化歸思想在當前初中數(shù)學教學過程中的運用

魯錦洪

【摘要】化歸思想以“同質(zhì)轉(zhuǎn)化”為基礎(chǔ)，其核心在于剝離形式差異表象而獲取同質(zhì)內(nèi)涵.化歸思想在數(shù)學領(lǐng)域被評價為基礎(chǔ)思想，在數(shù)學學習與應(yīng)用中發(fā)揮重要作用.初中數(shù)學重視學生基礎(chǔ)知識與學生學習興趣的培養(yǎng)，在教學過程中引入化歸思想不僅能促進學生學習數(shù)學基礎(chǔ)知識，同時能激發(fā)學生的學習興趣.本次研究以化歸思想在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用為研究視角，在綜合分析化歸思想與初中數(shù)學教學的基礎(chǔ)上，歸納具體應(yīng)用方法，以期為完善初中數(shù)學教學做出理論貢獻.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；初中數(shù)學；基礎(chǔ)教育

教育改革強調(diào)：摒棄應(yīng)試教育的弊端，提升學生綜合素質(zhì).而數(shù)學作為基礎(chǔ)教學的核心課程，不僅應(yīng)發(fā)揮其傳遞基礎(chǔ)知識的功能，同時應(yīng)發(fā)揮其蘊含的邏輯培育、思維培育等功能，促進學生全面發(fā)展[1].化歸思想是重要的數(shù)學思想，其核心在于剝離形式差異后獲取同質(zhì)內(nèi)涵.在數(shù)學教育中引入化歸思想不僅能促進學生學習數(shù)學，同時能激發(fā)學生的學習興趣，提升學生綜合素質(zhì).因此，本次研究選取化歸思想引入初中數(shù)學教學為研究視角，在綜合分析化歸思想與初中數(shù)學教學的基礎(chǔ)上，分析具體應(yīng)用方法.

一、化歸思想與初中數(shù)學教學

（一）化歸思想

化歸思想的核心為剝離形式差異表象而獲得同質(zhì)內(nèi)涵，其建構(gòu)基礎(chǔ)為同質(zhì)轉(zhuǎn)化.化歸思想被廣泛應(yīng)用于數(shù)學領(lǐng)域，被評價為數(shù)學的基礎(chǔ)思想之一.化歸思想具有四種具體應(yīng)用方式，即化復(fù)雜為簡單，化未知為已知，化實質(zhì)為運用及化抽象為直觀.在數(shù)學領(lǐng)域中，化歸思想的具體應(yīng)用方法主要包括：整體代入法、待定系數(shù)法、配方法等方法.

以雞兔同籠為例闡述化歸思想：當籠中共有頭50個，足140只時，雞兔各有幾只？首先對問題中的已知條件進行化歸變形，要求籠中的雞獨腳站立，籠中兔雙腳站立，則問題變更為籠中頭共50個，足共70只，此時雞頭、足數(shù)目相等，而兔的頭、足數(shù)目不等.而每多一只兔則多一條腿，在兔的數(shù)目為70-50=20，雞的數(shù)目為30.

（二）初中數(shù)學教學

初中數(shù)學教學以基礎(chǔ)知識傳授與數(shù)學興趣培養(yǎng)為主要教學目的，而在具體的數(shù)學教學過程中，授課教師往往以應(yīng)試為主要目的，注重于解題方法與技巧的傳授.同時，采用題海戰(zhàn)術(shù)提升學生的準確率，導(dǎo)致學生學習負擔較重.加之數(shù)學學習難度較大，學生往往難以建立學習興趣，部分學生甚至產(chǎn)生了厭學的情緒[2].初中數(shù)學教學應(yīng)注重數(shù)學思維的培養(yǎng)，將數(shù)學思想方法傳遞給學生，使學生建立起關(guān)于數(shù)學體系，從根本上明確數(shù)學問題，從而促進學生學習基礎(chǔ)知識，激發(fā)學生學習興趣.

二、化歸思想在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用

（一）化歸思想的運用

化歸思想的運用主要包括三部分內(nèi)容，具體如下：

1.未知問題與已知問題的化歸

將未知問題化歸為已知問題是化歸思想的主要運用方法.在初中數(shù)學中，未知問題與已知問題的化歸主要表現(xiàn)在代數(shù)方程中.而在代數(shù)方程的解析中，化歸思想也是基本求解思想[3].

以方程y=（x+n）2，y≥0為例.求解二元一次方程應(yīng)首先對二元一次方程進行轉(zhuǎn)化，即將未知知識轉(zhuǎn)化為已知知識.求解這個二元一次方程，可采用開平方的方法，即變更（x+n）2為x+n，變更y為±y.則等式變更為±y=x+n，最后依據(jù)基本運算法則求解，即x=±y-n.若方程無法采用開平方的方法化歸，還可以采用配方的方法進行處理.將含有未知數(shù)的方程部分變化為完全平方形式，置于方程左側(cè)，將方程右側(cè)變化為大于等于0的具體數(shù)字.其后對方程進行開方處理后，對方程進行因式分解.最后分別計算求解.

同時，未知問題的化歸在幾何領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用.以梯形為例：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線相交于點O且相互垂直.AD=3，BC=5，求AC的長.上述問題的核心為梯形對角線垂直，即AC⊥BD.利用已知進行化歸，當梯形的對角線相互垂直時，可判斷梯形為等腰梯形，以等腰梯形對角線的交叉點所組成的兩個三角形為等腰三角形，即△AOD與△BOC為等腰三角形.又因梯形對角線垂直，所以△AOD與△BOC為等腰直角三角形，則BO=CO，AO=DO.因AC=3，BC=5，則AO2+DO2=BC3，CO2+BO2=52，則AO=BO=42.

2.新問題與舊問題的化歸

解決數(shù)學問題最快、最有效的方法就是，將陌生的新問題化為比較熟練的舊問題，進而在嫻熟掌握舊問題的基礎(chǔ)上快速處理新問題.例如，在解決二次方程計算問題的過程中，教師可以利用降次法，指導(dǎo)學生將二次方程化歸為學生比較熟練掌握的一次方程；在解決三元一次方程組或二元一次方程組計算問題的過程中，教師可運用消元法，指導(dǎo)學生將方程組化歸為二元一次方程組或一元一次方程，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；在解決多邊形內(nèi)角和的計算問題過程中，教師可運用求三角形內(nèi)角和的方法，指導(dǎo)學生將多邊形拆分為多個三角形，進而進行內(nèi)角和的計算.新問題化歸為舊問題方法的優(yōu)勢在于拓寬學生解題的方法和思維，有利于學生提高解題效率和準確率.

3.一般問題與特殊問題的化歸

一般問題與特殊問題的化歸方法在數(shù)學教學方法中較為常見.一般問題與特殊問題的化歸方法可理解為，在解決數(shù)學問題中首先解決具有特殊性質(zhì)的問題，其次運用恰當?shù)姆椒?，將一般問題轉(zhuǎn)化能夠應(yīng)用于特殊情況的問題.在初中數(shù)學教材中，運用此方法解決問題的例題比比皆是.本研究以證明圓周角定理的例題為例，雖然證明情況分為三種，但是教師可以選擇最具有特殊性的情況先行證明，比如，首先，證明圓心在圓周角的一條邊時的定理能否成立；其次，對圓心角在內(nèi)部及外部的情況進行證明；最后，通過對證明的結(jié)果進行歸納整理后，提出結(jié)論.又如，選擇一正方形PQRS，其兩條對角線在Z點相交，但Z點同時也是另一正方形UVWZ的頂點之一，此外正方形PQRS與正方形UVWZ的邊長相等.與此同時，正方形UVWZ繞著Z點轉(zhuǎn)動，教師需要帶領(lǐng)學生一起對正方形PQRS與正方形UVWZ所重疊部分的面積進行詳細觀察，并觀察其變化情況，若有所變化，應(yīng)查找變化的原因；若未出現(xiàn)變化，則可求出重疊面積.根據(jù)題意和正方形面積，教師與學生可知正方形PQRS與正方形UVWZ所重疊的形狀不定，可能是四邊形或三角形，因而，在無形中增加了題目的難度.因此，教師在此題目的教學中應(yīng)對重疊位置的特殊情況加以考慮，在計算后可知，重疊位置的面積是正方形面積的四分之一.若證明出特殊情況的重疊面積與重疊部分的四邊形的面積相等，則此問題可以解決.對于此題目，割補法是最快、最有效的解題方法.

（二）化歸思想的具體應(yīng)用方法

1.夯實基礎(chǔ)知識

教師在教學中對化歸目標追求的前提一定是注重數(shù)學基礎(chǔ)知識的教學.數(shù)學基礎(chǔ)知識即數(shù)學問題的基本概念、基本公式、基本解題方法等.從另一種意義來講，初中數(shù)學最重要的教學問題就是向?qū)W生展示數(shù)學模型，并教會學生在解決數(shù)學問題中建立數(shù)學模型，并在解決實際問題的過程中靈活地轉(zhuǎn)化與化歸這些模型.學生在嫻熟掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識的前提下，對化歸方向的發(fā)現(xiàn)與把握自然也很輕松.因此，教師必須在教學過程中幫助學生建構(gòu)完整化的、系統(tǒng)化的數(shù)學知識體系[4].例如，在一個單元結(jié)束后，教師幫助學生建構(gòu)完整的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)圖，使學生對該單元產(chǎn)生比較系統(tǒng)性的認識.此外，教師應(yīng)在學生做題中，幫助學生積累做題經(jīng)驗，為日后做題打下基礎(chǔ).

2.建立化歸思想

在數(shù)學知識學習的過程中，許多數(shù)學知識具有較強的聯(lián)系，因此，教師可指導(dǎo)學生在做題的過程中充分運用這種知識的聯(lián)系，并轉(zhuǎn)化其中的問題，將問題化難為易，化整為零.在具體建立過程中應(yīng)將生活與教學相融合，使學生在生活中體會化歸思想，促進學生學習.

三、總 結(jié)

本次研究以化歸思想的初中數(shù)學教學應(yīng)用為研究視角，在綜合分析化歸思想與初中數(shù)學教學的基礎(chǔ)上，歸納具體應(yīng)用方法，包括：未知問題與已知問題的化歸，新問題與舊問題的化歸及一般問題與特殊問題的化歸.而關(guān)于這一問題還存有廣泛的研究空間，如化歸思想與其他數(shù)學思想在初中數(shù)學教學中的結(jié)合應(yīng)用，或化歸思想與其他數(shù)學思想的對比等.

【參考文獻】

[1]王燕榮，韓龍淑，屈俊.基于啟發(fā)式教學的數(shù)學思想教學設(shè)計——以“化歸思想”為例[J].教學與管理，2015（1）：57-59.

[2]胡先富.化歸思想在數(shù)學教學中的應(yīng)用[J].教學與管理，2015（27）：81-83.

[3]張玉娜.化歸思想在中學數(shù)學教學中應(yīng)用簡析[J].教育科學：全文版，2016（11）：132.

[4]夏雪峰.化歸思想在初中數(shù)學教學過程中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究：初中版，2015（8）：5.