基于高速列車(chē)轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)的數(shù)值模型修正

楊丹丹，郭勤濤,，張令彌，李海濤，陶言和

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2. 中車(chē)青島四方機(jī)車(chē)車(chē)輛股份有限公司，山東 青島 266111；3. 南京杰弗科機(jī)械技術(shù)有限公司，江蘇 南京 210007)

0 引言

在機(jī)車(chē)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中，轉(zhuǎn)向架等復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)車(chē)體、懸架以及整車(chē)的動(dòng)力學(xué)特性具有重要的影響。有限元模型修正技術(shù)[1-2]基于試驗(yàn)結(jié)果對(duì)有限元仿真模型進(jìn)行調(diào)整，縮小仿真和試驗(yàn)對(duì)應(yīng)響應(yīng)之間的誤差，已達(dá)到提高有限元仿真模型的可行度的目的，現(xiàn)已在機(jī)械、土木及航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。模態(tài)試驗(yàn)[3]和修正方法[4-5]是有限元模型修正的兩個(gè)主要方面?；阱N擊法的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是最為常用的方法，通過(guò)如頻響函數(shù)交叉檢驗(yàn)、頻響曲線(xiàn)擬合等可以準(zhǔn)確辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率、頻響函數(shù)等重要的結(jié)構(gòu)特性。大量的學(xué)者也對(duì)修正方法做了研究，主要包括基于靈敏度分析的方法、傳統(tǒng)優(yōu)化算法以及智能優(yōu)化算法。本文建立了轉(zhuǎn)向架的預(yù)修正模型，在錘擊法模態(tài)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，采用靈敏度分析方法對(duì)機(jī)車(chē)轉(zhuǎn)向架模型中的參數(shù)進(jìn)行了修正。

1 有限元模型修正技術(shù)的基本理論

基于模態(tài)特征值或模態(tài)特征向量的靈敏度分析[6]是解決大自由度結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正的主要方法。該方法的基本理論發(fā)展成熟，主要的步驟和公式如下。

已知結(jié)構(gòu)的有限元模型共有n個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，其中前m個(gè)為待修正的參數(shù)，則設(shè)計(jì)參數(shù)可以表示為：

(1)

則結(jié)構(gòu)的總體剛度陣和質(zhì)量陣可以用設(shè)計(jì)參數(shù)P的函數(shù)表達(dá)：

K=fK(p)，M=fM(p)

(2)

則對(duì)應(yīng)的特征量可以表示為設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)：

f=F(K,M)=F(fK(p),fM(p))=fp(p)

(3)

其中：f可以是任意的特征量，如模態(tài)頻率、模態(tài)振型等，或者它們之間的組合。模型修正問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

其中fe和fp(p)分別代表結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的實(shí)驗(yàn)值與分析值；R(p)稱(chēng)之為誤差項(xiàng)；VLB、VUB分布代表結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)變化的上下限；Wf代表結(jié)構(gòu)各個(gè)特征量之間的加權(quán)矩陣。

通常情況下，fp(p)為制定設(shè)計(jì)參數(shù)的非線(xiàn)性函數(shù)。為將非線(xiàn)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性問(wèn)題，在初始設(shè)計(jì)點(diǎn)將fp(p)展開(kāi)成待修正參數(shù)的一階泰勒表達(dá)式：

fp(p)=fp(p0)+SΔp

(5)

其中：p0是設(shè)計(jì)參數(shù)初始時(shí)的值。

(6)

式中的S代表特征量對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度矩陣，Δp=p-p0代表設(shè)計(jì)參數(shù)的誤差。

特征值對(duì)參數(shù)的靈敏度如式(7)所示：

(7)

(8)

使用拉格朗日乘數(shù)法將極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線(xiàn)性問(wèn)題，如式(9)所示：

WfSΔp=Wf(fe-fp(p0))

(9)

式(9)是一種常見(jiàn)的模型修正方程，且是一個(gè)迭代優(yōu)化的過(guò)程，一般情況下可以得到合適的結(jié)果。當(dāng)加權(quán)矩陣和靈敏度矩陣的條件數(shù)較少時(shí)，需要對(duì)式(9)進(jìn)行正則化。當(dāng)參數(shù)的數(shù)目較大時(shí)，需要使用優(yōu)化的搜索方法。本文采用SQP(sequential quadratic programming)的方法搜索置信區(qū)間。

2 組件及半轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)的修正

轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是高速列車(chē)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵。轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)的精確建模在其振動(dòng)響應(yīng)加速度分析、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度改善等方面至關(guān)重要。根據(jù)高速列車(chē)轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特點(diǎn)，可以將整個(gè)系統(tǒng)分為3個(gè)部分，其中包括輪對(duì)子結(jié)構(gòu)(下部支撐)、構(gòu)架子結(jié)構(gòu)以及由剛性質(zhì)量塊模擬的車(chē)體。為了獲得高精度的模型，需要依次對(duì)構(gòu)架、輪對(duì)的子結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行修正，然后對(duì)整備狀態(tài)下的轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)(含模擬的車(chē)體)進(jìn)行修正。

2.1 構(gòu)架子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正

圖1為構(gòu)架[8]總體的有限元模型圖。其中空氣彈簧支撐梁、側(cè)梁、橫梁、齒輪箱吊座、制動(dòng)盤(pán)吊座、橫梁連接梁采用板單元建模，電機(jī)、電機(jī)吊座采用四面體單元建模，構(gòu)架上導(dǎo)管、電機(jī)與電機(jī)吊座之間的螺栓連接采用梁?jiǎn)卧！?/p>

圖1 構(gòu)架總體有限元模型圖

電機(jī)下端與電機(jī)吊座之間螺栓連接的局部放大圖如圖2所示。

圖2 電機(jī)下端與電機(jī)吊座之間螺栓連接局部放大圖

對(duì)上述有限元模型采用模態(tài)分析模塊的Lanczos方法提取特征值和特征向量。通過(guò)試驗(yàn)獲取構(gòu)架的模態(tài)，以試驗(yàn)測(cè)試的1～12階結(jié)構(gòu)模態(tài)為基準(zhǔn)，選擇有限元模型中的1～20階結(jié)構(gòu)模態(tài)與其匹配。在匹配過(guò)程中，取x，y，z3個(gè)方向的平動(dòng)自由度，選取了34個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行MAC計(jì)算，其中x向?yàn)檐?chē)長(zhǎng)方向，y向?yàn)檐?chē)寬方向，z向?yàn)檐?chē)體豎直方向，下文中提到的方向與此處一致。初始的MAC匹配結(jié)果如圖3所示。

圖3 構(gòu)架MAC匹配三維柱狀圖(修正前)

前3階主要模態(tài)振型圖如圖4-圖6所示，其中內(nèi)部紅色線(xiàn)條為試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，藍(lán)色框架為有限元模型(因本刊為黑白印刷，插圖中有色部分，可咨詢(xún)作者，下同)。

圖4 計(jì)算與試驗(yàn)振型匹配圖1

圖5 計(jì)算與試驗(yàn)振型匹配圖2

圖6 計(jì)算與試驗(yàn)振型匹配圖3

從圖4-圖6中可以看出，計(jì)算仿真與試驗(yàn)的振型變化一致。

根據(jù)MAC匹配順序，選擇試驗(yàn)的9階模態(tài)頻率作為修正目標(biāo)。通過(guò)工程經(jīng)驗(yàn)及嘗試選取了9個(gè)參數(shù)，采用QP優(yōu)化方法進(jìn)行迭代，迭代步長(zhǎng)為0.02，迭代18步。各階頻率對(duì)9個(gè)參數(shù)的靈敏度柱狀圖如圖7所示。

圖7 9階模態(tài)頻率對(duì)9個(gè)修正參數(shù)的靈敏度柱狀圖

表1列出了構(gòu)架模型修正參數(shù)的名稱(chēng)及修正前后參數(shù)的變化，參數(shù)的修正范圍由工程經(jīng)驗(yàn)及材料的屬性聯(lián)合確定。

表1 構(gòu)架修正參數(shù)的選擇及修正前后參數(shù)值的變化

將修正后的模態(tài)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)修正降低了仿真計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果之間的誤差，修正效果較好。修正過(guò)程中的頻率誤差變化曲線(xiàn)如圖8所示，MAC值變化曲線(xiàn)如圖9所示，修正前后3階主要模態(tài)的頻率誤差和MAC值如表2所示。

圖8 修正過(guò)程中的頻率誤差變化曲線(xiàn)圖

圖9 修正過(guò)程中的MAC值變化曲線(xiàn)圖

表2 構(gòu)架模型修正前后3階主要模態(tài)頻率誤差和MAC值

從表2中可以看出，構(gòu)架模型修正后的頻率誤差由9.57%降至3.90%，修正效果較好，且修正后的MAC均值為0.91，比修正前的MAC略有提高，修正降低了仿真與試驗(yàn)之間的誤差。

2.2 輪對(duì)子結(jié)構(gòu)的有限元模型修正

采用商用有限元軟件對(duì)輪對(duì)幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到的輪對(duì)有限元模型包含34 819個(gè)節(jié)點(diǎn)和22 948個(gè)單元，多數(shù)是六面體單元，計(jì)算精度較高，輪對(duì)有限元模型示意圖如圖10所示。為了獲得與試驗(yàn)結(jié)果相一致的模型，軸承、齒輪軸和軸箱的參振質(zhì)量以集中質(zhì)量的形式添加，如圖11所示。采用BUSH單元描述車(chē)輪和制動(dòng)盤(pán)之間的螺栓連接，同時(shí)將BUSH單元的剛度作為待修正參數(shù)?？紤]到輪盤(pán)外輪、輪轂內(nèi)部和彈性軸等所采用的材料的差異以及模型簡(jiǎn)化造成的誤差，將這3部分的材料屬性定義為3種不同的材料參數(shù)。

圖10 輪對(duì)有限元模型示意圖

圖11 集中質(zhì)量的局部放大圖

對(duì)輪對(duì)有限元模型進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，同樣與試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行振型相關(guān)分析。以試驗(yàn)測(cè)試的1～8階結(jié)構(gòu)模態(tài)為基準(zhǔn)，選擇有限元模型的1～20階結(jié)構(gòu)模態(tài)與其匹配。在匹配過(guò)程中，取x，y，z3個(gè)方向的平動(dòng)自由度，選取了34個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行MAC計(jì)算，初始的MAC匹配結(jié)果如圖12所示。

圖12 輪對(duì)MAC匹配三維柱狀圖(修正前)

輪對(duì)前3階主要模態(tài)振型圖如圖13-圖15所示，其中內(nèi)部紅色線(xiàn)條為試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，藍(lán)色框架為有限元模型。

圖13 計(jì)算與試驗(yàn)振型匹配圖1

圖14 計(jì)算與試驗(yàn)振型匹配圖2

圖15 計(jì)算與試驗(yàn)振型匹配圖2

輪對(duì)有限元模型的修正思路與構(gòu)架一致，以試驗(yàn)的7階模態(tài)頻率作為修正目標(biāo)，通過(guò)工程經(jīng)驗(yàn)及靈敏度分析計(jì)算選取了6組待修正參數(shù)，采用QP優(yōu)化方法進(jìn)行迭代。

迭代結(jié)束后各階頻率誤差及MAC值均取得了較好的結(jié)果，迭代過(guò)程此處不再一一贅述。取模型修正前后3階主要模態(tài)的頻率誤差和MAC值列入表3中。

表3 輪對(duì)模型修正前后3階主要模態(tài)頻率誤差及MAC值

從表3中可以看出輪對(duì)結(jié)構(gòu)的初始有限元模型有著較高的精度，頻率誤差的絕對(duì)值均值為10.17%，MAC均值為0.86。修正后的輪對(duì)有限元模型中，頻率誤差的絕對(duì)值均值降到3.87%，MAC數(shù)值有所提高。

3 模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型修正

基于修正后的構(gòu)架與輪對(duì)模型，及連接組件的剛度參數(shù)初值，建立轉(zhuǎn)向架有限元模型，如圖16所示。在此前提下模擬車(chē)體質(zhì)量，建立的模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型如圖17所示，該模型共119 994個(gè)節(jié)點(diǎn)，116 262個(gè)單元。模擬車(chē)體質(zhì)量32t，轉(zhuǎn)向架質(zhì)量7t。其中軸箱垂向減震器、軸箱定位節(jié)點(diǎn)、空氣彈簧等都采用BUSH單元進(jìn)行模擬[9]。

圖16 轉(zhuǎn)向架有限元模型圖

圖17 模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型圖

基于商用有限元軟件，將輪對(duì)固定后的模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，提取特征值，初始有限元模型計(jì)算的前3階模態(tài)結(jié)果如圖18-圖20所示。

圖18 構(gòu)架浮沉(剛體模態(tài))

圖19 構(gòu)架側(cè)移(剛體模態(tài))

圖20 構(gòu)架點(diǎn)頭(剛體模態(tài))

以試驗(yàn)測(cè)試的1～6階模態(tài)為基準(zhǔn)(包含3階剛體模態(tài)及3階結(jié)構(gòu)模態(tài))，選擇有限元模型中的1～10階模態(tài)與其進(jìn)行MAC匹配。在匹配過(guò)程中，取x，y，z3個(gè)方向的平動(dòng)自由度，選取了16個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行MAC計(jì)算，初始的MAC匹配結(jié)果如圖21所示。

選擇試驗(yàn)的6階模態(tài)頻率作為修正目標(biāo)，通過(guò)工程經(jīng)驗(yàn)及嘗試先選取了12個(gè)參數(shù)，此時(shí)一般選為連接參數(shù)[10]，各階頻率對(duì)12個(gè)參數(shù)的靈敏度柱狀圖如圖22所示。

圖21 轉(zhuǎn)向架MAC匹配三維柱狀圖(修正前)

圖22 各階頻率對(duì)12個(gè)參數(shù)的靈敏度柱狀圖

考慮到修正參數(shù)的實(shí)際物理意義，最終將參數(shù)篩選合并后分為6組，采用QP優(yōu)化方法進(jìn)行迭代，迭代步長(zhǎng)為0.02，迭代50步。修正參數(shù)的名稱(chēng)及修正前后參數(shù)的變化如表4所示。。

表4 修正參數(shù)的選擇及修正前后參數(shù)值的變化

將修正后的模態(tài)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)修正降低了仿真計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果之間的誤差，修正效果較好。將主要關(guān)注的3階剛體模態(tài)修正前后的模態(tài)頻率誤差及MAC值匯入表5中。

表5 轉(zhuǎn)向架模型修正前后3階剛體模態(tài)頻率誤差及MAC值

從表5中可以看出前3階剛性模態(tài)頻率誤差修正后顯著降低，修正后最大的頻率誤差絕對(duì)值由10.88%降至4.48%，頻率絕對(duì)值均值也由5.98%降至1.63%，MAC數(shù)值變化不大，但MAC均值偏低。總體結(jié)果滿(mǎn)足模型修正的目的。

4 結(jié)語(yǔ)

本文利用模型修正的方法，對(duì)構(gòu)架、輪對(duì)、連接部件的剛度參數(shù)等子結(jié)構(gòu)部件進(jìn)行修正，將修正后的子結(jié)構(gòu)模型組合最終得到了與實(shí)際物理模型相似度較高的模擬整備轉(zhuǎn)向架有限元模型，在此研究基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步展開(kāi)軌道車(chē)輛整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型的修正與確認(rèn)工作，進(jìn)而進(jìn)行整車(chē)動(dòng)力學(xué)特性的分析計(jì)算。

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