2018年中考“事件的概率”專題命題分析

（河南省商丘市梁園區(qū)基礎教育教學研究室）

“事件的概率”是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，同時是各地中考的必考內(nèi)容，通過學習概率，可以加深對隨機現(xiàn)象的認識，形成數(shù)據(jù)分析觀念，學會做出合理的決策，并且提高分析問題和解決問題的能力，以及數(shù)學應用意識.綜觀2018年各地的中考試題，概率的考查命題形式以填空題、選擇題、解答題等方式呈現(xiàn)，命題避循了“數(shù)學試題在考學生‘四基’的同時，著重考查學生運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力”的原則，試題的設計主要是從基礎知識出發(fā)，考查學生的基本應用技能和合情推理能力，部分地區(qū)的中考試題對概率內(nèi)容知識考查越來越靈活，題目越來越新穎、綜合.

一、考點分析

“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容在新課程中得到了較高的重視，成為和“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“綜合與實踐”并列的四部分內(nèi)容之一.“事件的概率”是中考的必考內(nèi)容之一，雖然概率的內(nèi)容在中考中所占的分值不多，考查的內(nèi)容也都比較簡單，但它往往與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，注重對基本概念和統(tǒng)計量計算的合理使用，從而為統(tǒng)計決策提供科學依據(jù).這些內(nèi)容特點與現(xiàn)代社會對普通公民數(shù)據(jù)理解和分析能力的基本要求相一致.因此，“事件的概率”內(nèi)容具有較為重要的現(xiàn)實價值.

1.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》要求

根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，“事件的概率”的課程內(nèi)容為：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率；（2）知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率.基于此，以收集到的2018年全國各地區(qū)中考試卷130份作為樣本，發(fā)現(xiàn)各地對“事件的概率”的考點主要體現(xiàn)在三個方面：（1）考查確定事件和隨機事件的基本概念；（2）對隨機事件進行數(shù)據(jù)分析，用頻率來估計概率；（3）借助定義，以公式法、列表法、畫樹狀圖、幾何概型或游戲公平性的形式求事件的概率.

2.基本情況分析

130份試卷的相關數(shù)據(jù)如表1所示.

表1

（1）從試題形式上看，21份試卷只在選擇題中單獨考查，18份試卷只在填空題中單獨考查.另外，湖北武漢、山東聊城、四川成都、湖南長沙、內(nèi)蒙古包頭5份試卷以“一道選擇題+一道填空題”的形式呈現(xiàn)；38份試卷只在解答題中考查，另外，43份試卷以“一道選填題+一道解答題”的形式呈現(xiàn)；廣東卷和山東萊蕪卷未考查“事件的概率”.

（2）從題量上看，“事件的概率”共175道題，平均每份試卷1.35道，約占總題數(shù)的5.17%；從分值上看，全國各地區(qū)基本為滿分120分或150分卷，“事件的概率”部分共668分，平均每份試卷5.1分，約占總分數(shù)的3.78%，分值數(shù)與《標準》要求的“事件的概率”的課時量安排比例基本相符.

（3）從考查內(nèi)容上看，絕大部分試卷注重對列表法或樹狀圖法列出所有可能性，并求出相關概率的考查，少部分地區(qū)只考查了概率公式的應用；有11份試卷考查了幾何概型，比2017年有顯著增加；解答題中基本與統(tǒng)計相結(jié)合，在最后一問中用列表法或樹狀圖法求概率，或利用頻率估計概率，綜合考查學生運用統(tǒng)計知識與隨機意識的能力.另外有26份試卷在解答題中單獨考查概率的應用.

二、命題思路分析

概率知識在“統(tǒng)計與概率”板塊中占有較大的比重，與近幾年各地中考試卷相比，2018年各地中考試卷對“事件的概率”的考查總體延續(xù)了近幾年的命題特點，即結(jié)合實際背景，考查概率知識的基本概念，以及計算簡單隨機事件的概率等內(nèi)容仍然是2018年中考的主要形式.同時，加強統(tǒng)計與概率之間的聯(lián)系，在中考試題中將兩者有機融合在一起，體現(xiàn)了概率其實就是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門學科，題目在題干設計、呈現(xiàn)形式等方面不乏亮點，這種考法上的變化，對教學具有正確的導向作用.

1.重視基礎，直接考查概率的相關概念

例1（四川·南充卷）下列說法正確的是（ ）.

（A）調(diào)查某班學生的身高情況，適宜采用全面調(diào)查

（B）籃球隊員在罰球線上投籃兩次都未投中，這是不可能事件

（C）天氣預報說明天的降水概率為95%，意味著明天一定下雨

（D）小南拋擲兩次硬幣都是正面向上，說明拋擲硬幣正面向上的概率是1

例2（福建A卷）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則下列事件為隨機事件的是（ ）.

（A）兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于1

（B）兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于1

（C）兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和大于12

（D）兩枚骰子向上一面的點數(shù)之和等于12

例3（遼寧·沈陽卷）下列事件中，是必然事件的是（ ）.

（A）任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)

（B）13個人中至少有兩個人生肖相同

（C）車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈

（D）明天一定會下雨

【評析】上述三道試題均考查概率的基本概念，分別以擲骰子和生活現(xiàn)象考查學生對不可能事件、隨機事件及必然事件的正確理解.《標準》對“事件的概率”部分內(nèi)容要求不高，各地區(qū)中考對此類知識考查偏易，均以豐富的現(xiàn)實背景對各種事件的含義進行全面考查，以直接考查的形式來呈現(xiàn)，使試題更加符合《標準》的要求.

（A）連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上

（B）連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上

（C）大量反復拋一枚均勻硬幣，平均每100次有50次正面朝上

（D）通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的

例5（廣西·貴港卷）筆筒中有10支型號、顏色完全相同的鉛筆，將它們逐一標上1～10的號碼，若從筆筒中任意抽出一支鉛筆，則抽到編號是3的倍數(shù)的概率是（ ）.

【評析】以上三道題均考查簡單隨機事件概率的求法，很好地考查了學生對事件及其概率意義的理解，知識點為隨機事件A的概率P(A)等于事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).直接運用概率公式求解的方式是概率問題的基礎，題目較易，試題的設計也主要以學生的認知基礎和知識經(jīng)驗進行設計，考查目標基礎，問題呈現(xiàn)自然，具有較好的效度和信度.

2.創(chuàng)新形式，綜合考查對簡單隨機事件概率的理解

例7（廣西·玉林卷）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖如圖1所示，則符合這一結(jié)果的實驗可能是（ ）.

圖1

（A）拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上

（B）擲一個正六面體骰子，出現(xiàn)3點朝上

（C）一副去掉大、小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

（D）從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取1個球，取到的是黑球

例8（北京卷）從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如表2所示.早高峰期間，乘坐_______（填“A”“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大.

表2

例9（湖南·永州卷）在一個不透明的盒子中裝有n個球，它們除了顏色之外其他都沒有區(qū)別，其中含有3個紅球，每次摸球前，將盒中所有球搖勻，然后隨機摸出1個球，記下顏色后再放回盒中.通過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.03，那么可以推算出n的值大約是_______.

例10（江蘇·淮安卷）一只不透明袋子中裝有三個大小、質(zhì)地都相同的小球，球面上分別標有數(shù)字1，-2，3，攪勻后先從中任意摸出一個小球（不放回），記下數(shù)字作為點A的橫坐標，再從余下的兩個小球中任意摸出一個小球，記下數(shù)字作為點A的縱坐標.

（1）用畫樹狀圖或列表等方法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求點A落在第四象限的概率.

例11（云南·曲靖卷）數(shù)學課上，李老師準備了四張背面看上去無差別的卡片A，B，C，D，每張卡片的正面標有字母a，b，c表示三條線段（如圖2），把四張卡片背面朝上放在桌面上，李老師從這四張卡片中隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張.

圖2

（1）用樹狀圖法或者列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求抽取的兩張卡片中每張卡片上的三條線段都能組成三角形的概率.

例12（貴州·貴陽卷）圖3（1）是一枚質(zhì)地均勻的正四面體形狀的骰子，每個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，圖3（2）是一個正六邊形棋盤，現(xiàn)通過擲骰子的方式玩跳棋游戲，規(guī)則是：將這枚骰子擲出后，看骰子向上三個面（除底面外）的數(shù)字之和是幾，就從圖3（2）中的點A開始沿著順時針方向連續(xù)跳動幾個頂點，第二次從第一次的終點處開始，按第一次的方法跳動.

圖3

（1）隨機擲一次骰子，則棋子跳動到點C處的概率是________；

（2）隨機擲兩次骰子，用畫樹狀圖或列表的方法，求棋子最終跳動到點C處的概率.

【評析】在近幾年中考中，概率和其他領域的知識相結(jié)合進行綜合考查的題目頻繁出現(xiàn)，從命題的角度來看，綜合試題問題背景設計更為新穎，創(chuàng)新意識更強，但結(jié)合學生的認知基礎和知識經(jīng)驗，這種題型難度稍高，若命題者一味強調(diào)創(chuàng)新，強調(diào)綜合，把求概率當成計算題，人為設置障礙，則與概率研究的隨機現(xiàn)象本質(zhì)不符.如何巧妙的設置概率綜合題，應是命題者應該研究的一個課題.

以上三道題分別以點的坐標、三角形的存在性及規(guī)律性問題相結(jié)合考查簡單概率事件，其中例10第（1）小題以不放回的兩步概率入手，考查了列表法或樹狀圖法的知識，第（2）小題以第（1）小題的結(jié)果直接利用概率公式求解，雖然綜合了點的坐標的特征，但此題難度不大，知識間銜接自然，很巧妙地把點的坐標與概率的基本考查融為一體.例11第（1）小題和例10類似，均為考查列表法或樹狀圖法的知識，但由于第（2）小題中三角形的特征難度稍大，會導致學生因其他數(shù)學知識不過關而造成失分，在效度上削弱了對概率的考查功能.例12第（1）小題中以正四面體的骰子向上三個面的數(shù)字和為跳棋中的步數(shù)為背景求一步概率，此時，隨機投擲一次，向上三個面上數(shù)字和分別是1＋2＋3＝6，1＋2＋4＝7，1＋3＋4＝8，2＋3＋4＝9，從點A開始，跳動后分別在點A，B，C，D四個位置，和為8時，可以到達點C，根據(jù)概率公式計算即可；第（2）小題則以兩步概率入手，根據(jù)數(shù)字和判斷棋子的位置，用畫樹狀圖或列表的方法考查規(guī)律性問題，以及概率的隨機性和應用性.所以，在綜合題的設置上，命題者應從概率的基本考查入手，引導學生關注概率隨機性及應用性的基本功能.

3.試題背景貼近生活，考查模型思想與應用思想

圖4

例14（甘肅·白銀卷）如圖5，在正方形方格中，陰影部分是涂黑的3個小正方形所形成的圖案.

圖5

（1）如果將一粒米隨機地拋在這個正方形方格上，那么米粒落在陰影部分的概率是多少？

（2）現(xiàn)將方格內(nèi)空白的小正方形（A，B，C，D，E，F(xiàn)）中任取2個涂黑，得到新圖案.試用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率.

【評析】以上兩道題分別以幾何模型考查了古典概型概率公式，通過對平面圖形陰影部分面積的比例轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.例13以實際問題入手考查幾何概型、菱形的性質(zhì)、解直角三角形，解答此題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.命題的立意以計算為主，考查簡單的幾何概型，追求試題的創(chuàng)新，投針訓練的隨機性與最終求出命中矩形區(qū)域的概率的應用性體現(xiàn)了概率的本質(zhì).例14利用軸對稱設計圖案考查幾何概型，第（1）小題直接利用概率公式計算可得，第（2）小題則需要列表法與畫樹狀圖法得出所有等可能結(jié)果，從中找到新圖案是軸對稱圖形的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算可得.命題者構(gòu)思新穎，轉(zhuǎn)化巧妙、自然，在不同的背景下求概率，對學生概率基礎知識和基本技能進行考查，體現(xiàn)概率的模型思想與數(shù)形結(jié)合思想.

例15（貴州·遵義卷）某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動共有兩種方式.方式一：如圖6，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向A區(qū)域時，所購買物品享受9折優(yōu)惠，指針指向其他區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同，所購買物品享受8折優(yōu)惠，其他情況無優(yōu)惠.在每個轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個區(qū)域的可能性相同（若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）.

（1）若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為________；（2）若顧客選擇方式二，試用樹狀圖或列表法列出所有可能，并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.

圖6

例16（山東·青島卷）小明和小亮計劃暑期結(jié)伴參加志愿者活動.小明想?yún)⒓泳蠢戏栈顒?，小亮想?yún)⒓游拿鞫Y儀宣傳活動.他們想通過做游戲來決定參加哪個活動，于是小明設計了一個游戲，游戲規(guī)則是：在三張完全相同的卡片上分別標記4，5，6三個數(shù)字，一人先從三張卡片中隨機抽出一張，記下數(shù)字后放回，另一人再從中隨機抽出一張，記下數(shù)字.若抽出的兩張卡片標記的數(shù)字之和為偶數(shù)，則按照小明的想法參加敬老服務活動；若抽出的兩張卡片標記的數(shù)字之和為奇數(shù)，則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動.你認為這個游戲公平嗎？試說明理由.

【評析】數(shù)學來源于生活，又服務于生活，而概率最大的特點就是其應用性，近幾年中考命題中研究現(xiàn)實生活中概率現(xiàn)象的試題呈上升趨勢，結(jié)合現(xiàn)實背景，涉及概率公式、列表法與樹狀圖法以及游戲的公平性等知識.這類試題考查學生應用概率知識解決實際問題的能力和意識，體現(xiàn)了學生對概率基本思想的考查.

例15第（1）小題由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲共有四種等可能結(jié)果，其中指針指向A區(qū)域只有1種情況，利用概率公式計算可得；第（2）小題畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中確定指針指向每個區(qū)域的字母相同的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計算可得.此題問題背景的設置是學生較為熟悉的場景，命題較為簡潔，雖為方案選擇，但無其他干擾因素，在概率的隨機性的基礎上能更好的對概率的應用意識和能力進行考查，讓學生在解決問題的過程中，體會學習概率的意義.例16首先根據(jù)題意列表，然后根據(jù)列表求得所有等可能的結(jié)果與和為奇數(shù)、偶數(shù)的情況，再利用概率公式求解即可.此題在運用概率公式進行正確運算的基礎上，還要對游戲的公平性進行判斷，命題不僅考查學生運用概率知識解決實際問題的能力和意識，還考查了學生運用數(shù)據(jù)進行說理的能力.

4.綜合統(tǒng)計知識，考查隨機意識能力的培養(yǎng)

例17（安徽卷）“校園詩歌大賽”結(jié)束后，張老師和李老師將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數(shù)）進行整理，并分別繪制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)直方圖如圖7、圖8所示，部分信息如下.

圖7

圖8

（1）本次比賽參賽選手人數(shù)共有_____，扇形統(tǒng)計圖中“69.5～79.5”這一組人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為_______；

（2）賽前規(guī)定，成績由高到低前60%的參賽選手獲獎.某參賽選手的比賽成績?yōu)?8分，試判斷他能否獲獎，并說明理由；

（3）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為獲獎代表發(fā)言，試求恰好選中1男1女的概率.

【評析】在初中階段，可以把概率看成是統(tǒng)計過程的一個階段.如果把整個初中階段的統(tǒng)計內(nèi)容按照統(tǒng)計活動的過程來安排，概率的內(nèi)容安排在分析數(shù)據(jù)階段更合適.一個事件發(fā)生時，往往需要通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述，以及對事件發(fā)生的可能性的刻畫，做出合理的決策，這在日常生活中應用非常廣泛，歷年中考命題中也以此作為命題點，綜合考查統(tǒng)計與概率的關系.現(xiàn)今的命題思路中，若總體信息不容易獲得，則只能利用樣本對總體做出估計，這種情況中，通過統(tǒng)計調(diào)查獲得頻率，用頻率值作為概率值的估計值，計算概率；若總體信息容易獲得，如例17，命題者則會通過統(tǒng)計調(diào)查，隨機在總體中選出幾個個體，依據(jù)一定樣本特征通過列表法或樹狀圖法進行概率分析.

三、復習建議

綜上可見，在2018年中考試題中對“事件的概率”的考查，緊扣《標準》的要求，又不斷推陳出新，展現(xiàn)新的亮點，同時呈現(xiàn)出比較穩(wěn)定的規(guī)律.但如何科學備考呢？筆者從以下三個方面給出建議.

1.扎根基礎，理清“事件的概率”領域知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡

從近幾年全國各地的“事件的概率”的試題來看，考查單一知識點的試題很多，題型以選擇題和填空題為主.試題仍以中低檔形式呈現(xiàn)在中考試卷中，試題特點為：緊扣《標準》，對《標準》內(nèi)容直接考查；求解方式直接、明了；涉及知識點較少，大部分為送分題.因此，建議中考復習要扎根基礎，把教材中關于概率的知識點串起來，構(gòu)建如圖9所示的知識網(wǎng)絡圖，做到容易題不丟分.

圖9

復習中，形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡有利于學生對知識的存儲和記憶，有利于學生在考試時對所學知識的提取和運用.知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡由教師提出大的思路，先讓學生自主嘗試構(gòu)建，然后再對照教材補充完善，最后師生之間進行比較、交流.同時對照知識結(jié)構(gòu)讓學生自己復習回憶知識點，并對照知識結(jié)構(gòu)讓學生自己嘗試編題交流、猜測題型，加深對概率知識的理解.

2.針對“事件的概率”部分熱點問題、薄弱環(huán)節(jié)進行專題強化訓練

通過對2018年全國130份中考試卷的研究，“事件的概率”在所有知識模塊中所占比重不大，題型較易，這也使概率的考查以基本概念及列舉法求隨機事件的概率為主，命題者往往以試題背景及情境的變化營造概率試題的創(chuàng)新與新穎，但概率本質(zhì)的考查仍為根本，因此，對部分熱點問題、薄弱環(huán)節(jié)進行專題強化訓練就猶顯重要.

概率試題中，選擇題和填空題主要考査的是對知識的了解和理解層次，解答題主要考查的是對知識的掌握和運用層次，試題的綜合性一般較強.因此，專題復習中教師一定要認真研究《標準》中涉及概率部分的要求，不要人為地拔高中考對該知識點的要求，也不要降低中考對該知識點的要求.在復習過程中，不要把習題收集得過多、過難，所選擇的題目只要能覆蓋考試要求中所涉及到的各個知識點并達到相應的能力要求即可.

3.重視綜合，關注學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)

由于初中生受知識水平和思維水平的限制，從圖表中獲取信息的能力和閱讀理解能力相對較弱，所以概率試題往往很容易做，學生卻又不容易得分.在復習中，要緊扣《標準》要求，突出概率的核心知識和基本思想，關注概率的應用性及隨機性，強化基本的解題訓練，注重培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和靈活性.尤其是結(jié)合生產(chǎn)、生活實際的試題，以及與統(tǒng)計、代數(shù)、幾何等領域相結(jié)合的綜合性題目，教師要引導學生剔除試題的問題背景，抓住試題反映的數(shù)學本質(zhì)，從而提高解題的效率.

四、模擬題欣賞

1.下列事件是必然事件的是（ ）.

（A）某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎

（B）一組數(shù)據(jù)1，2，4，5的平均數(shù)是4

（C）三角形的內(nèi)角和等于180°

（D）若a是實數(shù)，則|a|＞0

答案：C.

答案：B.

3.農(nóng)科所在相同條件下經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)蠶豆種子的發(fā)芽率為97.1%，試估計黃石地區(qū)1 000斤蠶豆種子中不能發(fā)芽的大約有（ ）.

（A）971斤 （B）129斤

（C）97.1斤 （D）29斤

答案：D.

4.如圖10，在4×4的正方形網(wǎng)格中，有3個小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意1個白色的小正方形（每個白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新構(gòu)成的黑色部分的圖形是軸對稱圖形的概率是 .

圖10

5.林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，表3是這種幼樹在移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).

表3

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為____.

答案：0.881.

6.有4張看上去無差別的卡片，上面分別寫著2，3，4，6，小紅隨機抽取1張后，放回并混在一起，再隨機抽取1張，則小紅第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率為______.

7.如圖11，轉(zhuǎn)盤A的三個扇形面積相等，分別標有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤B的四個扇形面積相等，分別標有數(shù)字1，2，3，4.轉(zhuǎn)動A，B轉(zhuǎn)盤各一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針所落扇形中的兩個數(shù)字相乘（當指針落在兩個扇形的交線上時，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）.

（1）用樹狀圖或列表等方法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求兩個數(shù)字的積為奇數(shù)的概率.

圖11

解：（1）畫樹狀圖如圖12所示.

圖12

則共有12種等可能的結(jié)果.

（2）當轉(zhuǎn)盤停止時，A，B兩個轉(zhuǎn)盤可能出現(xiàn)的結(jié)果有12種，當兩個數(shù)字的積為奇數(shù)時有4種情況.

8.為了解市民對全市創(chuàng)衛(wèi)工作的滿意程度，某中學教學興趣小組在全市甲、乙兩個區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計，將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意、非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到如圖13、圖14所示的不完整的統(tǒng)計圖.

圖13

圖14

試結(jié)合圖中信息，解決下列問題：

（1）求此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù).

（2）求此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù).

（3）興趣小組準備從調(diào)查結(jié)果為不滿意的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已知4位市民中有2位來自甲區(qū)，另2位來自乙區(qū)，試用列表或用畫樹狀圖的方法求出選擇的市民均來自甲區(qū)的概率.

解：（1）因為滿意的有20人，占40%，

所以此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為20÷40%=50（人）.

（2）此次調(diào)查中結(jié)果為非常滿意的人數(shù)為50-4-8-20=18（人）.

（3）畫樹狀圖如圖15所示.

圖15

因為共有12種等可能的結(jié)果，選擇的市民均來自甲區(qū)的有2種情況，