多維溫度場(chǎng)對(duì)光纖環(huán)Shupe效應(yīng)誤差影響的理論分析?

卓超 杜建邦

(北京航天自動(dòng)控制研究所,宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100854)

1 引 言

光纖陀螺是利用多層光纖環(huán)中沿正反方向傳播光束的相位差來檢測(cè)相對(duì)慣性空間的轉(zhuǎn)動(dòng)[1].作為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心儀表,光纖陀螺測(cè)量精度目前已達(dá)到戰(zhàn)略級(jí)水平,引領(lǐng)了慣性技術(shù)的發(fā)展方向[2].然而,光纖環(huán)易與使用環(huán)境中多種物理量[3?6](濕度,電磁,氣壓,溫度)相互作用而導(dǎo)致精度下降的特點(diǎn)已成為制約其性能進(jìn)一步提高的瓶頸問題.因此,將環(huán)境變量對(duì)于光纖環(huán)的作用機(jī)理進(jìn)行建模與分析有助于定位關(guān)鍵誤差源并降低相關(guān)因素的影響.

在諸多影響因素中,溫度效應(yīng)作為影響光纖環(huán)性能的首要因素受到研究者的廣泛重視.Shupe[7]首先闡釋了瞬態(tài)溫度變化會(huì)引起光纖折射率改變并導(dǎo)致非互異性相移,從而造成陀螺零偏漂移的產(chǎn)生.其中一個(gè)重要推論是如果能嚴(yán)格保持溫變分布關(guān)于光纖長(zhǎng)度中點(diǎn)的對(duì)稱性,就可以消除Shupe效應(yīng)誤差.基于此,研究人員提出了以四極繞法為代表的多種光纖環(huán)繞制方法[8?10]并分析了瞬態(tài)溫度場(chǎng)對(duì)于不同繞線方式下陀螺零偏漂移的影響模式[11?14].文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)了沿光纖環(huán)徑向傳播的熱傳導(dǎo)模型,并與漂移相結(jié)合,揭示了熱源分別位于陀螺內(nèi)外部時(shí)引起不同零偏響應(yīng)的本質(zhì)原因.文獻(xiàn)[16]則進(jìn)一步考慮了四極繞法光纖環(huán)在徑向溫度梯度作用下非等長(zhǎng)繞線誤差并給出了非對(duì)稱長(zhǎng)度的辨識(shí)方法.從公開發(fā)表文獻(xiàn)來看,目前多數(shù)研究工作都是在只有徑向溫度變化的假設(shè)下開展,很少關(guān)注多維溫度場(chǎng)的情況,文獻(xiàn)[17]僅半定量討論了軸向溫變速率的影響.這對(duì)于Shupe效應(yīng)誤差機(jī)理的描述不夠完善,且很難適用于實(shí)際復(fù)雜的工作溫度條件.本文系統(tǒng)地推導(dǎo)了沿徑向、軸向與圓周方向溫度場(chǎng)引起四極繞法光纖陀螺零偏漂移的表達(dá)式,并分析了熱源空間分布對(duì)于溫度效應(yīng)誤差的影響,為導(dǎo)航儀表及系統(tǒng)的熱設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論基礎(chǔ)與工程指導(dǎo).

2 Shupe效應(yīng)誤差理論分析

2.1 光纖環(huán)零偏誤差模型

溫度變化會(huì)引起光纖環(huán)中沿正反方向傳播的兩束光產(chǎn)生附加相移而造成零偏漂移誤差?E,其表達(dá)式[15]為

式中,L為光纖長(zhǎng)度;T表示溫度;˙T為溫度的時(shí)間導(dǎo)數(shù),即溫變速率;n為光纖折射率;?n/?T為折射率溫度系數(shù);D為光纖環(huán)平均直徑.令

對(duì)等式右邊第二項(xiàng)做變量替換,令x=L?z,變換后將x再替換回z,有

(3)式適用于不同繞制類型的光纖環(huán),以下就四極繞法這一典型繞制形式展開針對(duì)性推導(dǎo).

圖1 四極繞法側(cè)視剖面圖Fig.1.Cross section of the quadrupole winding design.

四極繞法側(cè)視剖面示意圖見圖1.設(shè)光纖環(huán)沿軸向a的層數(shù)為M,所包含的四極單元(圖中細(xì)實(shí)線框內(nèi)的部分稱為一個(gè)四極單元)總數(shù)為N,故沿徑向r的光纖環(huán)總數(shù)為4N.將(1)式中積分限的下限z=0定義為光纖進(jìn)入端,它同時(shí)也是環(huán)中沿某方向傳播光線的起點(diǎn),這里不妨設(shè)為從徑向最外環(huán)光纖開始;相鄰倒數(shù)第二環(huán)的終點(diǎn)則作為上限z=L,記為輸出端.相應(yīng)靠近光纖進(jìn)出端的第一層稱為頂層,第M層則為底層.×狀圓圈表示z＜L/2部分的光纖,而點(diǎn)狀圓圈表示z＞L/2部分的光纖,由于兩部分光纖緊密排列,使得溫度效應(yīng)能夠相互抵消[18].由光纖進(jìn)入端自外徑向內(nèi)徑方向第k個(gè)四極單元所包含的光纖集合記為L(zhǎng)k(細(xì)實(shí)線方框內(nèi)),再將Lk分為兩部分Lk,1與Lk,2.Lk,1為L(zhǎng)k中z＜L/2部分光纖相比z＞L/2部分光纖更靠近外徑的光纖集合(粗實(shí)線方框內(nèi));Lk,2則正好相反(虛線方框內(nèi)).最后將Lk,1與Lk,2中z＜L/2的光纖與z＞L/2的光纖再分別用上標(biāo)“+”、“?”加以區(qū)分. 另一上標(biāo)“j”則表示針對(duì)第j層的相應(yīng)部分.

根據(jù)上述記法約定,ωE(t)可表示為

于是將(4)式改寫為

2.2 徑向與軸向溫度場(chǎng)情況

當(dāng)溫變速率˙T只是光纖環(huán)徑向距離r和軸向距離a的函數(shù)時(shí),由于是線積分,在(5)式中做變量代換,得

將(7)式代入(6)式,提出與積分無(wú)關(guān)的溫度變量,有

如果不考慮由于半徑變化所引起的各四極單元光纖環(huán)長(zhǎng)度變化,可以證明:

對(duì)j=1,2,···,M成立,同時(shí)S1＞S2＞···＞SM＞0.

綜合(8)和(9)式得到

可以看到,當(dāng)光纖環(huán)只受到徑向與軸向的瞬態(tài)溫變作用時(shí),溫度引起的四極繞法零偏誤差是光纖環(huán)各層外內(nèi)壁溫度時(shí)間導(dǎo)數(shù)之差的加權(quán)和,并且越靠近光纖進(jìn)出的頂層,其所占份額越大,且這種增大呈線性.頂層加權(quán)系數(shù)S1近似為底層SM的2M倍.(10)式的符號(hào)由起始點(diǎn)位置確定,若以最外環(huán)相鄰的倒數(shù)第二環(huán)起始點(diǎn)作為光纖進(jìn)入端,則需要反號(hào),零偏誤差將為各層內(nèi)外壁溫變速率之差的加權(quán)和.

當(dāng)溫度變化率只與徑向r有關(guān)時(shí),對(duì)任意j,有(10)式可化簡(jiǎn)為

式中,λ=(L/4N)2.此時(shí),Shupe效應(yīng)誤差只與光纖環(huán)外內(nèi)壁的溫度時(shí)間導(dǎo)數(shù)差值成正比.

2.3 圓周方向溫度場(chǎng)情況

進(jìn)一步分析當(dāng)圓周方向存在溫度變化時(shí),Shupe效應(yīng)誤差對(duì)零偏漂移的影響.四極繞線方式的俯視示意圖見圖2.其中,圖2(a)表示N個(gè)四極單元所組成的光纖環(huán).定義光纖環(huán)中沿順時(shí)針方向傳播的光線起點(diǎn)為光纖進(jìn)入端(最外環(huán)光纖起始端),圖中箭頭表示光的傳播方向.與側(cè)視圖1相同,×狀圓圈表示z＜L/2部分的光纖,而點(diǎn)狀圓圈表示z＞L/2部分光纖.P表示光纖長(zhǎng)度的中點(diǎn),即z=L/2的位置.光纖進(jìn)出端與長(zhǎng)度中點(diǎn)的連線稱為對(duì)稱中心線S(點(diǎn)劃線表示).S與靠近進(jìn)出端的交線記為SR,稱作近端交線;另一側(cè)交線記為SF,稱作遠(yuǎn)端交線.圖2(b)將N個(gè)四極單元簡(jiǎn)化為一個(gè),用于說明四極繞制方式.它其實(shí)是將中點(diǎn)P固定于骨架上,z＜L/2部分的光纖(粗實(shí)線表示)繞骨架逆時(shí)針纏繞,而z＞L/2部分的光纖(虛線表示)則順時(shí)針纏繞.這里的箭頭表示繞制的方向.四極繞線方式將造成光線傳播距離z(z＜L/2)與L?z(相距光纖輸出端距離為z)關(guān)于中心線S兩側(cè)對(duì)稱.

此時(shí)如果溫度變化在圓周方向(φ方向)也存在空間不均勻性,適用于徑向與軸向的(10)式在此情況下不能成立.原因是由于對(duì)稱線兩側(cè)等距離位置z與L?z在多數(shù)情況下相距較遠(yuǎn),無(wú)法形成徑向方向上的緊密相鄰,故(6)和(7)式不成立.這里利用(5)式,以

圖2 四極繞法俯視圖 (a)四極單元示意圖;(b)繞線方式示意圖Fig.2.Top view of the quadrupole winding:(a)Schematics of quadrupole sets;(b)schematics of the coiling pattern.

由圖2(a)可見,除靠近交線SR與SF的少部分區(qū)域,存在如下近似:

將(14)式代入(13)式,得到

圖3 對(duì)稱中心線兩側(cè)溫變分布對(duì)于零偏誤差的影響Fig.3.In fl uence of the thermal distribution in both sides of the symmetric centerline on the bias error.

上述公式的物理意義如圖3所示,誤差輸出是每一組四極單元中位于線S兩側(cè)對(duì)稱位置z(z＜L/2)與L?z處溫變速率空間差值的加權(quán)和,圖中箭頭表示兩位置溫變速率作差.加權(quán)系數(shù)為0,i=1,2. 對(duì)任意i,j,加權(quán)系數(shù)為z的線性減函數(shù),其上界為一匝線圈的長(zhǎng)度,下界為零.可以看到,圖中總是右半平面“+”部分光纖(z＜L/2)的溫變速率減去左半平面對(duì)稱位置“?”部分(z＞L/2)的溫變速率,因而當(dāng)不存在徑向與軸向溫度梯度時(shí),圓周方向的溫度不均勻仍然會(huì)產(chǎn)生Shupe效應(yīng)誤差.但如果此時(shí)不均勻關(guān)于中心線對(duì)稱,則可以消除由于周向溫度梯度引起的漂移誤差.當(dāng)徑向、軸向和圓周方向的空間溫度梯度耦合在一起時(shí),由于光纖環(huán)圓周方向相比于軸向和徑向跨越了更大的空間尺度,因而更易引起較大的溫度不均勻,且這部分誤差并不能夠像徑向誤差一樣被四極繞法所抵消,故可能成為零偏漂移的主要因素.因而利用結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和材料選取保證溫度分布關(guān)于線S的對(duì)稱性,將有助于減小Shupe效應(yīng)誤差的產(chǎn)生.

3 數(shù)值仿真與分析

鑒于空間溫度場(chǎng)的解析求解相對(duì)困難,這里采用有限元方法計(jì)算光纖環(huán)瞬態(tài)溫度場(chǎng),進(jìn)而獲得溫變速率,并結(jié)合Shupe效應(yīng)誤差方程以模擬零偏漂移的變化情況.以某型光纖陀螺為參考,采用135型光纖,設(shè)置光纖環(huán)幾何結(jié)構(gòu)為內(nèi)徑97 mm,外徑112 mm,高度12 mm,軸向?qū)訑?shù)M=89,徑向環(huán)數(shù)4N=56.光纖環(huán)材料參數(shù)列于表1[11,15].

表1 光纖環(huán)材料參數(shù)Table 1.Material parameters of the fi ber coil.

3.1 熱量沿徑向與軸向傳導(dǎo)時(shí)的仿真結(jié)果

在仿真沿光纖環(huán)徑向與軸向傳遞的熱量所引起的陀螺零偏誤差時(shí),為比較軸向溫變梯度對(duì)于漂移的影響,分別設(shè)置光纖環(huán)內(nèi)壁表面上半部分(其臨近光纖進(jìn)出端的頂層)與下半部分(臨近底層)存在功率為1.5 W的均勻熱源(圖4(a),(c)中的深色所示),其余表面設(shè)置為絕熱,光纖環(huán)初始溫度為20°C.兩種條件下,計(jì)算得到的溫度場(chǎng)分布(t=100 s時(shí))如圖4(b),(d)所示;零偏誤差隨時(shí)間的變化對(duì)比如圖5所示.

圖4 熱量沿徑向與軸向傳導(dǎo)時(shí)溫度場(chǎng)仿真結(jié)果 (a),(b)熱源位于內(nèi)壁上半部時(shí)光纖環(huán)示意圖及相應(yīng)t=100 s時(shí)的溫度分布圖;(c),(d)與(a),(b)類似,但熱源位于內(nèi)壁下半部Fig.4.Simulation results of the thermal fi eld when the heat propagates along radial and axial directions:(a),(b)Representation of the fi ber coil when the heat source is located at the upper half of the inner side and the corresponding temperature distribution at t=100 s;(c),(d)same as(a),(b)with heat source located at lower half.

圖5 熱源分別位于光纖環(huán)內(nèi)壁上下表面時(shí)零偏誤差對(duì)比Fig.5.Comparison of bias errors with heat sources located at upper and lower surfaces of the ring’s inner side respectively.

圖5中藍(lán)色實(shí)線為熱源位于內(nèi)壁表面上半部時(shí),陀螺漂移輸出;紅色虛線則為熱源位于內(nèi)壁表面下半部時(shí)相應(yīng)結(jié)果.可以看到,當(dāng)熱源更靠近光纖進(jìn)出端的頂層時(shí),所引起的零偏漂移大于熱源靠近底層的情形.因而應(yīng)在設(shè)計(jì)及使用中避免光纖陀螺進(jìn)出纖的頂面接近熱源.

3.2 熱量沿圓周方向傳導(dǎo)時(shí)的仿真結(jié)果

為討論圓周方向存在不均勻溫度場(chǎng)的情況,光纖環(huán)初始溫度同樣設(shè)置為20°C,內(nèi)外壁與上下表面采用絕熱邊界條件,再分兩種情況設(shè)置沿順時(shí)針方向與對(duì)稱中心線S成φ角的光纖環(huán)橫截面A1A2與B1B2的溫度邊界條件,參見圖6.

1)設(shè)置單截面A1A2為50°C恒溫邊界條件,稱作“單邊條件”;

2)設(shè)置雙截面A1A2與B1B2為50°C恒溫邊界條件,稱作“雙邊條件”.

圖6 圓周方向不均勻溫度場(chǎng)下光纖環(huán)幾何示意Fig.6.Geometry of the fi ber coil in the circumferentially nonuniform thermal fi eld.

如此設(shè)置是考慮到光纖環(huán)內(nèi)外直徑相差較小,通過改變橫截面與線S的夾角φ,并取環(huán)中心溫度代表周向溫度,就可以近似模擬不同周向溫度場(chǎng)在光纖環(huán)上的分布,仿真結(jié)果如圖7和圖8所示.

圖7 (a),(b),(c)圖示左邊為單邊條件下,t=100 s,500 s,1000 s時(shí)零偏誤差隨夾角φ的變化情況;右邊為對(duì)應(yīng)時(shí)刻φ=90?時(shí)光纖環(huán)溫度分布Fig.7.Left parts of(a),(b),(c)are bias errors as a function of angle φ at t=100 s,500 s,1000 s under single-sided condition;right parts are temperature distributions of the fi ber coil at corresponding time when φ =90?.

圖7中左邊三幅圖展示了“單邊條件”下,對(duì)應(yīng)t=100 s,500 s,1000 s時(shí),陀螺零偏誤差隨夾角φ的變化規(guī)律,其中紅色虛線與藍(lán)色實(shí)線分別為利用原始(1)式與近似(16)式的計(jì)算結(jié)果,兩者幾乎重合,說明了推導(dǎo)公式的合理與正確性;右邊三幅則為相應(yīng)時(shí)刻,當(dāng)φ=90°時(shí),光纖環(huán)的溫度分布.從左邊三幅圖中可以看到周向溫變梯度引起了較大的漂移輸出,并且誤差曲線存在兩個(gè)零點(diǎn),分別對(duì)應(yīng)φ=0°與φ=180°,這恰好為周向溫度不均勻(橫截面A1A2的位置)構(gòu)成了關(guān)于線S的對(duì)稱條件.

圖8 (a),(b),(c)圖示左邊為雙邊條件下,t=100 s,500 s,1000 s時(shí)零偏誤差隨夾角φ的變化情況;右邊為對(duì)應(yīng)時(shí)刻φ=90?時(shí)光纖環(huán)溫度分布Fig.8.Left parts of(a),(b),(c)are bias errors as a function of angle φ at t=100 s,500 s,1000 s under dual-sided condition;right parts are temperature distributions of the fi ber coil at corresponding time when φ =90?.

當(dāng)φ＜180°時(shí),誤差輸出為正,這是由于正向溫度不均勻位于S右半平面,因而0,結(jié)合非負(fù)的加權(quán)系數(shù)使得積分(16)式為正.當(dāng)φ ＞180°時(shí),相應(yīng)因而輸出為負(fù).還可以觀察到:當(dāng)φ＜180°時(shí),誤差輸出經(jīng)歷了快速增大,再緩慢下降的過程;φ＞180°時(shí),情況則正好相反.同時(shí)隨著時(shí)間延長(zhǎng),光纖環(huán)溫度逐漸升高,溫變的不均勻區(qū)域相應(yīng)擴(kuò)大,極值點(diǎn)出現(xiàn)的位置偏離光纖進(jìn)出端的角度增大,但兩個(gè)極值點(diǎn)都大約出現(xiàn)在溫度不均勻全部離開近端交線SR的位置.上述現(xiàn)象是因?yàn)殡S著橫截面A1A2順時(shí)針旋轉(zhuǎn),從φ=0°的位置偏離光纖進(jìn)出端,將破壞左右平面的對(duì)稱性,使得快速增大,當(dāng)不均勻基本移出SR時(shí),誤差輸出將達(dá)到最大值,此后加權(quán)項(xiàng)開始起到主導(dǎo)作用,隨著角度φ的繼續(xù)增大,加權(quán)項(xiàng)的線性減小將造成輸出誤差的線性減小.當(dāng)φ＞180°時(shí)則經(jīng)歷了相反的過程.因此,在光纖陀螺的熱設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量保證周向溫度不均勻關(guān)于中心線對(duì)稱,同時(shí)還應(yīng)讓不均勻的位置盡量遠(yuǎn)離光纖進(jìn)出端而分布在靠近遠(yuǎn)端交線SF的位置.這樣不但能夠減小誤差輸出,還有助于降低漂移隨角度φ變化的敏感性.

圖8為“雙邊條件”下的仿真結(jié)果.類比于單邊情況,圓周方向瞬態(tài)溫度分布在φ=0°,φ=90°,φ=180°和φ=270°存在四個(gè)位置關(guān)于線S對(duì)稱,故在相應(yīng)夾角處陀螺漂移輸出存在四個(gè)零點(diǎn).當(dāng)φ偏離0°與180°時(shí),零偏漂移的絕對(duì)值將迅速增大,這是由于在這兩個(gè)位置,都存在一個(gè)溫度不均勻(截面A1A2或B1B2)位于光纖進(jìn)出端附近.而在φ=90°和φ=270°時(shí),主要的不均勻位置都等距分布在距離進(jìn)出端±90°處,而相距其較遠(yuǎn).

進(jìn)一步考慮徑向與周向溫度梯度耦合的情形,這也更接近于實(shí)際的工作環(huán)境.為減小計(jì)算量,不考慮軸向溫變的影響.在光纖環(huán)內(nèi)壁對(duì)應(yīng)環(huán)心O的圓心角為30°范圍內(nèi)放置熱源,相應(yīng)功率設(shè)為0.5 W.光纖環(huán)初始溫度為20°C,其余表面為絕熱邊界.陀螺零偏誤差隨夾角φ的變化及t=100 s時(shí),對(duì)應(yīng)溫度分布如圖9所示.可以看到,即使存在徑向與周向耦合,由于圓周方向的溫度不均勻相比徑向跨越了更大的空間尺度而起到主導(dǎo)作用,故誤差輸出結(jié)果與上述單邊條件相類似.

圖9 徑向與周向溫度梯度耦合條件下,零偏誤差隨夾角φ的變化(左)及t=100 s,φ=45?時(shí)相應(yīng)溫度分布(右)Fig.9.Bias error versus angle φ with the coupling of thermal gradients in radial and circumferential directions(left)and temperature distribution at t=100 s,when φ =45? (right).

4 結(jié) 論

通過本文的理論分析與仿真驗(yàn)證,得到多維溫度場(chǎng)對(duì)光纖環(huán)Shupe效應(yīng)影響的主要結(jié)論如下.

1)當(dāng)只存在沿徑向與軸向的環(huán)境溫變作用時(shí),零偏誤差正比于光纖環(huán)各層外內(nèi)壁溫度時(shí)間導(dǎo)數(shù)之差的加權(quán)和,并且所占份額將隨著其接近光纖進(jìn)出的頂層而線性增大.仿真結(jié)果表明熱源位于光纖環(huán)內(nèi)壁上表面時(shí)所引起零偏誤差最大值是熱源位于下表面的3倍.因此應(yīng)盡量避免熱源靠近進(jìn)出光纖的陀螺頂面區(qū)域.

2)當(dāng)圓周方向的溫變空間分布關(guān)于光纖進(jìn)出端與長(zhǎng)度中點(diǎn)連線對(duì)稱時(shí),可以消除其所引起的漂移誤差.同時(shí)應(yīng)盡量使溫度不均勻的位置遠(yuǎn)離光纖進(jìn)出端而分布在遠(yuǎn)端交線附近,這將有助于減小漂移的產(chǎn)生并降低隨角度變化的敏感性.

對(duì)于實(shí)際光纖慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)而言,可以首先通過整機(jī)的熱仿真預(yù)先確定光纖環(huán)上溫度梯度的產(chǎn)生位置,之后利用其結(jié)構(gòu)上的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,調(diào)整安裝指向或直接改變光纖進(jìn)出端的位置,使得進(jìn)出端遠(yuǎn)離溫度不均勻區(qū)域,并結(jié)合溫度場(chǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)使其盡量關(guān)于中心線成對(duì)稱分布.當(dāng)需要對(duì)光纖陀螺的溫度漂移進(jìn)行建模補(bǔ)償時(shí),為了更好地獲得輸出信號(hào)與溫度的相關(guān)性,測(cè)溫點(diǎn)的布置可以重點(diǎn)關(guān)注進(jìn)出光纖的頂層與靠近光纖進(jìn)出端的附近區(qū)域.

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