非線性邊界條件下具非線性耗散粘彈性梁方程的整體解

薛亞榮，張建文

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

1 引言

張建國等[1]研究了一類軸向載荷和橫向載荷作用下具非線性耗散項(xiàng)粘彈性簡支梁方程

的解的存在唯一性和漸近性，其中A為Laplace算子-Δ.

張建文等[2-3]研究了一類軸向載荷和橫向載荷作用下的非線性粘彈性梁方程

解的存在唯一性。

王旦霞等[4]研究了上述系統(tǒng)在非線性邊界條件下

整體解的存在唯一性。

在前人的基礎(chǔ)上，將研究非線性邊界條件下梁方程的整體解。筆者將研究梁受軸向載荷和橫向載荷的作用且又受到非線性外阻尼的作用[5]，證明了如下梁方程

(1)

滿足初始條件

w(x,0)=w0(x),wt(x,0)=w1(x) .

(2)

及非線性邊界條件

w(0,t)=w(2)(0,t)=w(1)(l,t)=0 ,

(3)

(4)

2 定義及假設(shè)

定義1 記Ω=(0,l)，定義Sobolev空間：V={u∈H2(Ω)|u(0,t)=u(1)(l,t)=0}，其范數(shù)為‖w‖v=‖w(2)‖2；定義Sobolev空間：W={u∈V∩H4(Ω)|u(2)(0,t)=0}，其范數(shù)為：‖w‖W=‖w(2)‖2+‖w(4)‖2.

假設(shè)1 函數(shù)M(·),N(·)滿足M(0)=0,|M'(x)|≤c,N(0)=0,|N'(x)|≤c和N(s)s≥0.

3 主要結(jié)果

4 定理的證明

考慮系統(tǒng)(1)—(4)的變形問題，即求u∈W，對(duì)一切w∈V有

(5)

Step 1：取W中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基{wj(x)}，簡記為{wj}，并有{u0,u1}∈span{w1,w2},對(duì)于任何固定的正整數(shù)m,假設(shè)w1,w2,…,wn,…是W的規(guī)范正交基，故Wm=span(w1,w2,…,wm)，構(gòu)成近似解

使得對(duì)Wm中的任意w,um(t)滿足逼近方程

(6)

和初始條件

(7)

Step 2：給出解um的先驗(yàn)估計(jì)，以使解拓廣到對(duì)一切t>0有定義。

估計(jì)2 在式(6)中取w=üm(x,t)及t=0，再利用分部積分法及相容性條件得

(üm(t+Δt)-üm(t)+Δ2um(t+Δt)-Δ2um(t)+f(um(l,t+Δt))) .

即

因此，可得

(8)

令

Φm(t)=|u'm(t+Δt)-u'm(t)|2+Δ2|um(t+Δt)-um(t)|2.

(9)

注意到式(8)，式(9)變?yōu)?/p>

(10)

式中，C為不同常數(shù)，由zm(t)的定義及已得的有界性結(jié)論，可得

代入式(10)右端第2項(xiàng)，用Young不等式，得

Φ'm(t)≤CΦm(t)+|f(t+Δt)-f(t)|2.

利用Gronwall不等式，對(duì)于?t∈[0,T]，有

(11)

上式兩端同除以(Δt)2，令Δt→0，對(duì)一切m，?t∈[0,T],得

于是，在L2(0,∞;V)中，

弱星收斂于Ψ.

(12)

Step 4：證明u是式(1)和式(2)的解。

對(duì)于每個(gè)固定的j，有：

所以式(4)成立。

對(duì)于?w∈L2(0,∞;V),有

(13)

當(dāng)m→∞時(shí)，式(13)右端第1項(xiàng)和第2項(xiàng)都趨于0，

此時(shí)，式(13)中第3項(xiàng)變?yōu)?/p>

(14)

因?yàn)閧um}在L2(0,∞;V)中有界，V?H是緊嵌入，所以在L2(0,∞;V)中，{um}強(qiáng)收斂于u.因此對(duì)任意w∈L2(0,∞;V)，當(dāng)時(shí)m→∞，有

Step 5：證明解的唯一性。

設(shè)u和v是式(1)、式(2)的兩個(gè)解。記

令w=u-v,則

所以

(15)

故|zu(t)-zv(t)|≤(|u|+|v|)·|Δw| .

(16)

(17)

將式(16)、式(17)代入上式，利用Young不等式，得

唯一性得證。

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