對一道高考壓軸題的評析

黃如炎

福建省閩清縣教師進修學校 (350800)

題目已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調性．

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

(2017年高考全國(I)卷理科壓軸題)

1.試題賞析

本題以函數零點為載體考查導數與函數單調性等知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、有限與無限思想、數形結合思想，是考查學生數學關鍵能力、學科素養(yǎng)和核心價值的把關試題．不可求的函數零點問題，是高考的熱點與難點，學生解題思路茫然.高考命題組給出的參考解答具有嚴謹、精煉、規(guī)范的特點，體現(xiàn)了數學的理性思維，頗有數學味.但由于沒有給出零點探求的思維過程(連圖形都沒有)，使師生很難領悟命題組的參考解答，對直接給出的結論，學生感到突如其來，百思不得其解[1].

2.解題分析

“數學是自然的，數學是清楚的”[2]，因此數學解題應是清析明理的.解決不可求函數零點問題要順應學生形象思維到抽象思維的認知過程，通過求導作圖，特值驗證，放縮化歸等有效手段，引導學生經歷數學發(fā)現(xiàn)、數學創(chuàng)造的思維歷程，揭示蘊含在知識背后的核心素養(yǎng)、數學本質和思想方法，讓解題思維從學生頭腦里自然地流淌出來．以下給出該壓軸題的幾種原創(chuàng)自然解法，供同行教學參考.

解析1：(1)f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，則f′(x)<0，f(x)在(—∞，+∞)單調遞減；

②若a>0，當x∈(-∞,-lna)時，f′(x)<0，當x∈(-lna,+∞)時,f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,-lna)單調遞減，在(-lna,+∞)單調遞增．

(2)①若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點；

圖1

②若a>0，由(1)知

還可用以下解析2、解析3探求n．

解析2：(1)同解析1.

綜上：a∈(0,1)時,f(x)有兩個零點.

解析3：(1)同解析1.

綜上：a∈(0,1)時,f(x)有兩個零點．

圖2

故a∈(0,1)時,f(x)有兩個零點.

3.歸納總結

探求連續(xù)函數f(x)不可求零點的存在區(qū)間，可運用以下有效方法：

(1)求導，確定函數f(x)的單調區(qū)間；

(2)作圖，作出函數f(x)圖像判斷零點的情況；

(3)探值，在零點兩側分別探求實數m、n(可以是一個具體的數式或區(qū)間)，使f(n)f(m)<0．

①特值驗證：根據函數式的特征，取特殊自變量m，驗證是否滿足f(m)>0(或f(m)<0)．

②解不等式：當不等式f(x)>0(或f(x)<0)可解時，可直接通過解不等式求出滿足f(m)>0(或f(m)<0)的實數m．

③放縮化歸：當f(x)較復雜時，可將f(x)放縮為簡單的函數g(x)，使f(x)>g(x)(或f(x)0(或g(m)<0)，則f(m)>g(m)>0(或f(m)

由于零點問題基本以指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數為載體，為熟練放縮，要求學生掌握重要不等式ex≥x+1，lnx≤x-1，sinx≥0(x≥0)．

圖3

4.變式引申

(原創(chuàng)題)已知f(x)=(x-1)ex-kx2+2，當x∈[1，2]時，f(x)<0，探求f(x)的零點個數．

解析1:f′(x)=x(ex-2k)，由f(1)<0，得k>2，∴l(xiāng)n2k>1，所以f(x)在(-∞，0)和(ln2k，+∞)單調遞增，在(0，ln2k)單調遞減．易取x=0，x=1，得f(0)=1>0，f(1)=2-k<0.當x→-∞時，f(x)→-∞，當x→+∞時，f(x)→+∞，知f(x)圖像如圖3所示且有三個零點．f(-1)=-2e-1-k+2<0，f(ln2k)0．

由于ln2k=ln2+lnk≤ln2+k-12，所以g′(k)=ek-3>0，g(k)>g(2)>0，從而f′(k)>0，f(k)>f(2)=e2-6>0．

解析2:當x>ln2k時，因為ex>x2，x>ln2k>1，所以f(x)=(x-1)ex-kx2+2>(x-1)x2-kx2+2=(x-1-k)x2+2，令g(x)=(x-1-k)x2+2，為消去x項，取x=1+k，則g(k+1)=2>0，所以f(k+1)>0，故f(x)在(ln2k，k+1)上有一個零點．

評注：本例的難度在于尋找一個大于ln2k的數使其函數值大于零．解決的智慧一是利用重要不等式lnx≤x-1找到大于ln2k的數k，二是把f(x)放縮為簡單的函數g(x)=(x-1-k)x2+2，再取特值x=1+k，使f(k+1)>g(k+1)>0．

[1]教育部考試中心．2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M]．福州：福建省教育考試院，2017．

[2]劉紹學．普通高中課程標準實驗教科書﹒數學1-5必修[M]．北京：人民教育出版社，2007．