巧用硬幣資源 理解概率思想

吳青

摘要 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，通過摸球、摸牌等活動(dòng)，讓孩子初步認(rèn)識隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，初步感受概率思想，然而我們卻相對忽視了拋硬幣在概率教學(xué)中的作用。通過拋硬幣，我們不僅可以讓學(xué)生真切地感受事件發(fā)生的可能性，理解可能性相等的真實(shí)含義，更能夠認(rèn)識到可能性與現(xiàn)實(shí)性、確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系。因此我們可以充分利用硬幣資源，幫助學(xué)生更加深刻地理解概率思想。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué);概率思想;拋硬幣

蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊安排了可能性的內(nèi)容，通過摸球、摸牌等游戲，引導(dǎo)學(xué)生在操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、比較中認(rèn)識簡單的隨機(jī)現(xiàn)象，了解事件發(fā)生的確定性和不確定性，感受簡單隨機(jī)事件的特點(diǎn)，初步形成概率思想。

教學(xué)中首先安排摸球游戲，通過在口袋里摸球，讓學(xué)生理解“可能”“一定”和“不可能”的含義，從而對可能性有初步認(rèn)識。然后通過摸牌、摸卡片、轉(zhuǎn)盤、拋正方體等活動(dòng)，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識事件發(fā)生的確定性和不確定性，認(rèn)識可能性的大小。

可能性在生活中的應(yīng)用非常廣泛，而在各種球類比賽中，則更是普遍地采用拋硬幣的方式來決定場地和發(fā)球順序。但是教材的例題部分和習(xí)題中都沒有安排讓學(xué)生拋硬幣的操作活動(dòng)，只是在“你知道嗎”這一欄目中向?qū)W生介紹了數(shù)學(xué)家拋硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，在拓展應(yīng)用中讓學(xué)生分析兩人同時(shí)各拋一枚硬幣的可能性問題。

考慮到拋硬幣在生活中的運(yùn)用是非常多的，所以我們應(yīng)該要充分發(fā)揮硬幣的價(jià)值，幫助學(xué)生更好地體會事件發(fā)生的可能性，更加深刻地理解概率思想。

一、生活情境導(dǎo)入新課

由于孩子們對乒乓球、足球等球類運(yùn)動(dòng)非常感興趣，所以本課教學(xué)時(shí)，筆者就從球類比賽導(dǎo)入，首先播放奧運(yùn)會乒乓球決賽剛開始時(shí)的一段視頻，然后問學(xué)生，有沒有注意到，在開始比賽之前，裁判員做了一個(gè)什么動(dòng)作？（拋硬幣）裁判員為什么要拋硬幣？你們覺得用拋硬幣的方式?jīng)Q定誰先發(fā)球，這種做法公平嗎？許多孩子都認(rèn)為是公平的。因?yàn)閽佊矌艜r(shí)，可能會拋到正面，也可能會拋到反面，甚至還有孩子認(rèn)為，正面朝上和反面朝上的可能性相等。對于學(xué)生的回答，筆者及時(shí)肯定了他們的兩個(gè)觀點(diǎn)：第一是認(rèn)為在拋硬幣時(shí)，可能是正面朝上，也可能是反面朝上;第二是認(rèn)為正面朝上和反面朝上的可能性相等。

那么，可能性指的是什么？拋硬幣時(shí)，真的會可能正面朝上，也可能反面朝上嗎？正面朝上和反面朝上的可能性確實(shí)相等嗎？我們該如何驗(yàn)證呢？今天這節(jié)課，我們就來研究這些問題。于是，就順利地導(dǎo)入新課的探究之中。

在這個(gè)課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者巧妙利用了乒乓球比賽中的拋硬幣環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)裁判員通過拋硬幣來決定雙方的場地和發(fā)球的先后順序時(shí)，他們的好奇心一下子就被激發(fā)了出來，對拋硬幣產(chǎn)生了濃厚的興趣，從而拉近了可能性的知識與學(xué)生之間的心理距離，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，更加積極主動(dòng)投入到接下來的課堂探究之中。

二、實(shí)踐操作認(rèn)識可能性

在導(dǎo)入環(huán)節(jié)分析了乒乓球比賽中拋硬幣的過程，接下來就順勢展開課堂的探究活動(dòng)，讓學(xué)生通過拋硬幣來認(rèn)識可能性。孩子以小組為單位，每個(gè)孩子各拋一次硬幣，組長把拋硬幣的結(jié)果按順序記錄下來。接下來進(jìn)行全班對比分析，觀察各小組記錄的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，第一次拋硬幣時(shí)，有的小組是正面朝上，有的小組是反面朝上，第二次拋硬幣時(shí)，也是有的正面朝上有的反面朝上……。從而發(fā)現(xiàn)，每一次拋硬幣時(shí)，都是可能會正面朝上，也可能會反面朝上，每一次拋硬幣的結(jié)果都是不確定的，是隨機(jī)出現(xiàn)的，在拋之前我們無法預(yù)測會是哪個(gè)面朝上。

然后我再選擇一組連續(xù)出現(xiàn)幾次正面（或反面）朝上的，讓學(xué)生觀察思考，這一組已經(jīng)連續(xù)有幾次正面朝上了，那么接下來再拋一次，一定還是正面朝上嗎？一定會是反面朝上嗎？讓學(xué)生認(rèn)識到，盡管前面已經(jīng)連續(xù)拋出了幾次正面朝上，但是接下來仍然無法預(yù)測，同樣是可能會正面朝上也可能是反面朝上，前面拋硬幣的結(jié)果對后面沒有任何影響。

在此基礎(chǔ)上，告訴孩子，每一次拋硬幣時(shí)，都是可能會正面朝上，也可能會反面朝上，這就是一個(gè)事件發(fā)生的“可能性”。在這樣的操作和分析的基礎(chǔ)上，孩子對可能性的認(rèn)識會更加深刻，從而更好地認(rèn)識隨機(jī)事件。

三、深入體會可能性相等

小學(xué)階段所研究的概率知識，都是屬于古典概型，它的每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都是相等的。比如把4張撲克牌反扣在桌上，任意摸一張，那么每張牌被摸到的可能性是相等的，都是1/4。

在摸牌活動(dòng)中，當(dāng)把3張紅桃和1張黑桃反扣在桌上，任意摸一張牌，學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)，摸到紅桃的可能性比黑桃大，從而認(rèn)識到事件發(fā)生的可能性是有大有小的。從操作的數(shù)據(jù)上，我們可以直接看出哪個(gè)事件發(fā)生的可能性大。

但是可能性相等就不那么容易看出來了。因?yàn)槲覀冎?，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，但事實(shí)上，隨便我們拋多少次硬幣，隨便什么時(shí)候拋，很少會出現(xiàn)正面和反面次數(shù)正好相等的情形，絕大多數(shù)情況下出現(xiàn)的次數(shù)都是不相等的，甚至有時(shí)候還會相差比較多。那么，怎樣讓學(xué)生理解“可能性相等”這個(gè)知識呢？

可能性相等，可以從兩個(gè)層面上去理解。第一是理論分析層面，因?yàn)橛矌庞姓磧擅?，拋硬幣時(shí)可能正面朝上也可能反面朝上，這兩種情況出現(xiàn)的可能性是相等的。至于為什么這時(shí)候正面朝上和反面朝上的可能性相等，這是一種數(shù)學(xué)直覺，無法作嚴(yán)格證明。

第二是大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)層面。我們可以進(jìn)行許多次試驗(yàn)，把每一次試驗(yàn)的結(jié)果都記錄下來，然后觀察，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，某個(gè)事件發(fā)生的頻率是不是越來越接近于某個(gè)固定的數(shù)值，如果逐漸穩(wěn)定在這一數(shù)值附近，那么這個(gè)數(shù)值就是該事件發(fā)生的概率，這就是概率的統(tǒng)計(jì)定義。當(dāng)兩個(gè)事件都不斷接近于某個(gè)相同的數(shù)值時(shí)，我們就認(rèn)為這兩個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的。

對于拋硬幣來說，要想驗(yàn)證正面朝上和反面朝上的可能性相等，就可以采用這種大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的方法。歷史上有許多數(shù)學(xué)家就進(jìn)行了大量的拋硬幣試驗(yàn)，得到了許多寶貴的數(shù)據(jù)，在我們數(shù)學(xué)書后面的“你知道嗎”部分做了介紹。分析這些數(shù)據(jù)就會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋硬幣的總次數(shù)越來越多時(shí)，正面朝上和反面朝上的次數(shù)會越來越接近。這里所說的“越來越接近”，不是指它們數(shù)量的絕對差越來越小，而是指數(shù)量差與總次數(shù)的比值（即相對差）越來越小，因此我們就認(rèn)為拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等。

對于這個(gè)內(nèi)容，許多老師都是在課堂的最后向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家拋硬幣的結(jié)果，讓學(xué)生簡單了解。但是這樣的安排，無法發(fā)揮這些數(shù)據(jù)的真正價(jià)值。因此，我們一定要充分利用硬幣的價(jià)值，讓學(xué)生通過拋硬幣的實(shí)踐操作，體會概率的這種統(tǒng)計(jì)定義，真正理解可能性相等的實(shí)質(zhì)，從而對概率思想有更加深刻的認(rèn)識。

課堂上，每個(gè)孩子都各自拋10次硬幣，記錄下正面朝上和反面朝上的次數(shù)，然后匯報(bào)給組長，組長對本組的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，然后筆者把各組的數(shù)據(jù)填寫在一個(gè)表格中。在全班總共不到500次的操作中，正面朝上和反面朝上的次數(shù)相差幾十次，好像相差得還是挺多的，這是不是說明，拋硬幣的時(shí)候正面朝上和反面朝上的可能性不相等？

這時(shí)學(xué)生進(jìn)行了深入思考，他們認(rèn)為可能性是相等的，但是又說不出具體的理由，無法解釋為什么會有這么大的相差數(shù)。于是在全班了解，剛才每個(gè)人都拋了10次，有哪些同學(xué)正面朝上的次數(shù)超過了反面朝上的3倍的？但是在全班匯總的數(shù)據(jù)中，正面朝上的次數(shù)有反面朝上的3倍嗎？2倍也沒有，只是多了那么一點(diǎn)兒?？磥恚粋€(gè)人拋10次，出現(xiàn)的差距可能會比較大，但是全班這么多同學(xué)進(jìn)行匯總，總數(shù)量變大了，而差距反而變小了。

在這里，筆者用部分孩子拋硬幣的結(jié)果和全班的統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較，讓孩子認(rèn)識到，一個(gè)人拋硬幣時(shí)出現(xiàn)的差距可能會比較大，而一旦把全班那么多同學(xué)的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，差距就會變小了，當(dāng)然這種變小，指的是與總數(shù)量相比而言的相對變小，這已經(jīng)初步滲透了大數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)意義了。接下來讓學(xué)生思考，如果我們再繼續(xù)拋下去，結(jié)果會怎樣呢？他們自然會想到，繼續(xù)拋下去，正面朝上和反面朝上的次數(shù)會越來越接近。此時(shí)，再出示教材中介紹的幾個(gè)數(shù)學(xué)家拋硬幣的數(shù)據(jù)，讓孩子進(jìn)行分析，更加確認(rèn)了他們的想法，當(dāng)拋的總次數(shù)越來越多，正面朝上和反面朝上的次數(shù)會越來越接近。于是告訴孩子，從這個(gè)角度來說，我們就認(rèn)為，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。

至此，學(xué)生已經(jīng)完全經(jīng)歷了拋硬幣時(shí)的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程，對可能性相等的含義有了更加深刻的理解，而不僅僅是停留于直觀的表層。

四、體會確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系

我們平時(shí)所說的一件事情“可能”會發(fā)生，從概率論的角度來說，其實(shí)是指發(fā)生概率在0～1之間的事件，可能會發(fā)生，也可能不會發(fā)生。在事件發(fā)生之前，我們無法預(yù)料結(jié)果，因此這種結(jié)果是隨機(jī)的，不確定的。

但是，生活中也存在兩種特殊的可能性，即概率為0的“不可能”事件，這意味著這種事件永遠(yuǎn)都不可能發(fā)生：以及概率為1的“必然”事件，這種事件一定會發(fā)生。對于不可能發(fā)生的事件和一定發(fā)生的事件，在事件發(fā)生之前，我們就已經(jīng)能夠知道結(jié)果了，因此這種結(jié)果是確定的。

對于確定和不確定這兩種不同的情形，我們在課堂上都可以通過學(xué)生的摸球操作來體會。比如，讓學(xué)生在裝有一只紅球和一只黃球的不透明袋子里摸球，發(fā)現(xiàn)摸出來的球可能是紅球，也可能是黃球，每次摸球的結(jié)果都是不確定的，摸球之前無法預(yù)測摸出的是什么顏色的球。然后在袋子中裝進(jìn)兩只紅球，再讓學(xué)生摸球，這時(shí)發(fā)現(xiàn)摸出來的一定是紅球，不可能是黃球，每次摸球的結(jié)果是確定的，摸球之前就能夠知道摸球的結(jié)果了。

此時(shí)，學(xué)生對于確定性與不確定性的認(rèn)識還是初步的、片面的，二者是割裂開來的。因此，我們應(yīng)該繼續(xù)探究下去，讓孩子深入體會確定性與不確定性之間的辯證關(guān)系，從而對可能性以及概率思想有更加深刻的認(rèn)識。

課堂上，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)對比性的探究環(huán)節(jié)。

首先是結(jié)合剛才袋中裝有兩只紅球的情形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每次摸出的“一定”是紅球，“不可能”是黃球，從而理解了“確定”的含義。此時(shí)，緊接著提問，這個(gè)口袋里摸出來的一定是紅球，不可能是黃球，這個(gè)結(jié)果是確定的，那么有沒有什么不能確定的情況出現(xiàn)呢？當(dāng)學(xué)生回答不出時(shí)，筆者接著提示，如果把這里的兩只紅球分別標(biāo)上1號和2號，任意摸出一只球，會有什么結(jié)果？學(xué)生立刻意識到了，摸出來的可能是紅球1號，也可能是紅球2號，這時(shí)候的結(jié)果是不確定的。此時(shí)，筆者稍作小結(jié)：看來，換一個(gè)角度分析，確定性之中也隱含著不確定的因素，一定會發(fā)生的事件背后也存在著不同的可能。

接下來筆者出示4張撲克牌，分別是紅桃A、紅桃2、紅桃3和紅桃4，把這4張牌反扣在桌上，打亂順序，任意摸一張，可能摸到哪一張牌？在摸牌之前你能夠確定摸到的是哪張牌嗎？學(xué)生無法確定能夠摸到哪張牌，這個(gè)結(jié)果是不確定的。這時(shí)繼續(xù)追問：在這4張牌中任意摸一張，有沒有能夠確定的結(jié)果？細(xì)心的孩子發(fā)現(xiàn)這4張牌都是紅桃，于是回答說摸到的一定是紅桃。由此看來，在不確定性的背后也可能會隱含著確定性的因素。

通過上面這兩個(gè)小環(huán)節(jié)的探究分析，學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識到，確定性與不確定性兩者并不是相互割裂的，而是密切相關(guān)的。同時(shí)也體會到，換一個(gè)角度分析，得到的結(jié)果可能就會不相同，從而真正理解確定性與不確定性之間的這種辯證統(tǒng)一的關(guān)系。

五、理解可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系

我們知道，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等，那么拋2次硬幣，是不是一定會出現(xiàn)1次正面朝上1次反面朝上呢？拋10次硬幣，正面朝上和反面朝上是不是肯定各有5次呢？答案顯然是否定的。這些都屬于不確定事件中的可能性問題，涉及到確定事件與不確定事件的重要區(qū)別。

對于確定事件來說，我們計(jì)算出來的結(jié)果是確定的，是必然會實(shí)現(xiàn)的。但是，對于不確定事件來說，根據(jù)隨機(jī)事件發(fā)生的概率所計(jì)算得到的結(jié)果，僅僅表示一種可能性，是不確定的，隨機(jī)的。比如，根據(jù)可能性相等可以知道，拋10次硬幣，正面朝上和反面朝上應(yīng)該各有5次，但是也許我們拋10次硬幣，得到的并不是各出現(xiàn)5次，而是4次和6次，或者3次和7次等，甚至，如果運(yùn)氣非常好（或者非常不好）的時(shí)候，還會出現(xiàn)10次都是正面朝上（或者10次都是反面朝上）的情況。這就是不確定事件中的隨機(jī)性，是無法預(yù)料結(jié)果的。

所以在課堂上，我們應(yīng)該要讓學(xué)生認(rèn)識到隨機(jī)事件中的不確定性，體會可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系，從而真正理解概率思想。

在這節(jié)課上，筆者設(shè)計(jì)了這樣兩個(gè)問題：“小明說，我拋2次硬幣，一定會有1次正面朝上，1次反面朝上：小麗說，我拋10次硬幣，那么正面朝上和反面朝上肯定各有5次。”讓學(xué)生判斷他們兩人說得對不對，為什么？這時(shí)，筆者結(jié)合學(xué)生剛才每人各拋10次硬幣的操作，發(fā)現(xiàn)只有很少的幾個(gè)孩子得到正面朝上和反面朝上各有5次的結(jié)果，其他孩子正面朝上和反面朝上的次數(shù)都不相等，甚至有的孩子還出現(xiàn)了9次正面和1次反面的情況。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，讓學(xué)生明確，盡管拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等，從而可以計(jì)算出拋10次硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上應(yīng)該各5次，但是因?yàn)閽佊矌攀且环N隨機(jī)事件，拋的結(jié)果是不確定的，所以我們不能說正面朝上和反面朝上一定各有5次，而只能說“可能”各有5次。

因?yàn)槊恳淮蔚慕Y(jié)果都是不確定的，那么我們剛才得到的結(jié)論“拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性相等”，是不是就沒有意義了呢？孩子可能會有這樣的疑惑。我們可以結(jié)合剛才的統(tǒng)計(jì)過程，和孩子進(jìn)行分析，盡管在某個(gè)范圍內(nèi)，不能保證正面朝上和反面朝上的次數(shù)相等，但是，當(dāng)拋的次數(shù)越來越多，正面朝上和反面朝上的次數(shù)就會越來越接近。所以從這個(gè)意義上來說，拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的可能性確實(shí)是相等的。

六、拓展延伸

一節(jié)好課，必須要具有一定的拓展延伸性，到下課時(shí)，不僅要讓學(xué)生把本節(jié)課所學(xué)的知識全都掌握，而且還要讓學(xué)生帶著問題下課，帶著思考下課，讓孩子把課堂上的探究活動(dòng)延伸到課后，從而培養(yǎng)孩子研究數(shù)學(xué)問題的能力。

在本節(jié)課上，當(dāng)孩子通過拋硬幣的操作活動(dòng)，已經(jīng)掌握了隨機(jī)事件的可能性知識，形成了初步的概率思想之后，在課堂的最后，讓孩子思考，同時(shí)拋兩枚硬幣，會有幾種情況出現(xiàn)？這幾種情況出現(xiàn)的可能性是否相等？你覺得哪種情形出現(xiàn)的可能性最大？這時(shí)孩子們眾說紛紜，沒有做任何判斷，只是告訴他們，要想知道正確的答案，可以自己課后進(jìn)行探究，就像課堂上拋一枚硬幣那樣，同時(shí)拋兩枚硬幣，然后記錄下每一次得到的結(jié)果，當(dāng)拋的次數(shù)越來越多時(shí)，再來看看會有什么發(fā)現(xiàn)。

這節(jié)課雖然下課了，但孩子的思考并沒有結(jié)束，探究也沒有停止，相信會有一些感興趣的孩子會在課后繼續(xù)探究，于是，數(shù)學(xué)研究的意識就開始逐漸萌芽，數(shù)學(xué)研究的能力也在逐步培養(yǎng)。

通過對拋硬幣資源的充分利用，孩子們在拋硬幣的過程中，充分理解可能性的含義，認(rèn)識可能性相等的真正內(nèi)涵，體會隨機(jī)事件中不確定性與確定性的辯證關(guān)系，明確可能性與現(xiàn)實(shí)性之間的區(qū)別，從而更好地感受隨機(jī)事件，深刻地理解概率思想。