在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生概括能力

■ 武漢市黃陂區(qū)前川街第五小學(xué) 董文學(xué)

抽象與概括是隸屬于思維過程和科學(xué)方法兩個(gè)維度的內(nèi)容，抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的特征；概括是把從具有相同屬性的某些事物中抽取出來的本質(zhì)屬性推廣到具有這些屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念。數(shù)學(xué)是抽象概括性很強(qiáng)的科學(xué)，在小學(xué)階段，學(xué)好數(shù)學(xué)這門學(xué)科，對(duì)學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)，初步邏輯思維能力的形成，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，意義重大。因此，教師要注重在日常每一節(jié)課的教學(xué)中有意識(shí)地去培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括能力。

一、強(qiáng)化學(xué)習(xí)材料的豐富性，提升抽象概括能力培養(yǎng)的針對(duì)性

數(shù)學(xué)中的概念及結(jié)論，往往是對(duì)大量具體而生動(dòng)的對(duì)象進(jìn)行抽象概括而來的，它代表了這些對(duì)象的本質(zhì)特征。抽象與概括的過程，就是將豐富而具體的材料進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的加工與制作，從而實(shí)現(xiàn)感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程。由于小學(xué)生的思維特點(diǎn)是從具體形象思維為主逐漸往抽象邏輯思維為主的方向發(fā)展的，對(duì)于他們來說，對(duì)數(shù)學(xué)概念及結(jié)論的抽象概括，更需要基于充分而具體的學(xué)習(xí)材料來展開。

在課堂教學(xué)中，教師要適應(yīng)小學(xué)生思維發(fā)展的年齡特點(diǎn)，就要為學(xué)生提供全面而充分的學(xué)習(xí)材料，或引導(dǎo)學(xué)生搜集足夠的學(xué)習(xí)資源，讓他們從外表各不相同的許多數(shù)學(xué)材料中找出共同點(diǎn)，從而順利地抽象和概括出事物的本質(zhì)屬性。

【案例】二年級(jí)上冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)

師：在日常生活中，經(jīng)常會(huì)看到角。（出示剪刀、吸管、水管實(shí)物圖）請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，剪刀、吸管、水管上有角嗎？你能指一指嗎?

師：下面老師把同學(xué)們從這些圖形中看到的角找出來。（課件呈現(xiàn)實(shí)物上出現(xiàn)的角，之后留下角的圖形，而讓實(shí)物消失）

師：大家觀察一下，這些角有什么共同點(diǎn)？

本案例中，師生從三種典型實(shí)物中抽象出三個(gè)角的圖形，又從代表銳角、鈍角、直角三個(gè)角的圖形中抽象概括出角的特征：角有一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊。

在小學(xué)教材中，提供的學(xué)習(xí)材料往往比較典型。這種典型的材料雖然有利于學(xué)生進(jìn)行抽象概括，但也容易讓學(xué)生誤把這些典型材料的非本質(zhì)屬性抽象成本質(zhì)屬性。所以教師在向?qū)W生提供各類學(xué)習(xí)材料時(shí)，還應(yīng)有針對(duì)性地設(shè)計(jì)變式材料，以防止學(xué)生抽象概括時(shí)走進(jìn)誤區(qū)。如上例“角的初步認(rèn)識(shí)”中，教師還可呈現(xiàn)角的開口朝上、朝下、朝左等多種情況。再如，有的學(xué)生對(duì)“相互垂直”的概念往往習(xí)慣于理解為水平和豎直。究其原因，就在于在知識(shí)的形成過程中，教師僅提供了互相垂直的標(biāo)準(zhǔn)式，即：，沒有為學(xué)生提供變式，如：使學(xué)生未能在“兩條直線相互交成直角”這一本質(zhì)意義上對(duì)“相互垂直”進(jìn)行抽象概括。

需要提醒的是，教師提供的變式性材料，要有利于充分展現(xiàn)事物的非本質(zhì)屬性而保留事物的本質(zhì)屬性，要能讓學(xué)生在事物的各種表現(xiàn)形式和事物所在的不同情境中認(rèn)清事物的本質(zhì)屬性。當(dāng)然，為突出學(xué)生對(duì)事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，教師可用反例來加深學(xué)生的印象，如在教學(xué)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，可運(yùn)用“隨意分”的反例加深學(xué)生對(duì)“平均分”的理解。

二、強(qiáng)化觀察比較環(huán)節(jié)的引導(dǎo)，提升抽象概括能力培訓(xùn)的有效性

教師提供的學(xué)習(xí)材料或引導(dǎo)學(xué)生搜集的學(xué)習(xí)資源畢竟是“不會(huì)說話”的客體，教師必須引導(dǎo)主體（即學(xué)生）進(jìn)行有意識(shí)的觀察和比較，才能找出材料中的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)，從而把一般特征、本質(zhì)屬性與個(gè)別特征、非本質(zhì)屬性區(qū)別開來，把一般特征、本質(zhì)屬性剝離出來進(jìn)行抽象，再加以聯(lián)系分析，推廣到相同、相似事物中進(jìn)行概括，最終形成概念與規(guī)律，形成數(shù)學(xué)結(jié)論。因此，對(duì)感知材料的認(rèn)真觀察、細(xì)致比較是進(jìn)行抽象與概括的前提和基礎(chǔ)。據(jù)此，教師在組織學(xué)習(xí)材料時(shí)，就要有意識(shí)地讓這些材料形成一個(gè)有序的結(jié)構(gòu)，在方便學(xué)生進(jìn)行觀察和比較的同時(shí)，也能更有效地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

【案例】五年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的教學(xué)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)猜想

教師講故事：山上有一群猴子，他們都愛吃猴王做的餅。一天，猴王做了三張同樣大的餅。猴王把第一張餅平均切成了兩塊，給了猴甲一塊。猴乙看見了，眼饞地說：“猴王，猴王，我要兩塊?！焙锿跣Σ[瞇地說：“別急，別急，給你兩塊?！敝灰姾锿醢训诙堬炂骄殖闪怂膲K，給了猴乙兩塊。猴丙更貪心：“我要六塊，我要六塊?！焙锿跸肓讼?，把第三張餅?zāi)贸鰜?，平均切成了十二塊，果真給了猴丙六塊。

師：同學(xué)們，你們聽完故事后，覺得哪只猴子分得的餅最多？

（二）動(dòng)手操作，初步感知

學(xué)生把準(zhǔn)備好的三張同樣大小的圓片代替猴王做的餅，分別按照折、畫、涂的步驟，表示出每只猴子所得的餅，并用分?jǐn)?shù)表示涂色部分。如下圖：

師：大家觀察和比較一下，哪只猴子分得的餅最多？（同樣多）可以看出這三個(gè)分?jǐn)?shù)大小相等。

（三）比較歸納，揭示規(guī)律

（1）請(qǐng)同學(xué)們觀察上面等式：從左往右看，分子是怎么變的？分母是怎樣變的？你發(fā)現(xiàn)了什么？你們?cè)購(gòu)挠彝罂矗钟惺裁匆?guī)律？

（2）師：分?jǐn)?shù)的分子、分母如果同時(shí)乘0或同時(shí)除以0，會(huì)是什么結(jié)果？

（3）師：你們能不能用一句話來概括這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)？

師生共同完善規(guī)律，教師總結(jié)，揭示這一規(guī)律就叫分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

上面的案例中，教師就是通過講故事、畫圖形和提問題等多種方式引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象的。因?yàn)橹挥性谟^察的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考和分析，才能得出正確的答案，抽象概括出合乎邏輯的數(shù)學(xué)規(guī)律。

三、強(qiáng)化學(xué)生表述能力的訓(xùn)練，提升學(xué)生抽象概括語言的準(zhǔn)確性

在課堂學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生在對(duì)事物的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽取、推廣以形成對(duì)某一事物普遍認(rèn)識(shí)，或是用語言描述抽象概括出數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中，容易出現(xiàn)一些偏差。確切地說，就是經(jīng)概括形成的概念，由于學(xué)生認(rèn)識(shí)水平的局限或語言描述能力的限制，未能準(zhǔn)確覆蓋住它所指向事物的所有個(gè)例而出現(xiàn)以偏概全的錯(cuò)誤。這時(shí)，教師就要仔細(xì)傾聽學(xué)生的表述，發(fā)現(xiàn)問題時(shí)，要及時(shí)采取措施進(jìn)行引導(dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)、準(zhǔn)確地進(jìn)行概括。

在“圓的認(rèn)識(shí)”一課中，為探索圓的直徑與半徑的關(guān)系，學(xué)生根據(jù)它們的定義，通過對(duì)圓片進(jìn)行折一折、量一量或想一想的方式進(jìn)行邏輯推理，抽象概括出直徑與半徑的關(guān)系并表述為：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一。這時(shí)，教師拿出大小相差甚遠(yuǎn)的兩個(gè)圓片，指著其中的小圓，笑著質(zhì)疑：它的直徑是這個(gè)大圓半徑的2倍嗎？明顯的差別讓學(xué)生立馬意識(shí)到剛才的表述有問題，最終更正為：在同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一。

再如，在上例教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，學(xué)生曾得出這樣的初步結(jié)論：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。當(dāng)時(shí)老師以提示性的問題引導(dǎo)學(xué)生思考：“如果分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)乘或除以0，會(huì)是什么結(jié)果？”讓學(xué)生及時(shí)認(rèn)識(shí)到結(jié)論的漏洞所在——乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)時(shí)，不能乘或者除以0。這樣的提示，也能讓學(xué)生知道如何改正錯(cuò)誤，如何用縝密的語言進(jìn)行概括，得出科學(xué)的規(guī)律。

語言是思維的物質(zhì)外殼。學(xué)生通過對(duì)多個(gè)具體對(duì)象的觀察比較最終抽象概括出結(jié)論時(shí)，需要用語言進(jìn)行表述。數(shù)學(xué)語言表述得是否準(zhǔn)確，是否嚴(yán)密，將會(huì)影響到結(jié)論的準(zhǔn)確性和概括的科學(xué)性。因此，教師要重視對(duì)學(xué)生表述能力的訓(xùn)練，要把學(xué)生語言能力的培養(yǎng)也作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，認(rèn)真對(duì)待。

四、強(qiáng)化能力層級(jí)發(fā)展的規(guī)律性，逐步提升學(xué)生抽象概括能力

小學(xué)生六年的學(xué)習(xí)是一個(gè)由易到難、循序漸進(jìn)的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象、概括時(shí)，一定要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和當(dāng)前思維水平，逐步提高目標(biāo)要求，由淺入深，由低級(jí)到高級(jí)，有序提升，讓學(xué)生抽象概括能力的培養(yǎng)過程體現(xiàn)出階段性和層次性的規(guī)律。

我國(guó)現(xiàn)代心理學(xué)奠基人之一朱智賢認(rèn)為，少年兒童的數(shù)學(xué)概括能力可依次分為直觀概括、具體形象概括、形象抽象概括、初步的本質(zhì)抽象概括、代數(shù)命題概括五個(gè)層級(jí)的水平，而小學(xué)生概括能力主要處于前面四個(gè)層級(jí)。

低年級(jí)學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)具有直觀性、形象性的特點(diǎn)。在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)他們思維發(fā)展的年齡特性，先引導(dǎo)他們對(duì)事物進(jìn)行一、二層級(jí)水平的初步抽象概括訓(xùn)練，即讓他們根據(jù)事物的表征進(jìn)行分析和比較，舍棄那些不同的個(gè)別屬性，而把那些彼此相同的一般屬性綜合起來，形成某個(gè)具體概念。例如一年級(jí)小朋友認(rèn)識(shí)自然數(shù)“1”時(shí)，教師可讓學(xué)生觀察主題圖：1所學(xué)校、1面國(guó)旗、1位老師等；之后，可提供更多的圖片，如1朵花、1只小鴨、1瓶礦泉水等；在學(xué)生觀察完這些圖片后，教師再提問：它們的數(shù)量都是幾？你還能舉出數(shù)量是“1”的具體事物嗎？通過這樣的逐步引導(dǎo)，學(xué)生就能從具體事物里抽象出自然數(shù)“1”了。

到了中年級(jí)、高年級(jí)，隨著學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)、知識(shí)水平的提高和思維能力的提升，教師就需要及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)事物進(jìn)行較高層級(jí)的抽象概括，即可進(jìn)行三、四級(jí)水平的抽象概括訓(xùn)練。教師可引導(dǎo)學(xué)生盡力去提取事物的本質(zhì)屬性，形成各種抽象概念或規(guī)律。例如：四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教學(xué)“速度路程時(shí)間之間的關(guān)系”時(shí)，教師出示：（1）小車的速度是80千米/時(shí)，2小時(shí)可行多少千米？（2）李老師騎自行車速度是225米/分，10分鐘可以行多少米？在學(xué)生完成這兩道題的練習(xí)后，教師可讓學(xué)生觀察這兩道題有什么共同特點(diǎn)。學(xué)生經(jīng)過觀察、比較、分析與綜合后，抽象概括出其中的數(shù)量關(guān)系式：速度×?xí)r間＝路程。經(jīng)過這樣的抽象概括的不斷訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)行程問題中數(shù)量之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)就更為深入和清晰了。

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要教師在小學(xué)階段進(jìn)行有序而系統(tǒng)的訓(xùn)練。作為教師，一定要在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中備足學(xué)習(xí)資源，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，在認(rèn)真比較、全面分析、科學(xué)總結(jié)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律的過程中發(fā)展學(xué)生思維，提升學(xué)生能力。