小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展活動(dòng)的選擇與優(yōu)化

吳央軍 王微微

摘要 基于教材例題以及習(xí)題的難易程度來(lái)傳授知識(shí)、掌握知識(shí)，往往與質(zhì)量抽測(cè)之間存在一定的差異，這就需要開(kāi)展認(rèn)知拓展活動(dòng)。在當(dāng)前的教學(xué)形勢(shì)下，立足教材，以微課為載體，依托微信與軟件技術(shù)，不斷挖掘知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，從而提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決生活實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué);認(rèn)知拓展;活動(dòng);微課

一、小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展活動(dòng)的深度辨析

（一）基于教學(xué)窘境的觸發(fā)

同伴們經(jīng)常遇到這樣的窘境，感覺(jué)新課教學(xué)上得不錯(cuò)，學(xué)生作業(yè)也很好，可是一到質(zhì)量抽測(cè)，學(xué)生的表現(xiàn)卻有些不盡如人意。

是否試卷太難？詢問(wèn)出卷老師，出卷老師說(shuō)，這道題的原型就是數(shù)學(xué)課本第幾頁(yè)第幾題，并結(jié)合另外幾道題改變的，這樣的題目，既考數(shù)學(xué)知識(shí)，也考數(shù)學(xué)能力，更是中學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要起點(diǎn)。出卷老師有根有據(jù)，話在理，而且題目也確實(shí)很經(jīng)典，無(wú)可指責(zé)。

是否學(xué)生的問(wèn)題呢？詢問(wèn)學(xué)生，學(xué)生說(shuō)，這些題，我知道它要考什么數(shù)學(xué)知識(shí)，但是，就是沒(méi)有找到方法，算出結(jié)果?？磥?lái)學(xué)生也不是毫無(wú)所知，而是缺失某種能力。

考題是合理的，學(xué)生是懂事的，那考試成績(jī)不理想，大多就是我們的課堂教學(xué)出了問(wèn)題。

（二）基于教學(xué)反思的認(rèn)知

回顧《圓環(huán)面積的計(jì)算》教學(xué)案例和學(xué)生學(xué)業(yè)測(cè)試的整個(gè)過(guò)程，我們可以認(rèn)識(shí)到如下的事實(shí)：

（1）我們的課堂教學(xué)，主要認(rèn)識(shí)了圓環(huán)的形狀以及圓環(huán)面積的一般計(jì)算公式，本質(zhì)上是學(xué)習(xí)關(guān)于圓環(huán)的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們稱之為知識(shí)建構(gòu)。

（2）在配套練習(xí)中，大量的練習(xí)針對(duì)的是公式的直接應(yīng)用，或者相關(guān)半徑，直徑，環(huán)寬等相互轉(zhuǎn)換后的公式應(yīng)用。另外，例如教材練習(xí)第6題，兩個(gè)大小不同圓形完全重疊后，不管圓心是否重疊，它的陰影面積計(jì)算方法和環(huán)形一樣。從中可看，練習(xí)主要針對(duì)的圓環(huán)的各種變化而帶來(lái)的一些計(jì)算方法、策略、技能的訓(xùn)練。從本質(zhì)上，練習(xí)不再停留于數(shù)學(xué)知識(shí)，而主要通過(guò)練習(xí)促使學(xué)生對(duì)圓環(huán)有一個(gè)較為全面和整體的認(rèn)識(shí)，并掌握一定的方法技能和解決問(wèn)題的策略，這是一個(gè)認(rèn)知層面的學(xué)習(xí)，我們稱之為認(rèn)知建構(gòu)。

（3）數(shù)學(xué)測(cè)試題常是一道經(jīng)典題，之所以成為經(jīng)典，是在于這個(gè)測(cè)試題的內(nèi)在的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維都具有代表性和典型性。很顯然，這樣的考試題不再是一般的認(rèn)知方式能夠解決，它需要整合更多的數(shù)學(xué)思想方法突破現(xiàn)有認(rèn)知，我們將這樣的認(rèn)知過(guò)程，稱之為認(rèn)知拓展。

毫無(wú)疑問(wèn)，知識(shí)建構(gòu)、認(rèn)知建構(gòu)和認(rèn)知拓展呈現(xiàn)一種逐步遞進(jìn)和上升狀態(tài)，后者學(xué)習(xí)更難。遺憾的是，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，滿含建構(gòu)主義的思想，卻仍然花了三分之二的時(shí)間用在知識(shí)建構(gòu)，而另外三分之一的時(shí)間用在認(rèn)知建構(gòu)，而認(rèn)知拓展僅僅成為課堂教學(xué)中的一種偶然點(diǎn)綴，可以說(shuō)，認(rèn)知拓展仍然是處于一種自然成長(zhǎng)的狀態(tài)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展主題的選擇

一般來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展的選擇有三個(gè)方向。

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知方法的拓展

小學(xué)生習(xí)慣于直觀獲得知識(shí)，我們當(dāng)然希望培養(yǎng)從直觀到空間想象的能力，但事實(shí)上，沒(méi)有深入解剖知識(shí)模型的拓展，學(xué)生就無(wú)法達(dá)成這樣的目標(biāo)。因此，認(rèn)知方法拓展是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂拓展的第一選擇。

譬如圓柱體的認(rèn)識(shí)，學(xué)生能直觀獲得圓柱的組成部分，圓柱是由兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面構(gòu)成，且兩個(gè)底面是大小一樣的圓形，而側(cè)面展開(kāi)一般是一個(gè)長(zhǎng)方形，特殊的時(shí)候是一個(gè)正方形，如果沿著斜線展開(kāi)，可能是一個(gè)平行四邊形。但是同時(shí)，學(xué)生還有一種總想把物體剖開(kāi)看看，里面是怎樣的，但是事實(shí)上，我們對(duì)此缺少必要的拓展，因此，如果把圓柱體進(jìn)行橫截和豎切的解剖，就會(huì)拓展一系列的新認(rèn)知，而且這些新認(rèn)知是有價(jià)值的，同時(shí)是以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何形體的發(fā)展點(diǎn)和能力支撐點(diǎn)。

所以說(shuō)，在直觀基礎(chǔ)上，進(jìn)行深入的模型解剖常是數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展的第一選擇。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)思想規(guī)律的拓展

小學(xué)數(shù)學(xué)以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法為主，當(dāng)然內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律也是重點(diǎn)內(nèi)容之一，但是有時(shí)當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法呈現(xiàn)一定的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的情況下，數(shù)學(xué)思想規(guī)律常常被忽略。

例如，人教版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱體的認(rèn)識(shí)”中有如下一題：

這就是一種數(shù)學(xué)思想規(guī)律拓展的重要考點(diǎn)設(shè)計(jì)，主要指向于怎樣做一個(gè)最大圓柱的思想萌發(fā)。通過(guò)探究，最終發(fā)現(xiàn)在側(cè)面積相等的情況下，圓柱的底面半徑越大，它的體積就越大，并初次感受到指數(shù)級(jí)擴(kuò)大的一些情景。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)綜合能力的拓展

小學(xué)生掌握了一般的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法外，有些能力培養(yǎng)需要一個(gè)漫長(zhǎng)的形成過(guò)程，而且這些能力具有一定的階段性，在特定的階段中，當(dāng)這種能力缺少拓展，就會(huì)給以后的學(xué)習(xí)帶來(lái)困擾。

例如：圓柱體教學(xué)有如下一道題：

一個(gè)圓柱的側(cè)面積是20平方分米，它的半徑是5分米，求這個(gè)圓柱的體積。

如果按照常規(guī)思路，先算圓柱的高，再算圓柱的體積，發(fā)現(xiàn)計(jì)算會(huì)遇到除不盡的窘境，那怎么辦？可以聯(lián)想到探究圓柱體體積時(shí)，將圓柱體切割成長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的前面就是圓柱的側(cè)面積的一半，而長(zhǎng)方體的寬就是半徑，這樣長(zhǎng)方體的體積，也就是圓柱的體積等于20÷2×5=50（立方分米）。這就是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種能力，轉(zhuǎn)化能力。而轉(zhuǎn)化能力顯然不是一時(shí)形成，需要許多次的認(rèn)知拓展后，逐步成為一種成熟的思想方法。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)綜合能力的拓展也是必須重視和長(zhǎng)期堅(jiān)持的一項(xiàng)教學(xué)任務(wù)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)拓展活動(dòng)的一般結(jié)構(gòu)

通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，我們認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)拓展活動(dòng)一般分以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：“操作準(zhǔn)備、猜想驗(yàn)證、問(wèn)題解決、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、鞏固運(yùn)用”。

以上例圖1的圓柱體積大小為例：

操作準(zhǔn)備是認(rèn)知拓展活動(dòng)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，主要為學(xué)生提供豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生進(jìn)一步解決問(wèn)題做準(zhǔn)備。例如，要探究側(cè)面積相等時(shí)，怎樣圍成體積較大的圓柱體？可以給學(xué)生提供一張紙，讓學(xué)生嘗試圍成一個(gè)圓柱，并在小組中進(jìn)行交流。

猜想驗(yàn)證：猜猜哪種圍法體積最大？

問(wèn)題解決：分組算算四種情況的體積。

以18為底面周長(zhǎng)，求半徑時(shí)用18÷3.14，計(jì)算極不方便，從而產(chǎn)生可以統(tǒng)一把π取3整數(shù)值。從而簡(jiǎn)化計(jì)算，而又達(dá)到驗(yàn)證的目的。

（18÷3÷2）2×3×2=4.52×3×2=20.25×6=121.5（平方分米）

（12÷3÷2）2×3×3=4×9=36（平方分米）

（9÷3÷2）2×3×4=1.52×12=27（平方分米）

（6÷3÷2）2×3×6=3×6=18（平方分米）

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

（1）當(dāng)用面積一樣的圖形圍成圓柱時(shí)，底面周長(zhǎng)越長(zhǎng)，體積越大。

（2）在追問(wèn)中，獲得數(shù)學(xué)原理，周長(zhǎng)越長(zhǎng)，是指半徑越大，而半徑越大（且大于1時(shí)），其平方值就更大。

側(cè)面積相等的圓柱，底面半徑越大，體積越大。

鞏固運(yùn)用：

在獲得數(shù)學(xué)規(guī)律之后，常進(jìn)行必要的相關(guān)練習(xí)，以加深對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)拓展活動(dòng)的組織方式

在數(shù)學(xué)拓展活動(dòng)中，常有以下三種組織方式：新知拓展、練習(xí)拓展、專題拓展。

新知拓展，即在數(shù)學(xué)新課教學(xué)中，就進(jìn)行一些必要的拓展，例如以上的圓柱豎切和橫截拓展，就可以在圓柱的新課教學(xué)，進(jìn)行實(shí)施。一般來(lái)說(shuō)，一些和新知聯(lián)系緊密，且活動(dòng)體量小，相對(duì)獨(dú)立的拓展活動(dòng)常與新課相結(jié)合。

練習(xí)拓展，有些拓展活動(dòng)必須在學(xué)生熟練掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法后，才能進(jìn)行一定的拓展，所以，這種拓展常與練習(xí)和作業(yè)相結(jié)合，所以稱之為練習(xí)拓展。練習(xí)拓展本質(zhì)上是一種對(duì)話作業(yè)，需要同學(xué)之間合作和交流，才能順利達(dá)成目標(biāo)，并取得最佳效果。同時(shí)，教師對(duì)話這樣作業(yè)時(shí)，更應(yīng)簡(jiǎn)潔明了且有力度地指向于拓展目標(biāo)。

縱觀教材的習(xí)題設(shè)計(jì)，仍然存在一些看不見(jiàn)的空洞留白，這就需要教師在教學(xué)過(guò)程中具有洞察的眼光，將其挖掘出來(lái)，從而使得習(xí)題變得更加飽滿、有內(nèi)涵，主要有以下幾個(gè)步驟。

第一步：一線教師在教學(xué)的過(guò)程中，試圖對(duì)教材習(xí)題中潛藏的探究?jī)?nèi)容挖掘出來(lái)，找到蘊(yùn)含在其中的重要數(shù)學(xué)思想方法。

第二步：引導(dǎo)學(xué)生，利用網(wǎng)絡(luò)的手段深入研究，開(kāi)拓學(xué)生的思維空間。尤其是幾何圖形的探究，不僅僅局限于圖形，更應(yīng)該結(jié)合數(shù)據(jù)，真正將數(shù)形結(jié)合完美的詮釋。

第三步：試圖引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部之間聯(lián)系的關(guān)注，關(guān)注數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，也關(guān)注學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和觀點(diǎn)，多策略、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，使學(xué)生在知識(shí)技能之外有所得。

【案例1】在方格紙上畫(huà)幾個(gè)長(zhǎng)方形或是正方形，使他們的周長(zhǎng)相等，然后比較它們的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

這道題目的設(shè)置可以將圖形和代數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)你暯?，真正詮釋了?shù)形結(jié)合，兩位數(shù)的因數(shù)相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，兩個(gè)因數(shù)和一定，就是周長(zhǎng)一定，兩個(gè)因數(shù)相差越小就是長(zhǎng)和寬越接近，積越大也就是面積越大。在對(duì)比中，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是連貫相通的，不僅掌握了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，也拓寬了學(xué)生的思維，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

專題拓展，有些拓展項(xiàng)目并非是孤立的，常貫穿于一個(gè)單元，甚至幾個(gè)年段的全部，但一時(shí)難以達(dá)成目標(biāo)，這樣就需要設(shè)計(jì)一個(gè)專題的數(shù)學(xué)拓展訓(xùn)練。一般來(lái)說(shuō)，這樣的拓展，最有效，也最有創(chuàng)造性。

【案例2】

1.怎樣把一塊正方形鐵皮制作成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒？

生1：先把正方形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒。

生2：把正方形鐵皮一邊的兩個(gè)角各剪去一個(gè)小正方形鐵皮，焊接到對(duì)邊去，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒。

2.哪種方法做成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒的體積大，為什么？

3.如果正方形鐵皮的邊長(zhǎng)是18厘米，能做成多少種不同的無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒？

4.要是剪去的小正方形邊長(zhǎng)是整厘米數(shù)，又有幾種呢？

5.哪個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵盒的體積最大呢？

始終緊扣長(zhǎng)方體體積的計(jì)算，圍繞“怎么做最大”層層展開(kāi)，步步緊逼。讓學(xué)生在“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”中感悟數(shù)學(xué)無(wú)窮的魅力，激發(fā)創(chuàng)新的熱情與欲望，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決生活實(shí)際中發(fā)揮舉足輕重的作用。

五、小學(xué)數(shù)學(xué)拓展活動(dòng)的優(yōu)化策略

（一）健全微課資源，變革自主學(xué)習(xí)的新模式

我們根據(jù)教材的探究點(diǎn)加以梳理，整理出比較適合探究的認(rèn)知拓展活動(dòng)課程。

第一步：發(fā)布探究的課題。經(jīng)過(guò)篩選，整理出適合研究的課題，再進(jìn)行發(fā)布，供大家思考與選擇。

第二步：自主學(xué)習(xí)。學(xué)生根據(jù)課題的內(nèi)容，自己利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行自我充電，比如觀看教師精心準(zhǔn)備的突破重難點(diǎn)的微課視頻，進(jìn)行線上的學(xué)習(xí)。

第三步：自主練習(xí)。有了線下學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)積累，再自己進(jìn)行線上的向上網(wǎng)練習(xí)，以達(dá)到鞏固的目的。

第四步：自我評(píng)價(jià)。對(duì)線上的向上網(wǎng)練習(xí)進(jìn)行答案的校對(duì)，完成初步的自我評(píng)價(jià)。

第五步：教師個(gè)別指導(dǎo)。教師收集學(xué)生的資料，通過(guò)談話、隨訪等形式對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)指導(dǎo)，真正實(shí)現(xiàn)因材施教。

第六步：經(jīng)過(guò)教師的再次梳理與更新，把這樣一套集課程情景教學(xué)素材、配套資料、拓展練習(xí)、學(xué)習(xí)反饋以及交流互動(dòng)為一體的微課體系，分享到班級(jí)微信群，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和交流提供了新的學(xué)習(xí)平臺(tái)。

【案例3】三年級(jí)教材第30頁(yè)的12題，如右圖：

這道看似思維發(fā)散，實(shí)則心思縝密的題吸引了筆者的注意，教學(xué)完新課內(nèi)容后，嘗試把它發(fā)到微信群里，讓學(xué)生們先自行探究，嘗試設(shè)計(jì)合理的買(mǎi)票方式。學(xué)生們各抒己見(jiàn)，方式五花八門(mén)，最后把自己的想法亮出來(lái)交流、探討，在不斷的思想沖突中，篩選出最合理的買(mǎi)票方法，然后制成微課，發(fā)到班級(jí)微信群，供大家課后學(xué)習(xí)與分享，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)尤其是潛能生更是意義非凡。

（二）借助軟件，提升認(rèn)知拓展活動(dòng)課程的數(shù)字化水平

探究起源于課堂，又超越課堂，從課內(nèi)的學(xué)習(xí)拓展到課外以及更廣闊空間的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)行更深層次的探究與學(xué)習(xí)，這就需要一定的軟件支持。

第一步：合理選擇智能化的學(xué)習(xí)工具進(jìn)行演示、探究和自主學(xué)習(xí)。

第二步：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及基于網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)習(xí)能力，拓展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，收獲屬于自己的成功。

（三）開(kāi)辟項(xiàng)目活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)課內(nèi)外教學(xué)的有機(jī)銜接

探究是數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展活動(dòng)課程提倡的一種重要的學(xué)習(xí)方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生圍繞一個(gè)問(wèn)題綜合運(yùn)用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)自主探索和合作交流，解決一些和數(shù)學(xué)知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的實(shí)際問(wèn)題，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到培養(yǎng)。

第一步：學(xué)生大膽思考，合作探究，把自己當(dāng)作學(xué)習(xí)的主人積極地參與到學(xué)習(xí)中。

第二步：通過(guò)彼此之間的交互作用，建立一個(gè)新的學(xué)習(xí)共同體，每個(gè)學(xué)生親自參與，自己動(dòng)手，動(dòng)腦做數(shù)學(xué)，充分利用互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)資源、社會(huì)教學(xué)資源和學(xué)校教學(xué)資源，經(jīng)歷時(shí)間和創(chuàng)新的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去觀察和認(rèn)知現(xiàn)實(shí)世界，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

認(rèn)知拓展活動(dòng)課程實(shí)屬一條尚未開(kāi)辟而必須經(jīng)歷的數(shù)學(xué)能力發(fā)展之路，任重而道遠(yuǎn)。教科書(shū)中例題與測(cè)試卷之間的差距強(qiáng)烈對(duì)比，不斷向一線的教師要效率，要面向全體因材施教，要深挖教材，切實(shí)加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的點(diǎn)、線、面聯(lián)系，要不斷拓寬學(xué)生的視野，拓展教學(xué)的空間，要時(shí)刻保持融洽的課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，尤其是對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力有了更高層次追求，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷煥發(fā)人性的光輝和無(wú)窮的力量。