一類(lèi)非線性發(fā)展方程的整體吸引子

孫晶晶，張建文

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

非線性發(fā)展方程整體吸引子的存在性是動(dòng)力系統(tǒng)中廣泛研究的問(wèn)題之一,比如非線性發(fā)展方程

(1)

式中：α,β,γ,μ為正常數(shù)；f(u)∈C0(R,R),Ω?Rn,且具有足夠光滑的邊界。當(dāng)α=1,β=0,γ=0時(shí),關(guān)于系統(tǒng)(1)的適定性問(wèn)題和長(zhǎng)時(shí)間行為已有了很好的結(jié)果,如尚亞?wèn)|[1]研究了其整體強(qiáng)解的存在性和唯一性;張宏偉等[2]利用勢(shì)井方法研究了整體弱解的存在性,漸近性和不存在性;XIE et al[3]應(yīng)用一種新的方法研究了該問(wèn)題的長(zhǎng)時(shí)間行為以及當(dāng)μ=1時(shí)的漸近行為;牛麗芳等[4]研究了系統(tǒng)具有記憶項(xiàng)時(shí)整體吸引子的存在性。文獻(xiàn)[5]在前人的基礎(chǔ)上研究了當(dāng)μ=1時(shí),α，β，γ均為正常數(shù)系統(tǒng)的初邊值問(wèn)題。

XIE et al[6]應(yīng)用文獻(xiàn)[7-9]中介紹的方法在R3中研究了一類(lèi)半線性發(fā)展方程的漸近光滑性和整體吸引子

(|ut|r-2ut)t-Δu-Δut-Δutt+f(u)=g,x∈Ω,u|t=0=u0,ut|t=0=u1,x∈Ω,u|?Ω=0 .

(2)

綜合考慮式(1)和式(2),可建立如下更為一般的非線性發(fā)展方程

(3)

u|t=0=u0,ut|t=0=u1,x∈Ω.

(4)

u|?Ω=0 .

(5)

式中：非線性函數(shù)M(·),N(·)是由于材料的非線性本構(gòu)關(guān)系所致的,有界開(kāi)集Ω?R3,并且具有光滑的邊界?Ω；常數(shù)α,μ>0,3≤r≤6；u(x,t)為未知函數(shù)；f(u)∈C1(R,R)為給定的滿(mǎn)足適當(dāng)條件的非線性項(xiàng)；g(x)∈L2(Ω)為給定泛函。相比較文獻(xiàn)[6-7],本文討論的方程更具有一般性,并從后面的討論會(huì)發(fā)現(xiàn)，增加非線性函數(shù)M(·)和N(·)之后帶來(lái)了很多困難。以下內(nèi)容分為兩部分:一是介紹了系統(tǒng)的先驗(yàn)估計(jì);二是先用Galerkin方法驗(yàn)證了解的存在唯一性,然后應(yīng)用條件(C)[13]的方法證明了系統(tǒng)存在整體吸引子。

而且若設(shè)X,Y為巴拿赫空間,‖·‖X,‖·‖Y分別為空間X與Y的范數(shù),則對(duì)?(u,v)T∈X×Y,定義其范數(shù)為

‖(u,v)T‖X×Y=‖u‖X+‖u‖Y.

本文中非線性項(xiàng)f(s)∈C1(R,R)滿(mǎn)足如下的假設(shè):

|f(r)-f(s)|≤C(1+|r|4+|s|4)|r-s|,r,s∈R.

(6)

而且,令f滿(mǎn)足分解f=f0+f1,其中f0,f1∈C1(R,R)也滿(mǎn)足

|f0(s)|≤C(1+|s|5),?s∈R.

(7)

f0(s)s≥0,?s∈R.

(8)

|f1(s)|≤C(1+|s|p),p<5,?s∈R.

(9)

(10)

式中：λ1為-Δ在狄利克雷邊界條件下的第一特征值,則由式(6)與式(8)可知存在常數(shù)C>0,λ<λ1,使得

f(s)s≥f1(s)s≥-λs2-C,?s∈R.

(11)

(12)

(13)

1 系統(tǒng)(3)-(5)的先驗(yàn)估計(jì)

(14)

以及初始條件

(15)

(16)

分別取φ=ωj；j=1,2,…,m,則式(14)-(16)是一個(gè)非線性常微分方程組的柯西問(wèn)題。由常微分方程理論可知:存在tm>0,使得在[0,tm]上存在唯一的解um(t)(0≤t

下面將得到關(guān)于解um(t)的先驗(yàn)估計(jì):

M(0)=0,N(0)=0,sN(s)≥0,M(s)≥a+bs(b>0) .

(17)

則對(duì)任意的T>0方程(3)-(5)的解u滿(mǎn)足:

(18)

((|umt|r-2umt)t-[α+M(zm(t))+N(zmt(t))]Δum-μΔumt-Δumtt+f(u),umt)=(g(x),umt) .

其中

也就有

(18)

在[0,t](tt并應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式可得

(19)

根據(jù)式(17)可得:

(20)

又由f的連續(xù)性有F(um(x,0))→F(u0m).因此,

從而不等式(20)左端的各項(xiàng)對(duì)于一切自然數(shù)m及任意t∈[0,T]均有界,故存在正常數(shù)M1(R)使得式(17)成立。

(21)

證明：在式(14)中取φ=umtt可得

(22)

由Young不等式及H?lder不等式可知

而且應(yīng)用中值定理可得

由式(7)與式(9),綜合Sobolev嵌入定理以及Poincare'不等式

故式(22)可以簡(jiǎn)化為:

(23)

2 整體吸引子

(24)

dx)]Δu-μΔut-Δutt+f(u)-g(x),φ)=0 .

(25)

u|t=0=u0(x),ut|t=0=u1(x) .

(26)

證明：由引理1和引理2,應(yīng)用Galerkin方法可以很容易的得到解的存在性。下面我們來(lái)證明該問(wèn)題的弱解是唯一的,且連續(xù)依賴(lài)于初值。

假設(shè)u,v分別是系統(tǒng)(3)-(5)對(duì)應(yīng)于初值(u0,u1),(v0,v1)的兩個(gè)解,令ω=u-v,則ω滿(mǎn)足以下初邊值問(wèn)題

(27)

ω|t=0=ω0,ωt|t=0=ω1,x∈Ω.

(28)

ω|?Ω=0,t>0 .

(29)

用ωt分別與式(27)兩端作L2(Ω)中的內(nèi)積可得:

(r-1)(utt(|ut|r-2-|vt|r-2)+|vt|r-2ωtt,ωt).

(29)

其中，

而且,

所以,

(30)

注意到M(a)2-M(b2)≤M'(sup{a2,b2})|a-b||a+b|,故

又由中值定理以及M',N'的連續(xù)性可知:

同理

故

(31)

最后來(lái)處理非線性項(xiàng),由假設(shè)式(6)

(32)

綜合式(30)-(32),式(29)可以簡(jiǎn)化為

所以,

(33)

下面用ωtt與式(27)兩端作L2(Ω)的內(nèi)積:

(33)

其中,

(34)

(35)

(36)

(37)

綜合式(34)-(37)可得

(38)

從而由式(33),式(38)可知:

(39)

式中：K為正常數(shù)。對(duì)式(39)應(yīng)用Gronwall引理可得:

(40)

顯然,若u0=υ0,u1=υ1,則ω=ωt=0,從而解的唯一性得證。

(41)

由定理1和引理3可以定義半群

而且滿(mǎn)足通常的半群性質(zhì):

S(t+s)=S(t)S(s),S(0)=I,?t,s≥0 .

(42)

且不難證明,對(duì)一切t≥0,{S(t)}都是連續(xù)的。

定義1[14]空間X上的半群{S(t)}t>0滿(mǎn)足條件(C):如果對(duì)任意的ε>0和X中的任何有界集B,存在tB≥0和X的有限維子空間X1,使得對(duì)任意的t≥tB都有{PS(t)x|x∈B,t>tB}是有界的,而且對(duì)任意的x∈B,均有‖(I-P)S(t)x‖X≤ε,其中P∶X→X1是有界投影,I是恒等映射。

引理4[14]假設(shè)Z是Banach空間,{S(t)}t≥0是在Z上的C0半群,如果{S(t)}t≥0滿(mǎn)足如下條件:

1) {S(t)}t≥0在Z中具有有界吸收集B0;

2) {S(t)}t≥0在Z中滿(mǎn)足條件(C),則稱(chēng){S(t)}t≥0在Z中存在整體吸引子。

下面證明半群{S(t)B}t≥0的耗散性。

定理2 動(dòng)力系統(tǒng)(3)在E0上具有有界吸收集;也就是對(duì)任意有界集B0?E0,存在T0=T0(B)使得

S(t)B?B0,?t≥T0.

(43)

證明：設(shè)v=ut+δu,并將方程式(3)-(5)的第1個(gè)式子化為如下形式

(44)

用v與式(44)作內(nèi)積,并且假設(shè)δ足夠小則有

(45)

(46)

為方便,簡(jiǎn)單記為

以及

從而方程式(46)可以簡(jiǎn)化為

也就有

(47)

其中

(48)

根據(jù)式(11)和式(12),并應(yīng)用Young不等式可得

(49)

(50)

其中

則有

結(jié)合式(48)應(yīng)用引理2可知

所以

(51)

所以對(duì)任意的t≥T0(B),都存在Q>0使得

(52)

定理3 動(dòng)力系統(tǒng)(3)的解半群{S(t)}t≥0在E0中存在整體吸引子A,即A在E0中是緊的,不變的,且按E0中的范數(shù)吸引E0中任意有界集。

證明：應(yīng)用引理4,現(xiàn)在只需證明解半群{S(t)}t≥0在空間E0中滿(mǎn)足條件(C)即可。

0≤λ1≤λ2≤λ3≤…,λi→∞,當(dāng)i→∞ .

若設(shè)Hm=span{ω1,ω2,…,ωm},對(duì)于?(u,ut)T∈E0則有如下唯一的分解

(u,ut)T=(u1,u1t)T+(u2,u2t)T.

應(yīng)用式(44)與v2作L2(Ω)中的內(nèi)積,可得

(53)

由Sobolev嵌入定理以及定理2可知,對(duì)任意的ε>0,存在T=T(B,ε)和m(空間Hm的維數(shù)),使得對(duì)一切t≥T,n≥m都有以下估計(jì)成立:

綜合以上估計(jì):

(54)

結(jié)合引理4和定理2可知:系統(tǒng)(3)的半群{S(t)}在E0中有整體吸引子A.

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