2017年高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題分析

羅佳倩

【摘要】由于2017年是四川省自主命題10年后，第一次使用全國卷，第一次做關(guān)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程的選做題，所以深入研究今年坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考點和解題特點，將對四川省今后關(guān)于這個專題的數(shù)學(xué)教學(xué)大有幫助.本文是以2017年高考全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷為例，對關(guān)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題進(jìn)行分析和研究.首先，對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的內(nèi)容做了簡介；然后，分別對全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷關(guān)于這個專題的試題進(jìn)行分析和總結(jié)，得出關(guān)于此專題的試題特點；最后，根據(jù)實際狀況和專題特點，針對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的教學(xué)，給出實際的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】坐標(biāo)系；參數(shù)方程；試題分析；試題特點

一、引 言

坐標(biāo)系與參數(shù)方程屬于選修系列的第4個專題，包含“坐標(biāo)系”與“參數(shù)方程”兩個部分的內(nèi)容.在高考題中，本專題所占分值大概是5～10分，近幾年主要以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，尤其是解答題的形式，所以這個專題是高中選修部分重要的教學(xué)內(nèi)容之一.由于2017年是四川省自主命題10年后，第一次使用全國卷，第一次做關(guān)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程的選做題，所以深入研究今年坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考點和解題特點，將對今后的教學(xué)大有裨益.本文主要是對2017年數(shù)學(xué)高考全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷中坐標(biāo)系與參數(shù)方程的試題進(jìn)行分析和研究，然后在此基礎(chǔ)上給出實用的教學(xué)建議.查閱資料發(fā)現(xiàn)，2017年文理科全國卷關(guān)于這部分的選做題都是一樣的，所以就只選取2017年數(shù)學(xué)高考理科卷對關(guān)于這個專題的內(nèi)容做深入的分析和研究.

二、2017年高考全國卷坐標(biāo)系與參數(shù)方程的試題分析

（一）全國卷Ⅰ

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ，y=sinθ， （θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=a+4t，y=1-t，（t為參數(shù)）.

（1）若a=-1，求C與l的交點坐標(biāo)；

（2）若C上的點到l距離的最大值為17，求a.

考點 本題主要考查的是橢圓和直線的參數(shù)方程的互化以及根據(jù)已知條件求未知參數(shù)的值.

試題分析 （1）可以用平方消元法和代入法分別將曲線C和直線l的參數(shù)方程化成普通方程，然后聯(lián)立兩方程即可求出交點坐標(biāo)；（2）由題意知，直線l的普通方程為x+4y-a-4=0，設(shè)C上的點為（3cosθ，sinθ），易求得該點到l的距離為d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.對a再進(jìn)行討論，即當(dāng)a≥-4和a<-4時，求出a的值.

注意 化參數(shù)方程為普通方程的關(guān)鍵是消參，可以利用加減消元、平方消元、代入法，等等.對于求未知參數(shù)的題，最重要的是找到等量關(guān)系，利用等量關(guān)系反解出未知數(shù)的值.

（二）全國卷Ⅱ

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.

（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為2，π3，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值.

考點 本題的主要考查的是求動點的軌跡方程以及運用極坐標(biāo)方程求三角形面積最值.

試題分析 （1）本題若直接從直角坐標(biāo)入手，很難解決這個問題，但若換一個角度，從極坐標(biāo)入手，用極坐標(biāo)去表示點的P坐標(biāo)會簡單很多.由于點M在曲線C1上，則可得M點的極坐標(biāo)為（ρ，θ），且點p在線段OM上，即點P的極坐標(biāo)為（ρ1，θ），再利用|OM|·|OP|=16這個等式，即可得到軌跡C2的極坐標(biāo)方程，最后利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，就可得到軌跡C2的直角坐標(biāo)方程.（2）首先，可利用極坐標(biāo)公式將三角形相應(yīng)的邊表示出來，然后再選擇合適的面積表達(dá)式去計算面積，根據(jù)式子的特點，得到最大值.

注意 本題重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.解題時要結(jié)合題目自身特點，確定選擇何種方程.

（三）全國卷Ⅲ

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為x=2+t，y=kt， （t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m，y=mk，（m為參數(shù)）.設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ（cosθ+sinθ）-2=0，M為l3與C的交點，求M的極徑.

考點 本題主要考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考點很常規(guī)，計算較為簡便.

試題分析 （1）根據(jù)已知條件應(yīng)先把兩條直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后根據(jù)直線普通方程的特點，求解曲線C的普通方程.（2）可以先把直線l3化成普通方程，然后聯(lián)立曲線C的普通方程，可得到交點M的坐標(biāo)，從而求得極徑，或可將曲線C的l3普通方程化成極坐標(biāo)方程，聯(lián)立曲線C和直線l3的極坐標(biāo)解得M的極徑.

三、2017年高考全國卷坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題特點

通過分析今年全國卷可知，坐標(biāo)系與參數(shù)的考查仍然以直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程這三者的互化為主，有時還將它們與三角形、三角函數(shù)、距離、位置關(guān)系等結(jié)合起來考查.總的來說，全國卷考點是基礎(chǔ)的、常規(guī)的，但是考查方式比較靈活，既考查了學(xué)生的理解能力，又能很好地檢測學(xué)生關(guān)于這方面的掌握程度，具有很好的篩選功能，比如，全國Ⅰ卷的第二問，若不能靈活地運用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識，根本算不出正確值；還有全國Ⅱ卷，如果不能熟練地掌握求動點軌跡的方法以及極坐標(biāo)方程的實質(zhì)，要直接得到軌跡方程是很困難的，對于它的第二問更需要學(xué)生靈活運用三角函數(shù)的知識和三角形面積公式，這很好地考查了學(xué)生思維的廣度和知識的綜合運用能力；而對于全國Ⅲ卷，難點在于第一問，要根據(jù)題中條件得到曲線的普通方程對于一些思維有局限的中等生和學(xué)困生就很困難.

四、教學(xué)建議

根據(jù)全國卷試題特點可知，本專題的考點主要集中在各類方程互化以及它們與其他知識的綜合運用，考點常規(guī)，但方式靈活.所以我們教師在平常的教學(xué)中，首先應(yīng)該重視坐標(biāo)系與參數(shù)方程基礎(chǔ)知識和方法的教學(xué)，并且在課堂上要多給學(xué)生做變式訓(xùn)練，避免學(xué)生形成定式思維，讓同學(xué)們能夠靈活地運用數(shù)學(xué)知識.其次，應(yīng)該在教學(xué)中滲透坐標(biāo)系思想，教會學(xué)生在不同坐標(biāo)系解題，體會坐標(biāo)系的優(yōu)越性，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的坐標(biāo)系，優(yōu)化解題方法.最后，我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”思想方法的運用，讓學(xué)生的抽象思維和形象思維有效地結(jié)合在一起，這樣在解決本專題的某些問題時，可以簡化運算，使同學(xué)們做題更加快捷、順暢.

【參考文獻(xiàn)】

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