漫反射立方腔單次反射平均光程的理論和實(shí)驗(yàn)研究?

張?jiān)苿?劉如慧 汪梅婷 王允軒 李占勛 童凱

(燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院,秦皇島 066004)

1 引 言

氣體濃度監(jiān)測被廣泛應(yīng)用于環(huán)境保護(hù)、食品安全和醫(yī)學(xué)救助等領(lǐng)域.對(duì)SO2,NO,CO2等污染氣體的監(jiān)測,可實(shí)現(xiàn)對(duì)工業(yè)生產(chǎn)過程中排放污染物的監(jiān)測[1?3];微生物新陳代謝會(huì)產(chǎn)生CO2,因此可通過檢測CO2的濃度對(duì)食品是否變質(zhì)進(jìn)行判定[4];通過對(duì)人體呼出微量氣體的檢測來實(shí)現(xiàn)對(duì)心肺功能以及其他疾病的診斷[5,6].吸收光譜法因其具有高選擇性、抗干擾、高靈敏、非接觸性以及可實(shí)時(shí)在線監(jiān)測等優(yōu)點(diǎn),成為氣體監(jiān)測領(lǐng)域的主要監(jiān)測方法.使用吸收光譜法檢測氣體濃度時(shí),為了實(shí)現(xiàn)低濃度氣體的測量,需提高檢測系統(tǒng)的靈敏度.增加氣體有效光程作為提高氣體探測靈敏度最直接有效的方法,得到了廣泛的關(guān)注和研究.常用的增加氣體有效光程的方法有多通池、腔增強(qiáng)、多孔散射和積分球.其中,多通池和腔增強(qiáng)技術(shù)是通過增加光在樣品池內(nèi)的鏡面反射次數(shù)來增加有效光程的[7,8].多孔散射法由瑞典隆德大學(xué)Svanberg的研究小組[9]于2001年首次提出,是一種檢測多孔散射材料中氣體濃度的方法,光進(jìn)入散射材料后發(fā)生散射,實(shí)現(xiàn)了有效光程的增加.積分球是內(nèi)表面涂有高漫反射材料的球體,通過光在積分球內(nèi)的漫反射實(shí)現(xiàn)有效光程的增加.1996年,Tranchart等[10]首次將積分球作為氣體吸收池,用于可調(diào)諧二極管激光吸收光譜(tunable diode laser absorption spectroscopy,TDLAS)技術(shù)測量氣體濃度的實(shí)驗(yàn)中,并實(shí)現(xiàn)了丁烷和水蒸氣濃度的測量.將積分球作為氣體吸收池進(jìn)行氣體濃度測量,可以有效地避免鏡面反射易產(chǎn)生干涉條紋以及多孔散射材料噪聲大的缺點(diǎn)[11?13],但是積分球也存在著制作困難、價(jià)格昂貴、難于集成的問題.為了進(jìn)一步拓展漫反射腔在高靈敏氣體檢測中的應(yīng)用,在積分球的基礎(chǔ)上開展了漫反射立方腔的研究,通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)漫反射立方腔不僅具有積分球的優(yōu)點(diǎn),而且制作簡單、價(jià)格低廉、易于集成.

TDLAS是由Hinkley和Reid于20世紀(jì)80年代提出的,通過對(duì)具有很窄發(fā)射波段的二極管激光器的調(diào)諧,使其掃描過一個(gè)完整的待測氣體的吸收譜線,根據(jù)采集到的吸收光譜來確定待測氣體濃度[14,15].TDLAS技術(shù)具有很高的選擇性,只要選擇合適的吸收線即可有效地避免其他氣體的干擾[16?18].近年來,將漫反射立方腔作為氣體吸收池進(jìn)行氣體濃度檢測已有大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究,尤其是對(duì)漫反射立方腔的光程延長規(guī)律和氣體有效光程的研究方面[19].本文在增加有效光程實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上開展了漫反射立方腔內(nèi)的光線傳播規(guī)律的研究,利用有限元法對(duì)立方腔進(jìn)行分割,仿真得到了單次反射平均光程(single re fl ection average optical path length,Lave)的模擬值.將得到的模擬值與理論值和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了比較,發(fā)現(xiàn)三者具有很高的符合度,證明有限元法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)漫反射立方腔內(nèi)光線傳播規(guī)律的模擬.

2 漫反射立方腔單次反射平均光程的理論和模擬研究

基于腔內(nèi)光子傳輸方程,可得任意形狀的漫反射腔的單次反射平均光程[20,21]

其中,V為任意漫反射腔的體積,S為任意漫反射腔的表面積.

對(duì)于漫反射立方腔,其內(nèi)部形成的是均勻且穩(wěn)定的光場[22].假設(shè)漫反射立方腔內(nèi)壁的反射率接近于1,可以采用有限元法對(duì)腔內(nèi)的光線傳播規(guī)律進(jìn)行模擬,以獲得單次反射平均光程的模擬值.將立方腔內(nèi)表面分割為眾多小面元,令每個(gè)面元代表一個(gè)反射點(diǎn).兩個(gè)反射點(diǎn)之間的光程可以用空間坐標(biāo)中兩個(gè)反射點(diǎn)之間的線段長度來表示,則單次反射平均光程的模擬值Lave為

其中,Y為任一反射點(diǎn)與其他所有反射點(diǎn)之間線段的總長度,X為線段總個(gè)數(shù).

令立方腔的邊長為a,首先將立方腔的每個(gè)面分割成N×N個(gè)小面元,以立方腔底面ABCD的中心點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,如圖1所示.令點(diǎn)O為光射入立方腔后第一次發(fā)生漫反射的反射點(diǎn),經(jīng)點(diǎn)O反射到立方腔各個(gè)面上的概率并不同,通過求解點(diǎn)O與各個(gè)面之間的立體角來表示其概率.設(shè)點(diǎn)O反射到面EFGH的內(nèi)切圓O′的概率為α,如圖2所示,反射到面EFGH的概率為β,則反射到面EFGH除去其內(nèi)切圓O′部分的概率為β?α.可知反射到面ABCD的概率為1/2,所以反射到4個(gè)側(cè)面的概率和為1/2?β.假設(shè)P為底面ABCD上任意一點(diǎn),M為頂面DEGH上任意一點(diǎn),N為側(cè)面BCFG上任意一點(diǎn).令點(diǎn)O與內(nèi)切圓O′內(nèi)所有反射點(diǎn)之間的線段總長度為x0,線段OM的總和為x,線段ON的總和為y,線段OP的總和為y0,可得立方腔單次反射平均光程的模擬結(jié)果為

其中,α和β分別滿足

式中,?為點(diǎn)O到圓O′的立體角,?′為點(diǎn)O到面EFGH的立體角.由上述分析可得α=0.0528,β=0.0641.

圖1 漫反射立方腔理論模型示意圖Fig.1.Theoretical model of the diffuse cubic cavity.

圖2 頂面EFGH的內(nèi)切圓O′Fig.2.Inscribed circle of top surface EFGH.

以邊長為6 cm的立方腔為例,(3)式中N由1變化到2000,仿真可得不同N值時(shí)單次反射平均光程的模擬值,如圖3(a)所示.根據(jù)(1)式可知,邊長為6 cm的立方腔單次反射平均光程的理論值為4 cm.根據(jù)不同N值時(shí)的模擬值和理論值,可求得兩者之間的相對(duì)誤差值,如圖3(b)所示.由圖3可知,隨著N值的增大,單次反射平均光程的模擬結(jié)果無限趨近于理論值4.13 cm.當(dāng)N≥100時(shí),模擬值逐漸趨于穩(wěn)定,當(dāng)N≥1000時(shí),模擬值和理論值之間的相對(duì)誤差變化微小,穩(wěn)定在3.3%左右,在誤差允許的范圍內(nèi).說明利用有限元法對(duì)立方腔進(jìn)行模擬,所得單次反射平均光程模擬值與理論值符合得很好,具有很好的模擬效果.

令N=1000,立方腔邊長變化范圍為1—12 cm,邊長變化間隔為1 cm,可得不同邊長立方腔對(duì)應(yīng)的單次反射平均光程模擬值,同樣求得模擬值與理論值之間的相對(duì)誤差,如圖4所示.

圖3 邊長為6 cm的立方腔單次反射平均光程 (a)模擬值;(b)模擬值與理論值的相對(duì)誤差值Fig.3.(a)The simulation value,(b)the relative error with the theoretical value of the Laveof the cubic cavity with a side length of 6 cm.

由圖4(a)可知,不同邊長的立方腔與其對(duì)應(yīng)的單次反射平均光程的理論值和模擬值之間的連線均呈線性關(guān)系,而且兩條直線的偏差很小.從圖4(b)可以看出,隨著邊長的增大,相對(duì)誤差值逐漸趨于穩(wěn)定,在3.53%上下存在微小波動(dòng).立方腔的邊長從1 cm變化到12 cm,其單次反射平均光程的模擬值和相應(yīng)的理論值符合得都很好,兩者的相對(duì)誤差在3.53%處趨于穩(wěn)定,說明有限元法對(duì)不同邊長的立方腔都具有很好的模擬效果.對(duì)不同邊長立方腔單次反射平均光程的模擬值進(jìn)行線性擬合,擬合直線的方程為

圖4 不同邊長立方腔單次反射平均光程 (a)模擬值和理論值;(b)相對(duì)誤差值Fig.4.(a)The simulation values and the theoretical values,(b)their relative error of the Laveof the cubic cavities with different side length.

已知立方腔單次反射平均光程的理論公式為Lave=2/3a=0.67a,由此可知對(duì)模擬值擬合所得的直線與理論公式所對(duì)應(yīng)的直線符合得很好,再次證明了有限元法對(duì)漫反射立方腔內(nèi)光線傳播規(guī)律具有很好的模擬效果.

3 漫反射立方腔有效光程的實(shí)驗(yàn)研究

3.1 Beer-Lambert定律

光譜法測量氣體濃度的理論基礎(chǔ)為Beer-Lambert定律,它描述了一束光經(jīng)過一定長度的待測氣體后出射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)之間的關(guān)系,表達(dá)式為

式中I0(λ)為波長為λ的入射光強(qiáng),I(λ)為經(jīng)過氣體吸收后的出射光強(qiáng),ε為吸收截面,C為氣體濃度,L為光與氣體作用的長度,即有效光程(effective optical path length,Leff).由(6)式可得

式中A(λ)為吸光度.定義光學(xué)參量(optical parameter,OP)為吸收波段內(nèi)吸光度的求和,表示為

3.2 空氣中氧氣的定標(biāo)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證有限元模擬方法的準(zhǔn)確性,進(jìn)行了基于TDLAS的氧氣定標(biāo)實(shí)驗(yàn),分析了模擬值和實(shí)驗(yàn)值的符合程度.由于氧氣的吸收峰在760 nm附近,所以選擇波長為760 nm的VCSEL二極管激光器(laser components,single mode VCSEL 760 nm TO46)作為光源.二極管激光器的溫度和電流分別由溫度控制器(Thorlabs,ITC 510)和電流控制器(Thorlabs,LDC 200)控制,電流控制器的輸出范圍為0—20 mA,精度為1μA,溫度控制器的控溫精度為0.001°C.在電流控制器上加載一個(gè)頻率為20 Hz.振幅為200 mV的鋸齒波,對(duì)激光二極管的波長進(jìn)行調(diào)諧,使其可以掃描完整的氧氣吸收峰.圖5所示為定標(biāo)的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖.

圖5 TDLAS實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.5.Schematic diagram of experimental set-up for TDLAS.

圖6(a)所示為有效吸收光程為120 cm時(shí)氧氣的二次諧波信號(hào);圖6(b)為不同吸收光程下的二次諧波信號(hào).由圖6(b)可知,隨著吸收光程的增加,二次諧波信號(hào)的強(qiáng)度也隨之增大.根據(jù)(8)式可知,氣體濃度固定的條件下,氣體的有效光程Leff與光學(xué)參量OP之間存在線性關(guān)系.

通過求和法求得不同有效光程下對(duì)應(yīng)的OP值,對(duì)Leff和對(duì)應(yīng)的OP值進(jìn)行線性擬合,如圖7所示,得到了有效光程Leff與光學(xué)參量OP的關(guān)系式為:

圖6 (a)有效光程為120 cm的二次諧波信號(hào);(b)不同有效光程下的二次諧波信號(hào)Fig.6.(a)Second harmonic signal at Leffof 120 cm;(b)second harmonic signals at different Leff.

圖7 光學(xué)參量和有效光程的關(guān)系Fig.7.The relationship between OP and Leff.

3.3 漫反射立方腔有效吸收光程的測量

對(duì)于漫反射立方腔,直接測量其單次反射平均光程極其困難,根據(jù)TDLAS實(shí)驗(yàn)研究,單次反射平均光程Lave與有效光程Leff的關(guān)系為[23,24]

其中,ρ為漫反射涂層的反射率,f為立方腔的開孔比.若已知立方腔的有效光程,根據(jù)(10)式可得到其單次反射平均光程.

圖8(a)所示為漫反射立方腔測量氧氣濃度的TDLAS實(shí)驗(yàn)裝置示意圖,圖8(b)為實(shí)物圖,與定標(biāo)實(shí)驗(yàn)不同的是高漫反射立方腔為氣體吸收池.光線進(jìn)入立方腔內(nèi),在其內(nèi)表面發(fā)生漫反射,增加了有效光程,同時(shí)出射光強(qiáng)也變得很微弱,因此實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用光電倍增管(Zolix,PMTH-S1-CR131)作為探測裝置.分別對(duì)邊長為5,8,12 cm的3種立方腔進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究.對(duì)邊長為12 cm的立方腔而言,光學(xué)參量OP為121.15,代入(9)式可得有效光程Leff為162.43 cm.入射孔和出射孔均為直徑為2 mm的圓孔,板子連接處共有12個(gè)縫隙,每個(gè)縫隙大約寬0.03 cm,開孔比f為0.0051,漫反射率ρ為95%.根據(jù)(10)式可得,邊長為12 cm的漫反射立方腔的單次反射平均光程為8.71 cm.為了對(duì)比分析單次反射平均光程的理論值、模擬值和實(shí)驗(yàn)值之間的關(guān)系,分別求出理論值和模擬值之間的誤差Q1,模擬值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差Q2,以及理論值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差Q3,如圖9(b)所示.

圖8 漫反射立方腔測量氧氣濃度的TDLAS實(shí)驗(yàn)裝置 (a)示意圖;(b)實(shí)物圖Fig.8.(a)Schematic diagram;(b)photograph of the set-up of experimental set-up for oxygen measurement with a diffuse cubic cavity based on TDLAS.

圖9 邊長為5,8,12 cm的立方腔單次反射平均光程理論值、模擬值和實(shí)驗(yàn)值之間的(a)對(duì)比圖,(b)誤差圖Fig.9.(a)Comparison and(b)error between the theoretical value,the simulation value and the experimental value of the Laveof the cubic cavities with side length of 5 cm,8 cm and 12 cm.

由9(a)可以看出,無論是理論值、模擬值或?qū)嶒?yàn)值,單次反射平均光程與立方腔邊長之間呈線性關(guān)系.而且模擬值所對(duì)應(yīng)的連線位于理論值和實(shí)驗(yàn)值所對(duì)應(yīng)的連線的中間,與兩者的偏差都很小,說明模擬值與理論值和實(shí)驗(yàn)值符合得都很好,因此,可用模擬值替代實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行相關(guān)氣體腔特性分析.根據(jù)圖9(b)可知,對(duì)于不同邊長的立方腔而言,模擬值與理論值之間的誤差Q1最小,其次為模擬值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差Q2,最大的為實(shí)驗(yàn)值與理論值之間的誤差Q3,均在誤差允許范圍內(nèi),說明模擬值與理論值和實(shí)驗(yàn)值符合得都很好.有限元法對(duì)漫反射立方腔內(nèi)光線傳播規(guī)律的模擬達(dá)到了很好的效果,不僅為實(shí)驗(yàn)方法研究漫反射立方腔提供了一種理論支持,有助于公式的反演,而且可以為研究其他形狀腔體的光線傳播規(guī)律提供一種研究思路和方法,對(duì)漫反射腔的研究具有一定的參考價(jià)值.

4 結(jié) 論

基于對(duì)漫反射立方腔內(nèi)光線傳播規(guī)律的分析,利用有限元法仿真了漫反射立方腔內(nèi)的光線傳播,建立了單次反射平均光程與反射次數(shù)之間的關(guān)系.仿真結(jié)果表明,當(dāng)把立方腔內(nèi)每個(gè)表面分成1000×1000個(gè)以上的小面元時(shí),仿真得到的單次反射平均光程與理論計(jì)算的單次反射平均光程的誤差小于3.6%.對(duì)多種不同邊長的立方腔進(jìn)行模擬,發(fā)現(xiàn)不同邊長立方腔的模擬值與相應(yīng)理論值誤差波動(dòng)小于0.1%,說明有限元法對(duì)不同邊長的立方腔都具有很好的模擬效果.通過TDLAS技術(shù)對(duì)3種不同邊長的漫反射立方腔內(nèi)的氧氣吸收譜進(jìn)行采集,分別獲得了其對(duì)應(yīng)的有效光程,并利用有效光程計(jì)算得到了單次反射平均光程的實(shí)驗(yàn)值.對(duì)比了理論、仿真和實(shí)驗(yàn)獲得的單次反射平均光程,三者具有很好的一致性,表明對(duì)漫反射立方腔內(nèi)光線傳播規(guī)律的仿真研究對(duì)實(shí)驗(yàn)研究具有重要的參考價(jià)值,為以后開展任意形狀漫反射腔吸收光譜技術(shù)的研究提供了一種技術(shù)支撐.

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