中德數(shù)學(xué)教材對比分析
——以《圓的認(rèn)識》為例

■ 武漢市青山區(qū)新溝橋小學(xué) 劉家旎

武漢市硚口區(qū)水廠路小學(xué) 蔡 維

武漢市育才小學(xué) 姜瑞欣

武漢市育才漢口小學(xué) 鄧石磊

我國近代教育家陸費(fèi)逵在《中華書局宣言書》中明確提出“國立根本，在乎教育；教育根本，實(shí)在教科書?！睌?shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，是數(shù)學(xué)學(xué)科知識的精華，是專家學(xué)者智慧的結(jié)晶。在本次“中德小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較研究論壇”活動中，我們有幸學(xué)習(xí)到了中、德兩國關(guān)于《圓的認(rèn)識》這一課的不同版本教材。下面，我們以《圓的認(rèn)識》這課為例，來比較、分析兩國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材。

首先，來看看我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材。目前我國小學(xué)數(shù)學(xué)的教材版本有：人教版、北師大版、上海版、浙江版、江蘇版、西師大版、臺灣版等十幾種。通過研讀教材，我們發(fā)現(xiàn)在新課標(biāo)要求下的國內(nèi)多版教材，包括相同的中華文化背景下的臺灣版教材，在內(nèi)容的編排上有著以下三點(diǎn)共同之處。

北師大版

上海版

西師大版

一、在情境中引入圓

圓在我們生活中隨處可見，以和諧、對稱體現(xiàn)其獨(dú)特的美感。因此中國版教材都是從生活現(xiàn)象中來引入圓的學(xué)習(xí)，如北師大版的從套圈游戲來引入，西師大版和上海版的則從自然界和社會生活中形形色色的“圓”來抽象出幾何圖形的圓。不同版本的數(shù)學(xué)教材都從生活情境中引入圓，讓學(xué)生感受到圓的美，體會到數(shù)學(xué)就在身邊，有效激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的動力。

二、在操作中探究圓

在探究部分，中國版教材不約而同地設(shè)計了層層遞進(jìn)的操作探究活動，讓學(xué)生充分地感知圓的本質(zhì)特征。

首先進(jìn)行畫圓操作活動。例如臺灣版的教材呈現(xiàn)了四種畫圓方式：用圓形紙片進(jìn)行描摹，用兩支筆和線畫，用直尺、鉛筆和圖釘以及圓規(guī)畫圓。浙江版：用圓規(guī)畫圓和其他工具畫圓。不同版本的教材選用的畫圓方式讓學(xué)生不僅學(xué)會了正確的畫圓方法，還初步體驗(yàn)到圓的“定點(diǎn)和距離不變”這一特征，將畫圓和理解圓的特征結(jié)合起來，強(qiáng)化了學(xué)生對圓的本質(zhì)的認(rèn)識；同時教材利用圓規(guī)畫圓引出圓各部分的名稱，也就是圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。

浙江版

臺灣版

各版本教材還設(shè)計了一系列探究圓特征的動手操作活動。例如人教版教材：沿著直徑折一折、畫一畫、量一量，會有什么發(fā)現(xiàn)？江蘇版教材：折一折、畫一畫、比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？臺灣版教材：量一量，說說看。這些由具體到抽象的操作活動，讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)了半徑與直徑的特征和關(guān)系，逐步積累并建立起了圓的正確表象，使學(xué)生的幾何直覺和空間觀念得到發(fā)展。

三、在生活中應(yīng)用圓

探究出了圓的特征，中國版教材的編排又回歸生活，鼓勵學(xué)生用圓的特征解釋常見的生活現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看問題，用數(shù)學(xué)頭腦想問題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。例如北師大版：聯(lián)歡時，人們?yōu)槭裁磿蓤A形？窨井蓋、水滴泛起的漣漪為什么是圓的？西師大版、浙江版、北師大版的：為什么車輪都要做成圓形的？上海版的：如何開辟圓形花圃的？這些實(shí)際應(yīng)用的設(shè)計都是讓學(xué)生體會圓在生活中的運(yùn)用，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

北師大版

上海版

由此可見，中國版教材在《圓的認(rèn)識》一課編排的基本模式是：首先創(chuàng)設(shè)生活情境，從自然現(xiàn)象、生活中的物品、游戲等活動中抽象出幾何圖形“圓”，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，又讓學(xué)生初步感知圓的特征；接下來設(shè)計觀察、操作、比較等操作活動，讓學(xué)生由淺入深、由表及里地探究出圓的特征；最后回歸到生活中解決實(shí)際問題，把所學(xué)到的知識應(yīng)用于生活實(shí)際?？偟膩碚f，中國版教材的編排讓學(xué)生既理解概念、感知特征，又積累經(jīng)驗(yàn)、提高素養(yǎng)。

欣賞了東方的中國教材，我們再來看看西方的德國教材。德國小學(xué)只讀四年，數(shù)學(xué)教材分四冊，目前有30多種不同的版本，學(xué)校教師可自主選擇教材，教學(xué)方式也比較靈活，因人而異，以學(xué)生發(fā)展為主。下面我們來具體看看德國教材對《圓的認(rèn)識》的編排。

一、情景導(dǎo)入方式多樣

以兩個版本的德國教材為例，一個是以象鼻熊命名的oldenbourg版本，一個是鴨子和猴子命名的westermann版本，這些動物就好比我們?nèi)私贪鏀?shù)學(xué)教材中的小精靈聰聰和明明。

oldenbourg版本

westermann版本

德國這兩個版本的教材有著不同的開課設(shè)計。oldenbourg版本《畫圓》，開課設(shè)計了羊吃草的3個情境。

第一個情境：在圖上做了記號的地方生長可口的植物，山羊查理哪些夠得著，哪些夠不著？讓學(xué)生感知栓羊繩子長度決定羊吃草的范圍。

第二個情境：栓查理的繩子3米長，畫出山羊查理吃草的場所。引出圖形圓，并初步感知同圓中半徑相等。

第三個情境：農(nóng)民埃爾文想把第二只山羊麥基也用3米長的繩子拴在樁子上，他要把樁子放多遠(yuǎn)，才能夠避免兩只山羊?yàn)槌圆荻蚣埽孔寣W(xué)生感知決定圓的位子、大小的因素。

教材設(shè)計這三個層次的情境，讓學(xué)生在研究山羊吃草的問題中逐步抽象出圓，體驗(yàn)、感悟圓的特征，感受數(shù)學(xué)價值、發(fā)展思維能力。

再來看westermann版的《圓的認(rèn)識》，這個版本教材開課的設(shè)計就是觀察車輪畫圓，開門見山直奔研究主題——圓，接著展開活動：畫出不同半徑的圓，畫出不同直徑的圓。通過層層遞進(jìn)的畫圓活動讓學(xué)生感受圓的特征。

二、動手操作豐富多彩

雖然德國教材兩個版本的開課設(shè)計不同，但在“畫圓”活動的設(shè)計中都留下了濃墨重彩的一筆。oldenbourg版本在課中設(shè)計有 11個畫圓活動，westermann版本設(shè)計有9個畫圓活動。oldenbourg版本和westermann版本里都設(shè)計有畫出指定半徑、直徑的圓；用圓規(guī)畫圓組成圖案。oldenbourg版本還有：畫出小羊吃草的場地；畫出不同大小、相互包圍、相互交叉、相切的圓；徒手畫圓和圓規(guī)畫圓的比較。德國教材中豐富多彩的畫圓活動設(shè)計，對學(xué)生的動手操作能力和空間觀念的培養(yǎng)大有裨益。

可見，中國教材和德國教材各有千秋、各具特色。兩國教材的不同之處也是顯而易見的。

一、課題的區(qū)別

以德國oldenbourg版本的教材為例，它的課題是“畫圓”。中國所有版本的教材課題都是“圓的認(rèn)識”。

德國教材的特色體現(xiàn)在“畫”上，教材的編排都是圍繞著“畫”來展開。

首先是畫出小羊吃草的草地的形狀：

拴Charly的繩子長3米。在學(xué)校院子里用棍子、繩子標(biāo)示出山羊Charly吃草的場所。思考，你們怎么做？

A）查理吃草的場地是什么形狀？

B）在畫圖過程中你們積累了什么經(jīng)驗(yàn)？

C）要成功畫圓，你們會給出什么建議？

其次，是畫大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓：

通過練習(xí)你可以用圓規(guī)在練習(xí)薄上干凈地畫出圓。

A）畫出不同大小的圓。

B）畫出相互包圍的圓。

C）畫出相互交叉的圓。

D）畫出相切的圓。

再次，是徒手畫圓和用圓規(guī)畫圓相比較：

徒手畫圓，然后再用圓規(guī)試試。

最后，是嘗試畫出由圓組成的復(fù)雜圖案。

德國教材對本課的編排意圖是“畫”中學(xué)，讓學(xué)生用“畫”來解決問題，在“畫”中感知圓的特點(diǎn)、位置關(guān)系、大小，在各式各樣“畫”的活動中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)價值，體驗(yàn)成功喜悅。

中國教材的特色體現(xiàn)在“認(rèn)識”上。以北師大版和人教版教材為例，教材圍繞“認(rèn)識”的主題，設(shè)計了以下環(huán)節(jié)。

首先，從生活現(xiàn)象里感受圓存在的必要性：

北師大版

其次，嘗試畫圓，自學(xué)有關(guān)圓的概念：

北師大版

最后，在畫、折、比、推理等過程中感知圓的特征：

人教版

這些環(huán)節(jié)的設(shè)計邏輯緊密、環(huán)環(huán)相扣，既有靜悄悄的思考、自學(xué)，又有熱騰騰的活動、交流。學(xué)生的學(xué)習(xí)途徑和方法是多元化的，體驗(yàn)是豐富的。一個小小的課題投射出了兩國不同的教育理思想和理念。

二、邏輯順序的區(qū)別

德國教材是從現(xiàn)實(shí)問題“畫小羊吃草的區(qū)域”開始的，感知圓心（木桿）、繩子（半徑）、羊的吃草區(qū)域（圓形），感受同圓中半徑處處相等，之后逐漸從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出圖形“圓”，再來研究決定圓的大小、位置的因素。教材的設(shè)計是從具體到抽象，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

我們以北師大版為例，來看看中國教材編排的邏輯順序。從生活情景導(dǎo)入后，讓學(xué)生自主探究圓的畫法，學(xué)習(xí)圓的概念，研究圓里直徑、半徑的關(guān)系以及圓的大小、位置的決定因素。當(dāng)學(xué)生明晰了圓的特點(diǎn)之后呈現(xiàn)生活中的問題：“車輪為什么是圓的？”學(xué)生通過小實(shí)驗(yàn)嘗試著尋找答案，解釋生活中有關(guān)圓的現(xiàn)象。

我國教材是按照從“圖形研究”到“解決問題”的順序，體現(xiàn)了學(xué)以致用，凸顯了應(yīng)用價值。

三、側(cè)重點(diǎn)的區(qū)別

德國教材對于圓形的特征只是讓學(xué)生感知，沒有關(guān)于圓、直徑、半徑概念的科學(xué)定義，也沒有研究同一個圓里直徑、半徑的長度關(guān)系。而對于圓的位置和大小的探究活動設(shè)計十分飽滿，通過畫大小不同的圓、相互包圍的圓、相互交叉的圓、相切的圓等過程讓學(xué)生充分體驗(yàn)圓的大小、位置和什么因素有關(guān)。

德國Westermann版本

以德國Westermann版本的教材為例，上圖上排的同心圓是位置相同、大小不同的圓形，而下排是大小相同、位置不同的圓。學(xué)生在畫圓的過程中探究確定圓的大小、位置的因素，充分培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念?？梢姡聡滩牧η笸ㄟ^豐富、多層次的“畫”圓活動讓學(xué)生解決問題，體驗(yàn)、感悟圓的特征，從而幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，感受數(shù)學(xué)價值。

中國教材的編排是既關(guān)注知識的獲取，又注重能力的培養(yǎng)。中國各種版本教材對圓的半徑、直徑的概念有規(guī)范的敘述，并設(shè)計有折、比、畫、量等活動讓學(xué)生在探究中認(rèn)識圓各部分的名稱、發(fā)現(xiàn)圓的特征，意圖讓學(xué)生在探究活動中不斷衍生出新的疑問，促使學(xué)生在不斷的思索中豐盈、完善對圓的認(rèn)知，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而在對圓的位置和大小的探究環(huán)節(jié)就略顯單薄，只是通過畫同心圓和大小相同位置不同的圓來體會。中國教材知識結(jié)構(gòu)緊密，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)途徑多樣化，既有靜態(tài)的獨(dú)立思考又有動態(tài)的操作活動。中國教材設(shè)計更側(cè)重于學(xué)生推理能力的提高、模型思想的建立。

天下之大，可以融入教材；教材雖小，可以一覽世界。一番中德教材的對比，讓我們領(lǐng)略到來自中、德兩國不同文化的教材風(fēng)采。我們期待著能欣賞到更多國家的教材，吸取精華，博采眾長，探索出更適合我國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)教材。