p空間上的乘子

秦 杰, 黃 穗

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

1 預(yù)備知識

對任意p≥1,p是Banach空間,它的范數(shù)定義為

特別地,當p=2,2為Hilbert空間.若φ∈2,則有

|φ(n)|<∞,n∈Z+,

(1)

它的范數(shù)為

若φ∈∞,則Mφ稱為2的乘子,φ稱為乘子的符號,如果

Mφf=φf,f∈2.

本文將推廣L2(E,μ)上乘子的性質(zhì),如自伴性、冪等性、譜理論及其代數(shù)性質(zhì).此外,還將證明2是∞的乘子空間,及p的乘子空間為∞.

2 主要結(jié)論

Hilbert空間H(≠{0})是特殊的Banach空間，并且每一個Hilbert空間H都存在一個標準正交基,對任意f∈H,有唯一表示.首先證明Hilbert空間2上乘子的性質(zhì).

定理2.1Mφ是有界線性算子.

證明若f,g∈2,λ1,λ2∈C,Mφ為2上的算子,使得Mφf=φf，則

Mφ(λ1f+λ2g)=φ(λ1f+λ2g)=

λ1φf+λ2φg=λ1Mφf+λ2Mφg，

顯然,Mφ是線性算子.

下證Mφ有界.若φ∈∞,則

|φ(n)|≤‖φ‖∞,n∈Z+.

因為

因此

‖φ‖∞‖f‖2,

所以

‖Mφ‖≤‖φ‖∞.

定理2.2若φ∈∞,則‖Mφ‖=‖φ‖∞.

證明利用定理2.1,則有

‖Mφ‖≤‖φ‖∞.

下證‖Mφ‖≥‖φ‖∞,若φ∈∞,f∈2,令En表示

{i∈Z+:|φ(i)|≥‖φ‖∞-1/n},

令

(2)

則

通過(2)式有

(‖φ‖∞-1/n)‖IEn‖2，

因此

‖Mφ‖=‖φ‖∞.

令

M={Mφ:φ∈∞},

則M為代數(shù)，并有

Mφ+Mψ=Mφ+ψ,MφMψ=Mφψ.

定理2.3Mφ自伴當且僅當φ是實函數(shù)，Mφ冪等當且僅當φ=φ2，Mφ為投影當且僅當φ為特征函數(shù).

證明f,g∈2,φ∈∞,則

(3)

若Mφ冪等,則

當且僅當φ=φ2，易知,Mφ為投影當且僅當φ為特征函數(shù).

若λ∈C,φ∈∞,令

φ-λ={φ(n)-λ:n∈Z+},

R(φ)={φ(n):n∈Z+}.

定理2.4σ(Mφ)?R(φ).

證明對任意λ∈C,f∈2,φ∈∞，有

(Mφ-λ)f=Mφf-λf=(φ-λ)f=Mφ-λf,

因此，Mφ-λ與Mφ-λ在2上等價.若λ?R(φ),對?n∈Z+,則φ(n)-λ≠0,即是φ-λ可逆,所以Mφ-λ可逆,因此λ?σ(Mφ),σ(Mφ)R(φ).

定理2.5設(shè)ψ是∞到M的映射,定義ψ(φ)=Mφ,則ψ是從∞到M的*-等距同構(gòu).

下證ψ為等距,因為‖Mφ‖=‖φ‖∞,所以

‖ψ(φ)‖=‖Mφ‖=‖φ‖∞,

因此ψ是到M上的等距映射.

若H是Hilbert空間,則L(H)的子代數(shù)M稱為極大阿貝爾,如果M是可交換的,并且不真包含在任何L(H)的交換子代數(shù)中.接下來討論M、∞及L(2)之間的聯(lián)系.

定理2.6代數(shù)M={Mφ:φ∈∞}是L(2)上的極大阿貝爾.

證明因為2是Hilbert空間,因此2存在標準正交基

令T為2上的算子，且與M交換.

若令

ψ=((Te1(1)),(Te2(2)),…,(Ten(n)),…),

令

對任意f∈2,有

因為T是線性的,因此

故T與ψ在2上等價.

此外,Mφ∈M,k∈Z+,則

(TMφf)(k)=(Tφf)(k)=

(φψf)(k)=(φTf)(k)=(MφT)(k).

因此T與φ交換.

下證ψ∈∞.因為T是2上的算子,則Ten∈2,即是

則

|(Ten)(k)|≤‖Ten‖≤‖T‖,

故

ψ=((Te1(1)),(Te2(2)),…,(Ten(n)),…),

根據(jù)(1)式,ψ∈∞.最后,令T=Mψ,故M是極大阿貝爾.

定理2.7∞與M等距同構(gòu),∞是2的乘子.

證明根據(jù)定理2.5和定理2.6,易知∞與M等距同構(gòu),且∞是2的乘子.

接下來的定理總結(jié)極大阿貝爾M的相關(guān)性質(zhì)和討論算子在M上譜的性質(zhì)并證明.

證明若λ則T-λ在中可逆,且(T-λ)-1存在,即是λσ(T),因此

(T-λ)-1(T-λ)=I,
(T-λ)-1(T-λ)S=S,

因此

(T-λ)-1(T-λ)S(T-λ)-1=S(T-λ)-1.

(T-λ)S=S(T-λ),

(T-λ)-1S=(T-λ)-1(T-λ)S(T-λ)-1=

(T-λ)-1S(T-λ)(T-λ)-1=S(T-λ)-1，

引理2.9若φ∈∞,則

σ(φ)=R(φ)={φ(n):n∈Z+}.

證明令

λ∈C,φ-λ={φ(n)-λ:n∈Z+}.

若λ?σ(φ),則存在(φ-λ)-1,即是φ(n)≠λ,n∈Z+,λ?R(φ),因此,σ(φ)?R(φ).

下證σ(φ)?R(φ).若λ?R(φ),則有(φ(n)-λ)-1在C中可逆,即存在(φ-λ)-1,因此，λ?σ(φ),σ(φ)?R(φ).

定理2.10若φ∈∞,則σ(Mφ)=R(φ).

證明因為M={Mφ:φ∈∞}是極大阿貝爾,根據(jù)定理2.5、定理2.8和引理2.9,有R與∞同構(gòu),因此

σ(Mφ)=σM(Mφ)=σ(Mφ)=σ(φ)=R(φ).

設(shè)ψ是∞到M的映射,定義ψ(φ)=Mφ.若f∈p,φ∈∞,定義Mφ是從p到p的映射，使得

Mφf=φf.

(4)

因為

因此,Mφf∈p.故(4)式是良定義的,所以Mφ是p上的乘子.

利用定理2.6的證明方法,可知M={Mφ:φ∈∞}是L(p)上的極大阿貝爾.

顯然,Mφ是一個有界線性算子.利用定理2.1和定理2.2的證明方法易證‖Mφ‖=‖φ‖∞,其中ψ(φ)=Mφ是從∞到M的映射,通過定理2.5的證明可知，ψ是從∞到M上的等距同構(gòu)映射.

定理2.11∞是p的乘子空間.

證明只需在證明方法上做一些改變就能得到上述結(jié)論.據(jù)前文可知,Mφ是p上的乘子,

M={Mφ:φ∈∞}

致謝重慶師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項目 (YKC17010)對本文給予了資助，謹致謝意.

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