漫談多元函數(shù)最值問(wèn)題的求解策略*

劉奕辰 郭建華(指導(dǎo)教師)

江蘇省南京市第二十九中學(xué)高三(6)班 (210036)

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，多元函數(shù)的最值問(wèn)題是一種常見(jiàn)的題型，它常常融合函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)，一般具有綜合性強(qiáng)，思維量大，技巧性強(qiáng)等特點(diǎn)，是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).在學(xué)習(xí)過(guò)程中要不斷反思、歸納和總結(jié)求解策略，以此探究解題規(guī)律，揭示解題方法，形成解題技能.

一、構(gòu)造方程法

例1 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為_(kāi)_________．

點(diǎn)評(píng):由x，y為實(shí)數(shù)，將目標(biāo)函數(shù)整體代換，即t=2x+y，把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量t的一元二次方程，由于該方程有解，因此借助于其判別式求解.

二、基本不等式法

例2 在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2+b2+2c2=8，則ΔABC面積的最大值為_(kāi)_________．

點(diǎn)評(píng):由題設(shè)條件a2+b2+2c2=8的形式，以及求解的目標(biāo)，自然想到用余弦定理，選擇適當(dāng)?shù)男问皆俅伪碚魅切稳卆，b，c間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)對(duì)a，b，c關(guān)系式的適當(dāng)整合把三角形的面積表示成角C的三角函數(shù)，從而將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成單變量的函數(shù)最值問(wèn)題，從而問(wèn)題破解.

三、換元變換法

四、分離變量法

例4 若不等式x2-2y2≤cx(y-x)對(duì)任意滿足x>y>0的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_(kāi)_________．

點(diǎn)評(píng):變量分離法是高中數(shù)學(xué)解題的一種常規(guī)的、有效的方法，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)與方程的思想，將方程、不等式的有解及恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)的值域與最值問(wèn)題.

五、變更主元法

點(diǎn)評(píng):對(duì)于求解一類(lèi)含參方程f(a,x)=0(a為參數(shù))自變量x被限定在某個(gè)范圍有解問(wèn)題，如果從正面求解實(shí)數(shù)a的范圍要面臨很繁瑣的討論，那么就把a(bǔ)當(dāng)做主元來(lái)求解，即令a=g(x)，轉(zhuǎn)換為求函數(shù)a=g(x)關(guān)于自變量x的值域問(wèn)題.即對(duì)于某些問(wèn)題當(dāng)利用主元難以求解時(shí)，可以考慮從次元出發(fā)(即化客為主)，并把主元放在次元的位置上進(jìn)行處理，實(shí)施戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，其實(shí)它是一種換位法，體現(xiàn)了向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化的特點(diǎn).

六、待定系數(shù)法

例6 已知x,y,z∈(0,+∞)，且x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值為_(kāi)_________．

點(diǎn)評(píng):待定系數(shù)法待定系數(shù)法是指將目標(biāo)多元代數(shù)式用條件中已有的多元代數(shù)式結(jié)合必要的待定系數(shù)表示出來(lái)，再按照一定的解題技巧求出待定系數(shù)，進(jìn)而使目標(biāo)求解.

七、數(shù)形結(jié)合法

<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．

圖1

點(diǎn)評(píng):通過(guò)換元，聯(lián)想其題設(shè)條件和目標(biāo)函數(shù)所蘊(yùn)含的幾何意義，轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問(wèn)題，再借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解目標(biāo)最值.

因此，在以后的學(xué)習(xí)中對(duì)多元函數(shù)的最值問(wèn)題，應(yīng)采取多方位、多角度、多途徑進(jìn)行觀察和思考，不斷總結(jié)求解多元最值函數(shù)的方法和技巧，這些方法和技巧并不是孤立的，而是互相聯(lián)系和滲透，因此要認(rèn)真領(lǐng)悟每種方法背后的實(shí)質(zhì)，才能達(dá)到舉一反三，應(yīng)用自如．