巧引平行線 妙求線段比
——以三角形為背景的線段比值求解的“一招制敵”術(shù)

安徽省合肥市肥東縣龍?zhí)翆W(xué)校 章 林

對(duì)于以三角形為背景的線段比值問題的求解，“梅內(nèi)勞斯（Menelaus）”定理可以說是一個(gè)“一招制敵”的絕技，但是在中學(xué)階段，梅內(nèi)勞斯定理既不屬于課標(biāo)和教學(xué)要求，初中生也不易掌握。除卻梅內(nèi)勞斯定理，還有一種“一招制敵”的絕技可以輕松解決以三角形為背景的線段比值問題，這種方法就是：巧引平行線，利用相似三角形或平行線分線段成比例定理，進(jìn)而求比值。本文試以一道中考試題為例，詳述在三角形背景下求線段的比值問題中，如何巧引平行線，妙求線段比值的“一招制敵”術(shù)，并在解題“競(jìng)技”中應(yīng)用之。

一、基本結(jié)論

在三角形背景下，與線段比值有關(guān)的結(jié)論主要有以下兩條：

【結(jié)論1】平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。(證明略)即：如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，DE∥BC，分別交直線AB、AC于D、E，則有

作為特例，還有下面的結(jié)論：

【結(jié)論2】過三角形一邊的中點(diǎn)，平行于另一邊的直線，必平分第三邊。幾何語言可表示為：（如圖1）若DE∥BC， D為AB中點(diǎn)，則E為AC的中點(diǎn)。

二、基本圖形

在結(jié)論的三種情形中包含兩類基本圖形，不妨稱為“A”字形（如圖1）和“X”字形（如圖2）。在這兩個(gè)基本圖形中，均有：

三、方法解析

在三角形背景下求線段的比值，往往需借助于相似三角形，而平行線是構(gòu)造相似三角形的重要條件。一般來說，如果圖中已有平行線或相似三角形，則只需找到圖中的“A”字形和“X”字形圖，若沒有平行線也沒有相似三角形，則可以通過添加平行線構(gòu)造出相似三角形，再直接或間接地進(jìn)行線段比值的求解。那么如何巧添平行線，構(gòu)造相似三角形呢？下面以一道求線段比值的中考試題為例，詳細(xì)剖析添加平行線的方法。

【引例】如圖4，已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC。取AB的中點(diǎn)F，連接FD交AC于點(diǎn)E。（1） 求AE∶AC的值；（2）若AB=a，F(xiàn)B=EC，求AC的長。

【解析】這里重點(diǎn)解析第（1）題。圖中沒有相似三角形，也沒有平行線，要求AE∶AC的值，可以構(gòu)造相似三角形進(jìn)行直接求解或間接轉(zhuǎn)換。我們看到圖中有6個(gè)標(biāo)出的點(diǎn)，分別是A、B、C、D、E、F。我們從其中的任一點(diǎn)出發(fā)，看看能否作出和已知線段（直線）平行的直線，從而構(gòu)造出相似三角形。

先從點(diǎn)A開始，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過點(diǎn)A可以作出FD的平行線（如圖5），交BD的延長線于點(diǎn)K。在這個(gè)圖形中蘊(yùn)涵著以下兩個(gè)“A”字形的基本圖形，分別如圖6和圖7所示。

在圖6中，由AK∥FD，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)可得D是BK的中點(diǎn)，又由C是BD中點(diǎn)可得CD∶CK=1∶3， 結(jié)合圖7可得CE∶CA=1∶3，所以AE∶AC=2∶3。

另一方面，經(jīng)過點(diǎn)A還可以作出BC的平行線，并與DF的延長線交于點(diǎn)K（如圖8）。在此圖形背景中，隱藏著下面兩個(gè)“X”字形圖，分別如圖9、10所示。

在圖9中，由AK∥BD，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)可得F是DK的中點(diǎn)，可得△AEK≌△BFD，所以BD=AK；又由C是BD中點(diǎn)可得CD∶AK=1∶2，結(jié)合圖10可得CE∶CA=1∶3，所以AE∶AC=2∶3。這樣，從點(diǎn)A出發(fā)可以引出兩條平行線，相應(yīng)地產(chǎn)生了相似三角形，再挖掘其中隱藏的“A”字形和“X”字形圖，可以使問題輕松解決。

類似地，我們可以選取點(diǎn)B，以其為起點(diǎn)，可構(gòu)造出兩個(gè)圖形（如圖11、12）。選取點(diǎn)C，以其為起點(diǎn)，可構(gòu)造出兩個(gè)圖形（如圖13、14）。選取點(diǎn)D，以其為起點(diǎn)，可構(gòu)造出兩個(gè)圖形（圖15、16）。再選F，類似地可構(gòu)造出三個(gè)圖形（圖略）。

四、方法歸總

把從不同的點(diǎn)出發(fā)，引平行線進(jìn)而構(gòu)造相似三角形的所有情形歸總起來列成表格：

起點(diǎn) A B C D E F 合計(jì)種類 2 2 2 2 0 3 11

這樣，就有11種不同的添加平行線的方案，從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)都可以引出兩條（或多于兩條）平行線，不過此處一個(gè)顯著的特點(diǎn)是：這里除了點(diǎn)E外，由其余各點(diǎn)引出的平行線均能與已知條件“CD=BC，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)”溝通起來，或多或少地與比值有所牽連。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？這正如打算應(yīng)用“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”來證明 “兩條線段相等”，而在尋找全等的條件時(shí)，不能把需要證明相等的兩邊作為全等條件一樣。這里我們不妨把點(diǎn)E稱為“動(dòng)”分點(diǎn)，而與之相對(duì)應(yīng)的分點(diǎn)（包括線段的端點(diǎn)）稱為“靜”分點(diǎn)，我們據(jù)此得出下列規(guī)律和步驟：

（1）找出圖中的所有分點(diǎn)（含線段端點(diǎn)），區(qū)分“動(dòng)”分點(diǎn)和“靜”分點(diǎn)；

（2）以每個(gè)“靜”分點(diǎn)為起點(diǎn)，引平行線，構(gòu)造相似三角形；

（3）在圖中找出“A”字形和“X”字形圖，并把它們從背景圖中分離出來；

（4）根據(jù)“A”字形和“X”字形基本圖中的基本結(jié)論，綜合求出待求的比值。

五、應(yīng)用舉例

例1 如圖17，△ABC中，BD∶DC=1∶3，AE∶ED=2∶3，求AF∶FC。

【解析】在A、B、C、D、E、F六個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)F是動(dòng)分點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E都是靜分點(diǎn)。因此我們分別以A、B、C、D、E為起點(diǎn)引平行線，可以構(gòu)造出以下圖形（如圖18、19、20、21等等，由于類同上述例題，所以構(gòu)造出的其余圖形不再畫出）。這里同樣有不下于10種引平行線的方法，最終可求得AF∶FC=2∶9。

圖 17

圖 18

圖 19

圖 20

圖 21

例2 如圖22，在△ABC中，AB=AC，D為AB上的一點(diǎn)，E為AC延長線上的一點(diǎn)，且CE=BD，連接DE交BC于點(diǎn)P。

（1）求證：PD=PE；

（2）若CE∶CA=1∶5，BC=10，求BP的長。

圖22

【解析】（1）略。

（2）由于題中已知線段BC的長，欲求BP的長，只需求出BP∶BC的值即可。

觀察圖中的A、B、C、D、E、P六個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)分點(diǎn)，其余都是靜分點(diǎn)，因此嘗試從其他幾個(gè)靜分點(diǎn)出發(fā)引平行線構(gòu)造相似三角形，分述如下：

圖 23

圖 24

圖 25

圖 26

①以A為出發(fā)點(diǎn)，有如圖23、24所示的兩種構(gòu)造方法。

②以B為起點(diǎn)，有如圖25、26所示的兩種構(gòu)造方法。

以C、D、E為起點(diǎn)的構(gòu)造方法類同，圖略。

上述10種方案所構(gòu)造的圖形中，均包含有“A”字形或“X”字形基本圖，通過分析其中的比例關(guān)系，不難求出BP∶BC=3∶5，所以BP的長為

數(shù)學(xué)解題能力的修煉和提高，得益于解題方法的積累和總結(jié)。在平時(shí)解題過程中不能只滿足于就題論題，為解題而解題，也不要追求多解的數(shù)量，而要注重“多解歸一”。文中所述各題，都是通過引平行線，進(jìn)而對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行拆分，利用其中的“A”字形或“X”字形相似，最終求出相關(guān)線段的比值。多角度地看待同一個(gè)問題，或同一角度看待不同的問題，最終達(dá)到“一題多解”或“多解歸一”，這是修煉解題基本功的重要途徑。作為教師，只有在解題教學(xué)中有意識(shí)地對(duì)學(xué)生加以培養(yǎng)和訓(xùn)練，才能使他們逐步提升能力，最終擁有常人所不具備的絕技，從而在解題競(jìng)技中“一招制敵”。

[1]羅峻，段利芳.一道平行線問題的證明、演變與運(yùn)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（19）.

[1]盧彩霞.利用解決平行線中拐角問題的方法求解折線成角問題[J].吉林教育，2017（37）.