨(dú)特的教育方式能夠改變？學(xué)生頭腦中根深蒂固，現(xiàn)實(shí)中又是真真切切的令人覺(jué)得枯燥無(wú)味，更為關(guān)鍵的是被眾多人認(rèn)為 “百無(wú)一用是數(shù)學(xué)”，更何況是初中數(shù)學(xué)。二十多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯以及那點(diǎn)所謂的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)得直白一些就是殘酷的教學(xué)現(xiàn)實(shí)——理想很豐滿(mǎn)，現(xiàn)實(shí)很骨感。想成為一名成功的好老師那，可不是一件容易的事，所以才有這樣到處求學(xué)的需求。

張老師的課成功之處首先在于他敢于挑戰(zhàn)這種我們大多數(shù)老師都認(rèn)為最難 “表演”的習(xí)題課——15.4角的平分線（習(xí)題課）。角的平分線從性質(zhì)定理到判定定理都有非常充實(shí)的內(nèi)容可講，可我們的張老師偏偏選擇了習(xí)題課。最為關(guān)鍵的也是這節(jié)課最大的亮點(diǎn)就是張老師選了一個(gè)變式練習(xí)作為這節(jié)課的主基調(diào)，最大程度地凸顯了數(shù)學(xué)的奧妙與神奇——萬(wàn)變不離其宗，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著某種內(nèi)在的、相互轉(zhuǎn)換的聯(lián)系。變式練習(xí)平時(shí)我也操作，但像張老師這樣利用一節(jié)公開(kāi)課的時(shí)間和大家共同探究、研學(xué)，我還是有些顧忌的。最后讓所有老師嘖嘖稱(chēng)贊的是張老師那精湛絕倫的高超的多媒體使用技術(shù)，讓我們后面這些對(duì)幾何畫(huà)板一竅不通的老師看得目瞪口呆。

下面我把張老師這節(jié)課的大致環(huán)節(jié)和成功亮點(diǎn)用我的拙筆記錄下來(lái)與大家共同分享。首先張老師按照常規(guī)教學(xué)復(fù)習(xí)回顧了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理。

張老師在多媒體上用幾何畫(huà)板呈現(xiàn)圖1，并和同學(xué)們一起簡(jiǎn)要溫習(xí)整個(gè)定理的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生集體口頭敘述，張老師在黑板左側(cè)整齊規(guī)范地板書(shū)證明過(guò)程。

性質(zhì)定理：∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE。

判定定理：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴∠1=∠2。

一、解題過(guò)程中的幾大亮點(diǎn)

（1）復(fù)習(xí)導(dǎo)入式常規(guī)教學(xué)非常符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也正體現(xiàn)了知識(shí)的積累與循序漸進(jìn)的習(xí)得過(guò)程。學(xué)生在這一環(huán)節(jié)表現(xiàn)出了極高的熱情與參與程度，由此也正恰恰能夠體現(xiàn)張老師平時(shí)的課堂教學(xué)深受學(xué)生喜愛(ài)的程度。

（2）張老師在板書(shū)時(shí)兼顧了大多數(shù)同學(xué)的表述，對(duì)于表述有錯(cuò)誤瑕疵的地方，老師都做了詳細(xì)的解說(shuō)，再次更正了同學(xué)們的錯(cuò)誤理解。對(duì)于上一節(jié)課的知識(shí)也是最好的鞏固和提高方式。

（3）這大概是這個(gè)環(huán)節(jié)最吸引大家眼球的地方，當(dāng)張老師動(dòng)態(tài)演示P點(diǎn)的位置時(shí)，性質(zhì)定理顯示動(dòng)畫(huà)PD=PE并且等于某個(gè)具體的長(zhǎng)度，當(dāng)改變點(diǎn)P的位置 ，PD與PE的長(zhǎng)度也會(huì)隨之發(fā)生改變，但始終保持PD=PE這個(gè)結(jié)論不變。判定定理中同樣利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示改變P點(diǎn)的位置，可見(jiàn)∠1=∠2這個(gè)結(jié)論，并且同樣用表格的形式呈現(xiàn)這個(gè)等量關(guān)系。隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，∠1、∠2的度數(shù)也會(huì)隨之發(fā)生改變，但∠1=∠2這個(gè)結(jié)論始終保持不變。

二、習(xí)題的變式應(yīng)用

接下來(lái)便是這節(jié)課的正題，同一道題，張老師通過(guò)一題多解、交換題目條件與結(jié)論構(gòu)成互逆命題、稍微改動(dòng)題目的條件和結(jié)論衍生出若干個(gè)系列題系，也正是借助這種題目的講解對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)系統(tǒng)化。

例1 如圖2所示，已知OP是∠AOB的角平分線，OA＜OB,PA=PB，求證：∠OAP+∠B=180°。

方法一：過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA,PE⊥OB于點(diǎn)D、E，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PD=PE，

∵PA=PB，

∴△PAD≌△PBE（HL）。

∴∠B=∠PAD，

∵∠OAP+∠PAD=180°，

∴∠OAP+∠B=180°。

圖2

方法二：如圖3，在OB上截取OC=OA，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴△OAP≌△OCP（SAS）。

∴∠OAP=∠2，∴PA=PC，

∵PA=PB，

∴PC=PB，

∴∠1=∠B，

∵∠2+∠1=180°，

∴∠OAP+∠B=180°。

圖3

變式1：（交換題目條件與結(jié)論，形成互逆命題）如圖4所示，已知OP是∠AOB的角平分線，OA＜OB,∠OAP+∠B=180°，求證：PA=PB。

證明：過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA,PE⊥OB于點(diǎn)D、E，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PD=PE，

∵∠OAP+∠B=180°，

又∵∠OAP+∠PAD=180°，

∴∠PAD=∠B，

∴△PAD≌△PBE（AAS），

圖4

圖1

∴PA=PB。

變式2：（題目條件不變，結(jié)論改變）如圖5所示，已知OP是∠AOB的角平分線，OA＜OB,PA=PB，求證：OA+OB=2OE。

證明：過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA,PE⊥OB于點(diǎn)D、E，

∵OP是∠AOB的角平分線，

∴PD=PE，

∴△PAD≌△PBE，△POD≌ΔPOE（HL），

∴AD=BE，OD=OE，

∴OA+OB=（OD-AD）+（OE+BE）=OE-BE+OE+BE=2OE。

圖5

三、變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的思考

教學(xué)活動(dòng)是教師的教與學(xué)生的學(xué)的“雙向”活動(dòng)。授之以魚(yú)不如授之以漁，教學(xué)的目的不在于“魚(yú)”而在“漁”，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)更應(yīng)如此。習(xí)題作為課本的有機(jī)組成部分之一，蘊(yùn)涵著豐富的內(nèi)涵和背景，教學(xué)中若能充分挖掘課本習(xí)題的潛在功能，像張老師這樣進(jìn)行一題多解和一題多變，定會(huì)收到事半功倍的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的目的是使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中可以根據(jù)不同情況采取變條件、變結(jié)論、變形式、變圖式等方法，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、歸納、整理，使之系統(tǒng)化、深刻化，掌握各部分知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高自己的思維能力。而變式訓(xùn)練同樣是幫助學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。從一題多解、一題多變、多題一解、一題多圖、多圖一解等多角度進(jìn)行變式訓(xùn)練。通過(guò)種種訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面、多角度、多渠道地思考問(wèn)題，讓學(xué)生多探討、多爭(zhēng)論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的完備性、深刻性和創(chuàng)造性，大大激發(fā)了學(xué)生的興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。