巧用類比 事半功倍

魏 嬌 趙小云

陜西學(xué)前師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 (710100) 廣西南寧第三十七中學(xué) (530001)

類比推理,是根據(jù)兩個(gè)對象或兩類事物之間存在著一些相同或者相似的屬性,猜測他們之間可能具有其他一些相同或相似的屬性的思維方法.它是數(shù)學(xué)中非常重要的推理方法,在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用類比方法,不僅能突出問題的本質(zhì),提高教學(xué)效果,同時(shí)可以讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過大量學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)事實(shí)本身,對提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力有著極大的幫助,更能拓展思維的深度和廣度,有利于學(xué)生對所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、有機(jī)整合.類比方法既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法,也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法.應(yīng)用類比方法,不僅可把抽象的新知識(shí)納入到已有知識(shí)系統(tǒng)中來,變抽象為形象、變難為易、變繁為簡,同時(shí)又可激發(fā)學(xué)生聯(lián)想,具有啟發(fā)思路、舉一反三、觸類旁通的作用.

一、概念類比

由舊概念產(chǎn)生新概念的類比叫做概念類比.用類比法引入新概念,可使學(xué)生更好地理解新概念的內(nèi)涵與外延.

圖1

例1 如圖,點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M,PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.在任意△DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并予以證明.

試一試定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,a1=2,公和為5,則a18= .數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= .

二、結(jié)構(gòu)類比

某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物,但可通過觀察,憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類比問題,然后通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q,將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決.

三、模式類比

試一試設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和直線x=b對稱(a>b).問f(x)是否為周期函數(shù),為什么?

四、方法類比

借助于過去的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、技能與思想方法而進(jìn)行的類比,稱為方法類比.

五、升維類比

將平面(二維)中問題升級(jí)到空間(三維)問題,此種方法即為升維類比.

例5 已知命題:平面上一矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成的角分別為α，β,則cos2α+cos2β=1,若把它推廣到空間長方體中,試寫出相應(yīng)的命題形式,并寫出求解過程.

分析:平面與空間問題的類比,通?？梢宰プ缀我氐娜缦聦?yīng)關(guān)系作對比:多邊形?多面體:邊?面;面積?體積;平面角?二面角;線段長?面積;……

六、排列組合中的類比推理

例6 已知數(shù)列{an}(n∈Z+)是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列.

(2)由(1)的結(jié)果,歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個(gè)結(jié)論.

分析:本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力,突出了創(chuàng)新能力的考查;通過抓住問題的實(shí)質(zhì),探討具有共同的屬性.

綜上所述:類比推理是一種由此及彼、自由聯(lián)想式的合情推理,是探索問題、解決問題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法.類比思維的過程不僅是一個(gè)推理的過程,更是對思維的高度濃縮的過程.教師在教學(xué)過程中應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生尋找合適的類比對象,明確進(jìn)行類比的方向和目標(biāo),設(shè)置類比性習(xí)題,加強(qiáng)類比訓(xùn)練,有意識(shí)地營造一個(gè)較為開放型的學(xué)習(xí)空間.但也要注意,類比推理不是一種必然性的正確推理,要得到正確的結(jié)論,我們還必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明才行.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析、比較,透過現(xiàn)象抓住所研究問題的特征,選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘ο?提高其結(jié)論的可靠程度,自覺地掌握和應(yīng)用類比方法,達(dá)到理想中的效果.

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