“數(shù)學(xué)分析”課程中數(shù)列極限與函數(shù)極限的教學(xué)探索

肖黎明

【摘要】極限理論是“數(shù)學(xué)分析”課程的基礎(chǔ)，也是“數(shù)學(xué)分析”課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文根據(jù)作者多年講授“數(shù)學(xué)分析”課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)列極限的ε-N定義、函數(shù)極限的ε-M定義及ε-δ定義提出了自己的教學(xué)見解，愿與講授“數(shù)學(xué)分析”課程的其他教師分享彼此的教學(xué)體會(huì).

【關(guān)鍵詞】教學(xué)探索；數(shù)列極限的ε-N定義；函數(shù)極限的ε-M定義；函數(shù)極限的ε-δ定義

【基金項(xiàng)目】廣東技術(shù)師范學(xué)院校級(jí)教研課題（項(xiàng)目號(hào)：57202020244；57202020118）.

一、引 言

“數(shù)學(xué)分析”課程研究的對(duì)象是函數(shù)，所用的方法是極限的方法，極限理論自然成為“數(shù)學(xué)分析”課程的基礎(chǔ)，而數(shù)列極限的ε-N定義、函數(shù)極限的ε-M定義及ε-δ定義是學(xué)生學(xué)習(xí)極限理論必須學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是“數(shù)學(xué)分析”課程的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文將對(duì)數(shù)列極限的ε-N定義、函數(shù)極限的ε-M定義及ε-δ定義的教學(xué)做出相應(yīng)的教學(xué)探索，與大家分享自己多年的教學(xué)體會(huì).

數(shù)列極限的ε-N定義、函數(shù)極限的ε-M定義及ε-δ定義是“數(shù)學(xué)分析”課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是“數(shù)學(xué)分析”課程中的重要基礎(chǔ)，學(xué)生必須通過這一關(guān)才能更好地學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”課程中其他教學(xué)內(nèi)容.如何破解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列極限ε-N定義、函數(shù)極限的ε-M定義及ε-δ定義的困難是所有“數(shù)學(xué)分析”教師普遍關(guān)心的問題.下面首先對(duì)數(shù)列極限的ε-N定義的教學(xué)過程進(jìn)行詳細(xì)的研討，然后對(duì)函數(shù)極限的ε-M定義及ε-δ定義進(jìn)行討論.

二、數(shù)列極限ε-N定義的教學(xué)探索

（一）數(shù)列極限的描述性定義

考察數(shù)列1n，1+（-1）nn.對(duì)數(shù)列1n，由于當(dāng)n越來越大時(shí)，1n越來越小，因此，可以想象當(dāng)n→+∞時(shí)，1n的極限為0，即 limn→+∞1n=0.對(duì)數(shù)列1+（-1）nn，由于當(dāng)n越來越大時(shí)，（-1）nn的絕對(duì)值（-1）nn=1n越來越小，可以想象當(dāng)n→+∞時(shí)，數(shù)列（-1）nn的極限為0，因此，數(shù)列1+（-1）nn的極限為1.由上述兩個(gè)例子可引導(dǎo)出一般數(shù)列{an}當(dāng)n→+∞時(shí)以常數(shù)a為極限的描述性定義.

數(shù)列極限的描述性定義：如果當(dāng)n→+∞時(shí)，數(shù)列{an}越來越接近常數(shù)a，則稱常數(shù)a為數(shù)列{an}當(dāng)n→+∞時(shí)的極限.

（二）數(shù)列極限的精確定義

按照前面數(shù)列極限的描述性定義，當(dāng)n越來越大時(shí)，1+（-1）nn越來越接近于1，這句話只能意會(huì)，不能言傳，不是精確的數(shù)學(xué)定義.下面就如何從數(shù)列極限的描述性定義引導(dǎo)出數(shù)列極限的精確定義做進(jìn)一步的討論.

兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的接近程度可以用兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值|a-b|來度量，|a-b|越小，a與b就越接近.對(duì)數(shù)列1+（-1）nn來說，由于1+（-1）nn-1=（-1）nn=1n，當(dāng)n越大時(shí)，1n就越小，1+（-1）nn就越來越接近于1，只要n足夠大，1+（-1）nn-1=1n可小于事先任意給定的充分小的正數(shù)，如給定1100，欲使1n<1100，只要n>100，即從第101項(xiàng)起，能使不等式1+（-1）nn-1=1n<1100成立.同樣地，如果給定11 000，則從第1 001項(xiàng)起，能使不等式1+（-1）nn-1=1n<11 000成立.一般地，無論事先任意給定正數(shù)ε多么小，總存在著一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，不等式1+（-1）nn-1=1n<ε成立.這就是數(shù)列1+（-1）nn 當(dāng)n→∞時(shí)越來越接近于1的實(shí)質(zhì)，這時(shí)1稱為數(shù)列1+（-1）nn 當(dāng)n→∞時(shí)的極限.從上述討論過程可誘導(dǎo)出數(shù)列極限的下述精確定義.

數(shù)列極限的精確定義：

設(shè){an}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)c，對(duì)事先任意給定的正數(shù)ε（無論ε多么小），總存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，不等式|an-c|<ε都成立，則稱當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列{an}以常數(shù)c為極限.

（三）數(shù)列極限ε-N定義的幾何解釋

數(shù)列極限 limn→+∞an=c的精確定義為：ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an-c|<ε，即c-ε0，存在正整數(shù)N，數(shù)列{an}落在ε-鄰域（c-ε，c+ε）之外的項(xiàng)最多為N項(xiàng)（如圖1所示）.

圖1 數(shù)列極限ε-N定義的幾何解釋

由此可得出數(shù)列極限 limn→+∞an=c的幾何定義：如果數(shù)列{an}和常數(shù)c滿足：ε>0，存在正整數(shù)N，數(shù)列{an}落在ε-鄰域（c-ε，c+ε）之外的項(xiàng)最多為N項(xiàng)，即數(shù)列{an}從N+1項(xiàng)開始以后所有的項(xiàng)都落在ε-鄰域（c-ε，c+ε）之中，則稱數(shù)列{an}當(dāng)n→+∞時(shí)以常數(shù)c為極限.

（四）數(shù)列極限ε-N定義的否定形式

為加深理解數(shù)列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義，下面討論數(shù)列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義的否定形式.數(shù)列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義為：ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an-c|<ε.將數(shù)列極限 limn→+∞an=c的ε-N語言反過來表述就得到數(shù)列極限 limn→+∞an=c的ε-N定義的否定形式：ε>0，對(duì)任意正整數(shù)N，n>N，滿足|an-c|≥ε，則稱當(dāng)n→+∞時(shí)數(shù)列{an}不以常數(shù)c為極限.

在課堂教學(xué)中應(yīng)通過某些教學(xué)實(shí)例向?qū)W生進(jìn)一步解釋數(shù)列極限的否定形式.

（五）數(shù)列極限ε-N定義的應(yīng)用舉例

數(shù)列極限 limn→+∞an=c的精確定義或ε-N定義為：ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an-c|<ε.為學(xué)生易于理解，在應(yīng)用數(shù)列極限的ε-N定義討論具體數(shù)列極限問題時(shí)，常常是從不等式|an-c|<ε出發(fā)找N，先用分析法找出解決問題的思路，然后再用綜合法寫出整個(gè)證明過程，下面就用具體數(shù)列極限例子來說明這一點(diǎn).

例1 證明： limn→+∞3n2n2-3=3.

分析 由于3n2n2-3-3=9n2-3=9（n-3）（n+3），當(dāng)n≥3，n-3>1，3n2n2-3-3=9（n-3）（n+3）<9n+3<9n，ε>0，要3n2n2-3-3<ε，只需9n<ε，即n>9ε，從上面分析為了保證不等式n-3>1及n>9ε同時(shí)成立，取N=max9ε+1，3，于是用綜合法寫出整個(gè)證明過程如下：

ε>0，取N=max9ε+1，3，當(dāng)n>N時(shí)，3n2n2-3-3=9n2-3<9n<ε，因此，limn→+∞3n2n2-3=3.

注：例1中學(xué)生不易理解為何取N=max9ε+1，3，這時(shí)要注意給學(xué)生強(qiáng)調(diào)這樣取N的目的是為了保證不等式n-3>1及n>9ε同時(shí)成立.

例2 證明： limn→+∞nn=1.

分析 令αn=nn-1，則αn≥0，nn=1+αn，

n=（1+αn）n=1+nαn+n（n-1）2α2n+…≥n（n-1）2α2n.

由此得0≤αn≤2n-1，n≥2.

ε>0，要|nn-1|=|αn|=αn<ε，只需2n-1<ε，

即n>2ε2+1，

因此，應(yīng)取N=2ε2+1+1，由于N≥2，當(dāng)n>N時(shí)，自然成立n≥2，將上述分析過程用綜合法寫出來如下：

ε>0，取N=2ε2+1+1，當(dāng)n>N時(shí)，|nn-1|=αn≤2n-1<ε.由數(shù)列極限ε-N定義可得 limn→+∞nn=1.

注：例2中利用二項(xiàng)展開式找N的方法應(yīng)注意向?qū)W生解釋，“數(shù)學(xué)分析”課程中數(shù)列極限一類問題都可以用該方法進(jìn)行處理.

三、函數(shù)極限ε-M定義的教學(xué)探索

討論了數(shù)列極限ε-N定義之后，按教育心理學(xué)中知識(shí)遷移理論，應(yīng)接著討論函數(shù)極限的ε-M定義，之后再討論函數(shù)極限的ε-δ定義，這是因?yàn)閺臄?shù)列極限ε-N定義到函數(shù)極限ε-M定義是近遷移，從數(shù)列極限ε-N定義到函數(shù)極限ε-δ定義是遠(yuǎn)遷移，知識(shí)點(diǎn)之間近遷移容易，遠(yuǎn)遷移困難.

（一）函數(shù)極限ε-M定義的描述性定義

下面以函數(shù)極限 limx→+∞f（x）為例加以討論，對(duì)函數(shù)極限 limx→-∞f（x）及 limx→∞f（x）也可類似地進(jìn)行討論.考察函數(shù)f（x）=1x當(dāng)x→+∞的變化情況.當(dāng)x越來越大時(shí)，f（x）=1x就越來越小，可以想象當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）=1x的極限為0.由此例子可引導(dǎo)出函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)以常數(shù)A為極限的描述性定義：如果當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）越來越接近于常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)的極限.

（二）函數(shù)極限ε-M定義的精確定義

下面就如何從函數(shù)極限的描述性定義引導(dǎo)出函數(shù)極限的精確定義做進(jìn)一步討論.當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）=1x就越來越接近于0，只是一種描述性語言，不是精確的數(shù)學(xué)定義，這里，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）=1x越來越接近于0，可用數(shù)學(xué)語言來表述.如，要1x-0=1x<110，只要x>10就可做到，要1x-0=1x<1100，只要x>100就可做到.ε>0，一般要1x-0=1x<ε，只要x>1ε就可做到.這樣就有函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)以常數(shù)A為極限的精確定義：f（x）為一函數(shù)，A為一常數(shù)，如果ε>0，M>0，當(dāng)x>M時(shí)，|f（x）-A|<ε成立，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)以常數(shù)A為極限，記為 limx→+∞f（x）=A或f（x）→A（x→+∞）.

注1：函數(shù)極限精確定義中的可任意小的正數(shù)ε事先可任意給定，但給定就給定了（ε有相對(duì)穩(wěn)定性），ε是可任意小的正數(shù)，ε的作用在于控制函數(shù)f（x）與常數(shù)A之間的距離|f（x）-A|使其任意小，即使函數(shù)f（x）越來越接近于常數(shù)A.

注2：ε>0，要使不等式|f（x）-A|<ε成立，自變量x必須大于某一正數(shù)M，一般來說，ε越小，M就越大，M常記為M=M（ε）.但對(duì)ε>0，使不等式|f（x）-A|<ε成立的M并不唯一.

（三）函數(shù)極限ε-M定義的幾何解釋（幾何定義）

函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的精確定義為：ε>0，M>0，當(dāng)x>M時(shí)，|f（x）-A|<ε成立，即A-ε0，M>0，當(dāng)x>M時(shí)，函數(shù)y=f（x）的幾何圖像落在兩條直線y=A-ε與y=A+ε之間（如圖2所示）.

圖2 函數(shù)極限ε-M定義的幾何解釋

由此可得出函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的如下幾何定義：如果函數(shù)y=f（x）與常數(shù)A滿足ε>0，M>0，當(dāng)x>M時(shí)，函數(shù)y=f（x）的幾何圖像落在兩條直線y=A-ε與y=A+ε之間，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)以常數(shù)A為極限.

（四）函數(shù)極限ε-M定義的否定形式

為深刻理解函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定義，有必要討論函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的否定形式.函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定義為：ε>0，M>0，當(dāng)x>M時(shí)，成立|f（x）-A|<ε.將上述函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M語言反過來敘述就得到函數(shù)極限 limx→+∞f（x）=A的ε-M定義否定形式：ε>0，M>0，xM>M，滿足|f（xM）-A|≥ε，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x→+∞時(shí)不以常數(shù)A為極限.

在課堂教學(xué)中需進(jìn)一步用某些教學(xué)實(shí)例向?qū)W生解釋函數(shù)極限ε-M定義的否定形式.

（五）函數(shù)極限ε-M定義的應(yīng)用實(shí)例

例1 證明： limx→+∞1x=0.

分析 因x→+∞，可設(shè)x>0，ε>0，要不等式1x-0=1|x|=1x<ε成立，只需x>1ε.用函數(shù)極限的ε-M定義寫出證明過程如下：ε>0，取M=1ε，當(dāng)x>M時(shí)，1x-0=1|x|=1x<ε.因此， limx→+∞1x=0.

例2 證明： limx→+∞arctanx=π2

分析 ε>0，要不等式arctanx-π2<ε成立，即要不等式

π2-ε

成立，此不等式右半部分對(duì)任何x都成立，只要考察其左半部分x的變化范圍，因ε是事先任意給定的充分小正數(shù)，可限制ε<π2，從左邊不等式π2-ε

ε>0ε<π2，取M=tanπ2-ε，

當(dāng)x>M時(shí)，即x>tanπ2-ε，

arctanx>π2-ε，π2+ε>arctanx>π2-ε，

ε>arctanx-π2>-ε，

|arctanx-π2|<ε.

因此，limx→+∞arctanx=π2.

四、函數(shù)極限ε-δ定義的教學(xué)探索

（一）函數(shù)極限ε-δ定義的描述性定義

考察函數(shù)f（x）=2x在x=1附近的變化情況，這里f（1）=2.對(duì)ε=110，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<110，只需|x-1|<120；

對(duì)ε=1100，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<1100，只需|x-1|<1200；

對(duì)ε=11 000，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<11 000，只需|x-1|<12 000.

一般地，對(duì)事先任意給定的充分小正數(shù)ε，要|f（x）-f（1）|=|2x-2|=2|x-1|<ε，

只需|x-1|<ε2，即x越接近于1，f（x）=2x越接近于2.由此可引導(dǎo)出函數(shù)極限的ε-δ描述性定義：設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）越來越接近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限.

注：函數(shù)f（x）在x=x0處是否存在極限與函數(shù)f（x）在x=x0處是否有定義無關(guān).

（二）函數(shù)極限ε-δ定義的精確定義

仍考察函數(shù)f（x）=2x在x=1附近的變化情況，對(duì)ε=1100，當(dāng)自變量x滿足不等式|x-1|<1200時(shí)，不等式|2x-2|=2|x-1|<1100成立；對(duì)ε=11 000，

當(dāng)自變量x滿足不等式|x-1|<12 000時(shí)，不等式|2x-2|=2|x-1|<11 000成立.由此可引導(dǎo)出函數(shù)極限ε-δ定義的精確定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)y=f（x）與常數(shù)A滿足：ε>0，δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，|f（x）-A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限.

注：上述定義中不等式0<|x-x0|<δ意味著函數(shù)y=f（x）在x0處可以無定義，即函數(shù)f（x）在x=x0處是否存在極限與函數(shù)f（x）在x=x0處是否有定義無關(guān).

（三）函數(shù)極限ε-δ定義的幾何解釋（幾何定義）

函數(shù)極限 limx→x0f（x）=A的精確定義為：ε>0，δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，|f（x）-A|<ε.上述定義的幾何解釋為：ε>0，δ>0，當(dāng)x0-δ

圖3 函數(shù)極限ε-δ定義的幾何解釋

由此可得出函數(shù)極限 limx→x0f（x）=A的幾何定義：ε>0，δ>0，當(dāng)x0-δ

（四）函數(shù)極限ε-δ定義的否定形式

為深入理解函數(shù)極限 limx→x0f（x）=A的ε-δ定義，下面對(duì)函數(shù)極限ε-δ定義的否定形式加以討論.函數(shù)極限 limx→x0f（x）=A的ε-δ定義為：ε>0，δ>0，

當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，|f（x）-A|<ε.將函數(shù)極限ε-δ定義的以上表述形式反過來敘述就得到函數(shù)極限ε-δ定義的否定形式：如果函數(shù)y=f（x）與常數(shù)A滿足ε>0，δ>0，xδ滿足0<|xδ-x0|<δ，但是|f（xδ）-A|≥ε，則稱當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)y=f（x）不以常數(shù)A為極限.

（五）函數(shù)極限ε-δ定義的應(yīng)用舉例

例1 證明： limx→23x=6.

分析 ε>0，找正數(shù)δ=？當(dāng)0<|x-2|<δ時(shí)，|3x-6|<ε，即3|x-2|<ε，|x-2|<ε3.從上述分析過程應(yīng)取δ=ε3，用綜合法寫出證明過程如下：ε>0，取δ=ε3，當(dāng)0<|x-2|<δ時(shí)，|3x-6|=3|x-2|<ε.

因此， limx→23x=6.

例2 證明：limx→3x2=9.

分析 ε>0，找正數(shù)δ=？當(dāng)0<|x-3|<δ時(shí)，

|x2-9|=|（x-3）（x+3）|=|x-3||x+3|<ε.

為找上述δ，首先在以3為中心，1為半徑的鄰域內(nèi)考慮該問題，即限制|x-3|<1，從該不等式得到|x|-|3|≤|x-3|<1，由此不等式推出|x|<4（要使該不等式成立，x必須滿足|x-3|<1）.這時(shí)有|x2-9|=|x-3||x+3|≤|x-3|（|x|+3）<|x-3|（4+3）=7|x-3|，由7|x-3|<ε，得到|x-3|<ε7.為保證不等式|x-3|<1和|x-3|<ε7同時(shí)成立，應(yīng)取δ=min1，ε7，用綜合法寫出證明過程如下：ε>0，取δ=min1，ε7，當(dāng)0<|x-3|<δ時(shí)，

|x2-9|=|x-3||x+3|≤|x-3|（|x|+3）<|x-3|（4+3）=7|x-3|<ε.因此，limx→3x2=9.

注：在例2中，ε>0，為找合適的正數(shù)δ使當(dāng)0<|x-3|<δ時(shí)，|x2-9|<ε成立.

首先在以3為中心，1為半徑的鄰域內(nèi)考慮該問題，即限制|x-3|<1，從該不等式得到|x|-|3|≤|x-3|<1，由此不等式推出|x|<4，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)應(yīng)取δ=min1，ε7，例2的方法對(duì)應(yīng)用ε-δ定義討論一類函數(shù)極限問題具有一定代表性.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]高興佑，向長福.如何破解極限定義教學(xué)難題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（5）：96-99.