分式函數(shù)類型及解法探究*

袁海軍

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123)

本文通過(guò)畫出這兩種類型函數(shù)的示意圖和例題講解形式，進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式函數(shù)的性質(zhì)，從而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分式函數(shù)的深層次理解和掌握.

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題采用了分離常數(shù)法，利用函數(shù)圖像性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，考查了分式函數(shù)的對(duì)稱中心、單調(diào)性及圖像象限分布.

點(diǎn)評(píng)：注意觀察函數(shù)式結(jié)構(gòu)，進(jìn)行簡(jiǎn)化變形，轉(zhuǎn)化到熟悉昜懂的分式函數(shù)，注意變量的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：本題若直接用單調(diào)性定義法或?qū)?shù)法去求解，計(jì)算量很大，容易出錯(cuò)，通過(guò)觀察其結(jié)構(gòu)，其實(shí)質(zhì)就是分式函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，輕松準(zhǔn)確地得出答案..

例4 若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，則a的取值范圍是 .

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)換元轉(zhuǎn)化到熟悉的一元二次方程，接下來(lái)釆用兩種方法計(jì)算出答案，明顯看出利用分離常數(shù)法更為簡(jiǎn)單，這更加體現(xiàn)分式函數(shù)在解題中的實(shí)效性.

二、倒數(shù)結(jié)構(gòu)型

圖2

(1)a>0且b<0時(shí)，示意圖如2：

此時(shí)f(x)為奇函數(shù)，分段遞增，當(dāng)x>0(或x<0)時(shí)，y∈R；

(2)a>0,b>0時(shí)，示意圖如3：

圖3

可看成以直線y=ax與y軸為漸近線的雙曲線，兩個(gè)頂點(diǎn)A、B可由不等式中的均值定理確定，此時(shí)f(x)的單調(diào)性、奇偶性、定義域與值域、對(duì)稱性可從圖中看出結(jié)論.

注意：當(dāng)a<0,b>0時(shí)或a<0,b<0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為上述兩種.

點(diǎn)評(píng)：復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的基本內(nèi)容，通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的性質(zhì)，大大降低問(wèn)題的難度，要熟練掌握兩種函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化.

(1)將y=f(x)的圖像向右平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，求g(x)的解析式；

(2)若函數(shù)y=h(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線y=1對(duì)稱，求y=h(x)的解析式；

點(diǎn)評(píng)：本題前兩小題主要考查如何根據(jù)題設(shè)的圖像關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，去解決問(wèn)題.

第(3)小題是關(guān)于函數(shù)最值，函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)和分式函數(shù)及基本不等式的綜合應(yīng)用，還重點(diǎn)考查了學(xué)生分類討論的應(yīng)用能力.