帶碰撞角約束的三維有限時(shí)間滑模制導(dǎo)律

趙曜，李璞，劉娟，陳喆，劉向東

（1.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076； 2.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，長沙 410073；3.北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081）

末制導(dǎo)的首要任務(wù)是控制導(dǎo)彈精確命中目標(biāo)，隨著科技的日新月異，現(xiàn)代軍事應(yīng)用對末制導(dǎo)技術(shù)的性能要求也日益提高。在某些特定的情況下，為了增強(qiáng)打擊的毀傷效果或發(fā)揮導(dǎo)彈所攜彈頭的最大殺傷能力，往往需要導(dǎo)彈從指定的方向、以特定的姿態(tài)對目標(biāo)進(jìn)行打擊，因而產(chǎn)生了帶碰撞角度約束的制導(dǎo)問題［1］。

由于形式簡單、所需的信息量少，比例制導(dǎo)在實(shí)際工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［2-4］。然而傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)方法只能夠?qū)崿F(xiàn)末端脫靶量為零，對于碰撞角約束要求無法滿足。為了解決上述問題，學(xué)者們提出了多種改進(jìn)的比例制導(dǎo)方法［5-9］。一種較為典型的方法是偏置的比例制導(dǎo)。這類方法是在傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上添加一個(gè)時(shí)變偏置項(xiàng)以消除碰撞角誤差［5-6］。然而，偏置的比例制導(dǎo)在對目標(biāo)進(jìn)行追尾打擊時(shí)性能會(huì)急劇下降［9］。另一種改進(jìn)的比例制導(dǎo)方法是通過在線更新比例系數(shù)得到的。文獻(xiàn)［7］針對高超聲速滑翔飛行器打擊地面靜止目標(biāo)提出了一種自適應(yīng)三維末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律的比例系數(shù)以特定的閉環(huán)形式進(jìn)行連續(xù)更新，使得導(dǎo)彈的彈道傾角和偏角末值均滿足期望要求。然而在初始指向誤差較大的情況下，文獻(xiàn)［7］的方法會(huì)給制導(dǎo)初段帶來巨大的誘導(dǎo)阻力并導(dǎo)致較長的飛行時(shí)間。為了解決該問題，Ratnoo和 Ghose［8］在制導(dǎo)初始段設(shè)計(jì)了一種定向制導(dǎo)，該制導(dǎo)律也是比例系數(shù)隨時(shí)間變化的比例制導(dǎo)。文獻(xiàn)［9］進(jìn)一步對該方法進(jìn)行了擴(kuò)展，使其能夠打擊常值速度目標(biāo)。然而文獻(xiàn)［8-9］中提出的制導(dǎo)方法僅能應(yīng)用于二維平面。

作為一種變結(jié)構(gòu)控制方法，滑模控制對模型不確定性和外部擾動(dòng)有著較強(qiáng)的魯棒性，因而在末制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。周荻等［10］針對尋的導(dǎo)彈提出了一種自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律，并分別通過理論分析和數(shù)值仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律對參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性。然而，該制導(dǎo)律并未考慮碰撞角約束。Shima［11］基于滑?？刂铺岢隽艘环N攔截角度約束制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律能夠應(yīng)用于對目標(biāo)進(jìn)行迎頭打擊、尾追打擊和彈頭追蹤打擊等情形。文獻(xiàn)［12］進(jìn)一步考慮了時(shí)變的加速度邊界約束，對 Shima［11］的制導(dǎo)律進(jìn)行了擴(kuò)展研究。但是該制導(dǎo)方法并未考慮導(dǎo)彈的氣動(dòng)特性。Hou和Duan［13］基于自適應(yīng)滑模控制方法設(shè)計(jì)了整合的制導(dǎo)控制策略，并通過非線性導(dǎo)彈模型對制導(dǎo)律的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。但是該制導(dǎo)律僅研究了彈目在同一二維平面的情形，并且可實(shí)現(xiàn)的碰撞角范圍非常有限。因此，需要進(jìn)一步研究可實(shí)現(xiàn)碰撞角范圍較廣且能應(yīng)用于三維空間的滑模制導(dǎo)方法。

彭雙春等［14］結(jié)合微分幾何和李群方法的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種三維制導(dǎo)律，但是該方法精度對制導(dǎo)參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果較為敏感。文獻(xiàn)［15］利用變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)了魯棒制導(dǎo)律，然而該方法設(shè)計(jì)時(shí)忽略了導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)特性?；诜蔷€性最優(yōu)控制理論，文獻(xiàn)［16］提出了一種模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃三維制導(dǎo)律，該制導(dǎo)方法不僅能夠滿足期望的終端約束，也能使制導(dǎo)指令最小化。然而，應(yīng)用該方法需要首先提供指令初解，然后通過在線優(yōu)化得到實(shí)際制導(dǎo)指令，且優(yōu)化的收斂速度與初解精度直接相關(guān)。文獻(xiàn)［17］基于狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程方法設(shè)計(jì)了帶碰撞角約束的三維制導(dǎo)律，該方法雖然不需要提供初解信息，但是仍需在線求解狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程，計(jì)算量較大，不利于彈上計(jì)算機(jī)求解。

本文基于導(dǎo)彈的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型提出了一種三維有限時(shí)間滑模制導(dǎo)方法，實(shí)現(xiàn)了以期望的碰撞角對地面靜止目標(biāo)的打擊要求。首先根據(jù)終端約束條件設(shè)計(jì)了滑模函數(shù)，然后利用Lyapunov方法得到了解析的制導(dǎo)律并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文提出的制導(dǎo)方法具有以下優(yōu)勢：①無需對模型作解耦或線性化處理；②縱向和側(cè)向平面碰撞角約束均能滿足且可實(shí)現(xiàn)的碰撞角范圍較大；③得到了解析的制導(dǎo)指令，在線計(jì)算量?。虎荛]環(huán)系統(tǒng)對外界擾動(dòng)和參數(shù)不確定性不敏感。

1 系統(tǒng)模型

導(dǎo)彈三維質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型［17］為

式中：（x，y，z）為導(dǎo)彈質(zhì)心位置坐標(biāo)；V、γ和 χ分別為導(dǎo)彈的速度、彈道傾角和彈道偏角；D為阻力；g為重力加速度；m為導(dǎo)彈質(zhì)量；ay和az分別為導(dǎo)彈法向和側(cè)向加速度，與導(dǎo)彈速度矢量垂直，因而只改變導(dǎo)彈的速度方向，不改變速度大小。令（xf，yf，zf）為目標(biāo)的位置坐標(biāo)，γf和 χf分別為縱向和側(cè)向期望的碰撞角末值。帶碰撞角約束的三維末制導(dǎo)問題可描述為：設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，使得脫靶量和碰撞角誤差在導(dǎo)彈落地時(shí)刻同時(shí)收斂為0，即設(shè)計(jì)ay，az，使得下式成立：

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

首先，構(gòu)造2個(gè)新變量 λ1和 ξ1，具體形式如下所示：

式中：Y＝y(tǒng)0-y，y0為導(dǎo)彈初始高度值；因?yàn)閅僅與高度信息相關(guān)，因此稱其為“偽高度變量”；Yf為Y的末值。

以Y為自變量對式（3）求微分，可得

由式（3）和式（4）容易得到以下結(jié)論：如果λ1、ξ1、λ2和 ξ24個(gè)變量在Y→Yf時(shí)（即y→yf時(shí)）同時(shí)收斂為 0，則有x＝xf，z＝zf，γ＝γf，χ＝χf，期望的設(shè)計(jì)指標(biāo)（見式（2））也就得到了滿足。

基于上述結(jié)論進(jìn)行帶碰撞角約束的有限時(shí)間滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，首先給出以下定理：

定理1考慮一變量 σ1，將其對Y求導(dǎo)得到σ2。如果將σ2作為控制量，且其具有如下形式：

則σ1和σ2將會(huì)在Y＝Y(jié)f時(shí)同時(shí)收斂為0。

證明由式（5），可得到如下等式關(guān)系：

通過調(diào)整變量位置，可將式（6）整理成如下形式：

假設(shè)式（7）的初始狀態(tài)為（Yb，σ1b）。則將式（7）從（Yb，σ1b）積分到未來某狀態(tài)點(diǎn)（Y，σ1）可得

由式（8）可推得

將式（9）兩邊取指數(shù)運(yùn)算，即可得到 σ1的解析表達(dá)式如下：

再將式（10）對Y求微分，可進(jìn)一步得到 σ2的解析表達(dá)式：

由式（10）和式（11）可以看出，如果n＞1成立，則在Y＝Y(jié)f時(shí)σ1和σ2將會(huì)同時(shí)收斂到0。

通過以上定理可以發(fā)現(xiàn)，式（5）給出了 σ2的一條合理的變化軌跡，即如果σ2按照式（5）定義的軌跡變化，則σ1和σ2將會(huì)在Y＝Y(jié)f時(shí)同時(shí)收斂為0。因此，制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為通過設(shè)計(jì)控制器使得λ2和 ξ2均按照式（5）定義的軌跡變化來實(shí)現(xiàn)。

設(shè)計(jì)有限時(shí)間滑?？刂破鱽韺?shí)現(xiàn)上述指標(biāo)要求。首先對 λ2和 ξ2再求一次微分，可以得到如下等式：

令式（12）中的 γ′，χ′為輔助控制量，實(shí)際控制量ay，az可由輔助控制量求得。利用式（3）和式（4）中的變量 λ1，ξ1，λ2，ξ2，設(shè)計(jì)如下的滑模函數(shù)：

令式（14）和式（15）均等于 0，聯(lián)立求解可得到如下等效控制：

選取如下形式的控制量：

式中：等效控制量 γ′eq和 χ′eq由式（16）給出；γ′dis和χ′dis為切換控制量。

將式（19）代入式（18），經(jīng)整理可得

根據(jù) Lyapunov穩(wěn)定性理論，若V′1≤0且V′2≤0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，可令

式中：k1、k2為切換增益。將式（16）和式（22）代入式（19）即可得到輔助控制量為

進(jìn)一步將式（23）結(jié)果代入式（14）和式（15），可得

從式（24）可以看出，參數(shù)k1和k2的物理意義分別為滑模函數(shù)S1和S2接近滑模面的速率。因此，可將切換增益設(shè)計(jì)如下：

其中：Yb＝pYf，p∈（0，1），因此有Yb＜Yf?；：瘮?shù)S1和S2將在Y＝Y(jié)b時(shí)收斂到零，即Y∈［Yb，Yf］時(shí)，有S1＝S2＝0。由上述結(jié)論可知，設(shè)計(jì)的控制律式（23）可使得 λ2和 ξ2在Y∈［Yb，Yf］時(shí)均按照式（5）定義的軌跡變化。進(jìn)而由定理 1可知 λ1、ξ1、λ2和 ξ24個(gè)變量在Y＝Y(jié)f時(shí)同時(shí)收斂為 0，將式（3）和式（4）代入求解，易得即滿足了期望的設(shè)計(jì)指標(biāo)式（2）。因此，可得到結(jié)論：在控制律式（23）作用下，導(dǎo)彈能以期望的彈道傾角和彈道偏角對目標(biāo)進(jìn)行精確打擊。

結(jié)合式（1）和式（23），可得到如下帶碰撞角約束的三維制導(dǎo)律：

在制導(dǎo)律式（26）作用下，系統(tǒng)狀態(tài)在達(dá)到滑模面之后會(huì)沿著滑模面繼續(xù)滑動(dòng)，此時(shí)控制律中的切換函數(shù)會(huì)引起抖振現(xiàn)象。為了抑制抖振，采用了飽和函數(shù)法，即用連續(xù)的飽和函數(shù)sat（S）去近似切換函數(shù)sgn（S）。飽和函數(shù)選擇為如下形式：

式中：ε為邊界層厚度，其值需要折中選擇。邊界層厚度越大，對抖振的抑制效果也越好，但是相應(yīng)的靜態(tài)誤差也會(huì)越大；邊界層厚度越小，對抖振抑制效果越弱，但是相應(yīng)的靜態(tài)誤差也會(huì)越小。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)通過數(shù)值仿真驗(yàn)證本文所提制導(dǎo)律的有效性，導(dǎo)彈氣動(dòng)數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)［18］。導(dǎo)彈在三維空間中的初始位置坐標(biāo)為（x0，y0，z0）＝（0，3，3）km，初始速度為V0＝600m/s，目標(biāo)位置坐標(biāo)為（xf，yf，zf）＝（10，0，1）km。制導(dǎo)參數(shù)選擇為n＝3，p＝0.3，ε＝0.001。需要指出本節(jié)所有的仿真算例均考慮了一階自動(dòng)駕駛儀滯后特性，滯后時(shí)間選為0.3 s。仿真結(jié)束條件設(shè)定為y＝0m，即導(dǎo)彈落地時(shí)刻。

首先選擇了不同的初始發(fā)射角進(jìn)行仿真。其中，發(fā)射角（γ0，χ0）分別選為（-5°，0°），（-15°，30°）和（-30°，-30°），碰撞角（γf，χf）選擇為（-60°，30°）。仿真結(jié)果如圖 1所示。

從以上結(jié)果可以看出，雖然導(dǎo)彈的初始發(fā)射方向不同，但最終均能以期望的碰撞角對目標(biāo)實(shí)現(xiàn)精確打擊。對于（γ0，χ0）為（-15°，30°）和（-30°，-30°）的算例，由于初始指向誤差較大，因此在初始時(shí)刻通過較大的法向和側(cè)向過載對導(dǎo)彈的指向進(jìn)行了修正。當(dāng)導(dǎo)彈的彈道傾角和彈道偏角進(jìn)入合理的范圍內(nèi)時(shí)，過載幅值也下降到較小的范圍。此外，通過滑模函數(shù)變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，雖然到達(dá)滑模面的時(shí)間不同，但是只要在碰撞時(shí)刻之前到達(dá)滑模面，期望的終端約束就能得到滿足。

然后通過蒙特卡羅仿真驗(yàn)證有限時(shí)間滑模制導(dǎo)律對外界擾動(dòng)和參數(shù)不確定性的魯棒性。導(dǎo)彈的初始發(fā)射角（γ0，χ0）和期望的碰撞角（γf，χf）分別選擇為（-5°，10°）和（-70°，60°）。仿真中，在制導(dǎo)指令輸入端加入范圍為±20%指令幅值的隨機(jī)干擾作為外部擾動(dòng)。此外，參數(shù)不確定性通過施加范圍為大氣密度標(biāo)稱值±5%的隨機(jī)噪聲來實(shí)現(xiàn)。進(jìn)行1 000次的蒙特卡羅仿真，得到結(jié)果如圖2所示。

圖1 不同發(fā)射角條件下仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results with different launch angles

由于仿真結(jié)束條件設(shè)定為y＝0，因此，脫靶量可由x坐標(biāo)和z坐標(biāo)的末值分布來體現(xiàn)。圖2（a）給出了脫靶量的蒙特卡羅仿真結(jié)果，可以看出1 000次蒙特卡羅仿真碰撞點(diǎn)的x坐標(biāo)和z坐標(biāo)范圍分別在（9 999.94，10 000.06）m和（999.997，1000.003）m之間，說明脫靶量非常小。碰撞角的蒙特卡羅仿真結(jié)果可參見圖2（b）。從該結(jié)果可以看出，彈道傾角和彈道偏角的末值范圍分別在（-70.2°，-69.8°）和（59.2°，60.9°）之間，因此，碰撞角誤差也非常小。該組仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提制導(dǎo)方法能夠保證較高的終端精度。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本方法的魯棒性優(yōu)勢，圖3中給出了應(yīng)用文獻(xiàn)［17］制導(dǎo)律得到的蒙特卡羅仿真結(jié)果。對比圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，相較于文獻(xiàn)［17］的方法，本文方法對外部擾動(dòng)和模型不確定性具有更強(qiáng)的魯棒性。

圖2 本文制導(dǎo)律蒙特卡羅仿真結(jié)果Fig.2 Results of Monte Carlo simulation with proposed guidance law

圖3 文獻(xiàn)［17］制導(dǎo)律蒙特卡羅仿真結(jié)果Fig.3 Results of Monte Carlo simulation with guidance law in Ref.［17］

4 結(jié) 論

本文提出了一種三維有限時(shí)間滑模制導(dǎo)律，不僅實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈對地面靜止目標(biāo)的精確打擊，也實(shí)現(xiàn)了對縱向和側(cè)向碰撞角的約束。該制導(dǎo)方法無需對系統(tǒng)模型進(jìn)行解耦或線性化處理，制導(dǎo)律形式簡單且需求信息量較少。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了該制導(dǎo)律能保證很高的終端精度，且對初始指向誤差、外界擾動(dòng)及參數(shù)不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。在今后研究中，還需將該制導(dǎo)方法擴(kuò)展到打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的情形。

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