算法思想和方法的西傳及對近代微積分的影響

蔣 謙

(湖北省社會科學院哲學所,湖北 武漢 430077)

一、引言

在以往的觀點中,通常認為近代微積分的產(chǎn)生得益于工業(yè)革命和資本主義生產(chǎn)方式的發(fā)展以及求解實際問題的需要。這自然是有道理的,但是并不全面。這樣的觀點忽視了思想文化的獨特性,忽視了歷史上不同文化之間的相互影響作用,包括非西方的科學思想文化對近代微積分所產(chǎn)生的積極影響。對此,一些學者已有所認識。我國著名數(shù)學家吳文俊先生早在20世紀70年代中期就指出:“到西歐17世紀以后才出現(xiàn)的解析幾何與微積分,乃是通向所謂近代數(shù)學的主要的兩大創(chuàng)造,一般認為這些創(chuàng)造純粹是西歐數(shù)學的成就。但是中國的古代數(shù)學決不是不起著重大作用(甚至還是決定性的作用)的?！盵1](P6)他甚至斷言:“微積分的發(fā)明乃是中國式數(shù)學戰(zhàn)勝了希臘數(shù)學的產(chǎn)物。”[1](P8)但客觀上講,吳文俊先生的觀點似乎在學界并沒有引起足夠的重視,相關(guān)的研究并沒有全面展開。特別是中國式數(shù)學到底有哪些本質(zhì)特征,到底是它的哪些方面并以什么樣的方式對近代微積分的形成產(chǎn)生了決定性的影響,而這種數(shù)學又是怎樣或通過什么途徑傳播到西方并被西方所接納的,等等,這些都是需要進行深入研究的。在本文中,筆者未有宏大之構(gòu)想,僅嘗試將中國古典數(shù)學納入到包括印度、阿拉伯數(shù)學在內(nèi)的東方數(shù)學“板塊”當中,從東方數(shù)學(包括處理微積分問題)的基本特性入手,在梳理東方數(shù)學(文化)西傳歐洲的基本脈絡(luò)的基礎(chǔ)上,重點探討東方算法思想和方法對近代微積分理論形成的某些影響,從而論證恩格斯關(guān)于微積分的發(fā)明是“人類精神的卓越勝利”這一基本判斷[2](P158)。

二、東方算法數(shù)學處理微積分問題方面的獨特性

提起古代巴比倫、印度、中國的數(shù)學,人們普遍認為,它們的一個顯著特征就是長于數(shù)量的計算。早在古巴比倫時期,“巴比倫人用一種位數(shù)權(quán)值體系的重要技巧,對所有的數(shù)、包括整數(shù)和分數(shù)進行運算。他們開創(chuàng)了非常方便的六十進制,我們在度、分、秒的角度計量和時間劃分上仍然保持來自他們的傳統(tǒng)”[3]。印度的數(shù)學同樣表現(xiàn)在算術(shù)計算方面。他們稱數(shù)學為ganita,意思就是“(計)算(科)學”。公元5至12世紀是印度數(shù)學的全盛時期。這期間,印度人能夠毫無困難地接受負數(shù)和無理數(shù),其不定方程方面的成就超過了亞歷山大時期的丟番圖所達到的水準。大約公元6世紀,印度產(chǎn)生了十進位制數(shù)碼;在公元628年左右,數(shù)學家婆羅摩及多給出了正負數(shù)的四則運算法則?？梢哉f,“古代印度對現(xiàn)代科學的最大貢獻是我們現(xiàn)在用的記數(shù)法,以及一般代數(shù)演算方法”[4]。其實,印度的記數(shù)法大大晚于中國的十進位記數(shù)法。中國早在戰(zhàn)國時代(公元前4世紀)就已經(jīng)使用空位來表示0號;早在漢代,中國數(shù)學已經(jīng)有了明確的負數(shù)概念及其計算法則。這種算法體系的成就集中體現(xiàn)在《九章算術(shù)》當中,其地位和影響正如德國數(shù)學家福格(K.Vogel)在其德文譯本《九章算術(shù)》序文中所說:“《九章算術(shù)》所含246道算題,就其豐富內(nèi)容來說,其他任何傳世的古代數(shù)學教科書,埃及也好,巴比倫也好,是無與倫比的”[5](P320-321)。

值得注意的是,東方數(shù)學的算法特性使得它們能較早并且有效地面對和處理微積分現(xiàn)象和問題。以中國古代數(shù)學為例。首先,以十進制小數(shù)為核心的實數(shù)系統(tǒng),實際上已經(jīng)形成極限概念,而極限概念是微積分的基礎(chǔ)。從這個意義上說,中國古代數(shù)學的十進位制為微積分的形成奠定了基礎(chǔ)[6]。其次,中國古代數(shù)學很早就面對和處理無理數(shù)這樣的問題,而無理數(shù)的確立又是建立實數(shù)系最關(guān)鍵的一步。運用這套實數(shù)系統(tǒng)解題,本身就是一種極限概念的具體應(yīng)用,而且依靠古代人的智慧,他們具有了逼近的思想和技巧。如在《九章算術(shù)注》的“割圓術(shù)”中,劉徽秉承了中國古代數(shù)學特別注重“率”的算法技巧,通過“偏差率”的計算逐步逼近所求數(shù)值[7]。為此學者們認為,劉徽的思想建立了通向微積分的主要步驟,比古希臘學者更接近于現(xiàn)代微積分思想。甚至認為,劉徽在其“割圓術(shù)”中成功地將極限的觀念運用到數(shù)學中,這在世界上尚屬首次[8]。類似地,在圓錐和球的體積的“證明”中,劉徽的“陽馬術(shù)”同樣嫻熟地運用了算法的技巧。受劉徽關(guān)于體積計算的啟示,祖沖之、祖暅父子借助于“牟合方蓋”計算球體體積的方法解決了球體體積的計算問題。對此,李約瑟認為,在求得圓周率數(shù)值過程中,為達到更為精確的目的,祖沖之、祖暅父子運用“密率”方法以求逼近,是一個非凡的成就[9](P226)。吳文俊也指出,近代歐洲數(shù)學家卡瓦列里(B.Kavalierl)的原理實際上在他們父子的工作中就已經(jīng)表現(xiàn)出來,而時間上后者早了1 100年[1](P8)！此外,李約瑟還列舉了沈括的“造微之術(shù)”以及周述學在《神道大編歷宗算全》(1558年)中給出的在角錐內(nèi)把球累成十層的圖解說明等,認為中國人“有一些關(guān)于無窮小、窮竭法和微分的概念的基礎(chǔ)”[9](P316)。

再來看印度數(shù)學,其處理微積分的方法同樣是算法的。首先,印度的數(shù)字和位值制計數(shù)法在微積分思想形成中具有重要的作用。正如美國數(shù)學史家卡爾·波耶(Karl B.Boyer)所說:“印度數(shù)學家對這門學科的數(shù)字方面的強調(diào),以及印度的數(shù)碼和位置記數(shù)法的原理(后者亦曾為巴比倫人所采用)的運用,自然更有利于代數(shù)的發(fā)展,從而也有利于以后微積分運算方法的發(fā)展?！盵10](P68-69)例如,印度數(shù)學家善于將曲面轉(zhuǎn)化為直線型物體,將彎曲的曲面分解形成無數(shù)個小曲面。由于分解的個數(shù)無限多,所以小曲面可以直觀地看作是平面圖形而加以計算。基于此,數(shù)學史家斯瑞尼瓦森格(C.N.Srinivasiengar)認為,印度數(shù)學家在求解球的問題時使用了極限的思想。他甚至認為12世紀印度最杰出的數(shù)學家和天文學家婆什迦羅才是發(fā)明微積分的先驅(qū)[11]。公元8世紀,印度耆那教徒維拉圣奴(Virasena)在其數(shù)學著作中給出圓臺體積準確公式。其中的計算過程類似于劉徽在求鱉臑體積公式所采用的無限分割方法,即把所要給出的立體體積歸結(jié)為一系列由體積構(gòu)成的無窮數(shù)列之和,把空心圓臺體積視為其部分和的極限[12](P292)。在近年的研究當中,印度理工學院(孟買)的Krishnamurthi Ramasubramanian在《印度數(shù)學中的無限》論文中證明,在婆羅摩笈多和巴斯卡拉(12世紀)等人的著作中,已使用零的運算來定義無限算法[13]。

還有,印度數(shù)字體系中的“0”,與微積分的關(guān)系十分密切。正如婆什迦羅在他的《根的計算》中所計算的,以“0”作為分母可以得到無窮大的量,而無窮大的量就像不變的上帝一樣[12](P366-367)。很顯然,無窮大的概念就興起于某數(shù)除以“0”的思考當中。關(guān)于“0”的概念和數(shù)字符號的至關(guān)重要性,法國大數(shù)學家拉普拉斯給予高度評價:“如果我們記住,古代兩位偉大的天才阿基米德和阿波羅尼奧斯竟然忽視了‘0’的概念,我們就充分認識到這一成就是多么偉大了”[14](P115-116)。德國哲學家、辯證法大師黑格爾也說,“微分可以當作真正的零來看待和對待”[15](P220)。美國著名科普作家阿西莫夫甚至不無遺憾地說,如果若干世紀后,哪位慈善家能夠通過“時空隧道”把阿拉伯數(shù)字贈送給阿基米德的話,也許他會在牛頓之前兩千年就發(fā)明出微積分[16]。

最后要指出的是,東方數(shù)學中的算法(包括微積分的解法)不只是孤零零的一種方法,它實際上與東方諸民族的文化傳統(tǒng)、思想觀念、認知方式等有著密切的“連帶”關(guān)系。首先,作為一種文化,算法傾向與東方人關(guān)注日常經(jīng)濟生活、強調(diào)“經(jīng)世致用”的價值取向有關(guān)(尤其是在中國)。根據(jù)漢語字源學,“算”字的古體字“筭”中含有“弄”(擺弄某物)之意。其次,算法傾向與一定的思想觀念互為依存、相互作用。具體到微積分領(lǐng)域,這些思想觀念蘊含著某種“微積分的形而上學”[10](P6)。研究表明,劉徽的數(shù)學思想受到了《周易》、名家、道家等思想家和流派有關(guān)運動變化、連續(xù)、無限可分、極限等觀念的影響。其“割圓術(shù)”很可能受到名家“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的影響[17]。按照前蘇聯(lián)著名印度學和佛教學家舍爾巴茨基(Fědor Ippolitovich Stcherbatsky)的解釋,印度佛教的“剎那”這種“非連續(xù)的、唯一的、分離的東西是一切持續(xù)性的極限并且被當做某種絕對的數(shù)學的點剎那的最終存在”[18](P128)。因此,“數(shù)學的極限應(yīng)該是印度學者們熟悉的”[18](P127)。與之相反,古希臘學者以靜止的眼光看世界,對無限、極限等概念缺乏一以貫之的、明確的認識,甚至對“無限”充滿恐懼。正如美國數(shù)學史家C.H.愛德華所說:“希臘人總是謹慎地避免明顯地‘取極限’,這種精神上‘對無限的恐懼’,或許是使得窮竭法邏輯不甚清晰的原因?！盵19]如從理論上說,希臘人發(fā)明的“窮竭法”可以使分割無限進行下去。然而,在將其引入數(shù)學證明時卻從未使用過無窮小量和極限思想。他們的分割總要有一個剩余,分割到某一步后必須采用雙重歸謬法來證明已知命題。最后,算法傾向體現(xiàn)了非邏輯的認知方式。如對于《九章算術(shù)》“勾股章”葛纏問中求葛長的問題,劉徽就是通過筆管纏青線的類比方法,獲得了由“曲”到“直”的認識[20]。這種 “凡物類形象,不圓則方”及“推理以辭,解體用圖”的認知方式,沒有希臘人那種脫離實際的純邏輯的形式主義弊病。而希臘人由于過度注重定義的明晰性、公理的自明性和推理的嚴密性,注重問題的邏輯前提,“成了自己邏輯那種線性的非此即彼取向的奴隸。結(jié)果,他們的想象力受到拘束,這就使他們難以構(gòu)想‘0’的概念”[14](P116)。

三、算法思想和方法的西傳

數(shù)學的歷史表明,東方算法思想和方法傳入西方是一個漫長而持續(xù)的過程。早在埃及文明、巴比倫文明時期,一種比較原始的算法思想就已經(jīng)形成。這構(gòu)成了東、西方算法思想的某些最早的傳統(tǒng)。但是,近代微積分的形成恰恰是在這一傳統(tǒng)中斷的地方重新開始的。因此對于中世紀的歐洲數(shù)學來說,中國、印度和阿拉伯算法思想的西傳,其影響價值顯得非常重要。

早在公元8世紀哈里發(fā)曼蘇爾在位的時期中,許多印度學者前往巴格達,在他們所帶的書籍中就有關(guān)于數(shù)學和天文學的著作。這些書籍對阿拉伯世界的數(shù)學和天文學①發(fā)展影響極大。其中印度數(shù)字也隨之傳入阿拉伯,這一點從詞源上就可以看出。阿拉伯人把這些數(shù)字叫做“印度數(shù)字”(Figures of Hind)。阿拉伯文字中的數(shù)字是“興德薩”(Hindsah),意思就是“從印度來的”(From Hind)[21]。雖然9世紀后半期的西班牙穆斯林也發(fā)展了一套數(shù)字,被稱為“塵土字母”(huruf al-ghubar),形狀與印度數(shù)字略有不同(原來是應(yīng)用于某種沙土算盤上的),但大多數(shù)學者認為這種數(shù)字像印度數(shù)字一樣,也是導源于印度的[22](P686)。大約在公元1000年,巴格達的數(shù)學家完全采用了印度人的數(shù)字系統(tǒng)。他們把印度的數(shù)字“sunya”(0)翻譯成阿拉伯語的“sifr”(空白)。起初,“cipher”只表示數(shù)字系統(tǒng)里獨特元素“0”,后來整個阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)都成了“cipher”系統(tǒng)。這也就成為后來我們稱之為印度—阿拉伯數(shù)字的最初來源[23]。著名歷史學家希提指出:“如果繼續(xù)使用舊式的數(shù)字,而要數(shù)學沿著某些路線前進,那是不可能的。計算的科學能有今日的進步,應(yīng)該歸功于零號和阿拉伯數(shù)字?！盵22](P687)

這里要特別提到的是中世紀阿拉伯偉大的數(shù)學家花拉子米(al-Khowarizmi Mohammed ibn Musa)。他著有《印度算術(shù)書》和《代數(shù)學》兩部重要數(shù)學著作。前者被認為是以印度數(shù)碼表示的十進位值制記數(shù)及其運算方法傳入歐洲的開端,后者則討論一、二次方程的解法,被西方認為是代數(shù)學的始創(chuàng)。花拉子米還著有《積分方程計算法》,這本書一直是中世紀歐洲各大學主要的教科書,并沿用到16世紀。從歷史貢獻的角度來看,花拉子米的工作恢復了巴比倫和印度的傳統(tǒng)。因為他把“量”作為純粹的數(shù)而不是作為幾何量來進行研究,并且把解題議程歸結(jié)為一些運算程序即算法。我們今天講到的“算法”(algerithm)一詞就是由這位作者的名字演變而來的。

必須看到,更具特色的中國算法數(shù)學首先對印度、阿拉伯產(chǎn)生了直接的影響,然后又通過它們對西方世界產(chǎn)生了深遠的影響。它包括十進位值制體系和一些重要的算法,如“盈不足術(shù)”“百雞問題”“賈憲—楊輝三角”等。李約瑟早就明確指出:“代數(shù)學是在十三、十四世紀從阿拉伯傳入中國的,但有更多證據(jù)說明,它在更早的時候從中國傳入印度和歐洲?！盵9](P117)例如,“趙君卿在2世紀(3、4?)注釋《周髀》時所用的勾股定理證明,在印度婆什迦羅(1150)的著作中再次出現(xiàn)。1世紀《九章算術(shù)》中的弓形面積計算法,也在9世紀摩訶毗羅的著作中再次出現(xiàn)。3世紀《孫子算經(jīng)》中的不定方程問題,可在婆羅摩芨多(7世紀)的著作中找到。而阿耶波多(5世紀)著作中的幾何測量問題,則和3世紀劉徽著作中的問題很相似?！盵24](P221)由于花拉子米在842-847年曾出使波斯以北并充當東西方商業(yè)要沖的西突厥可薩國,而可薩國通中國語、行中國禮儀,李約瑟認為花拉子米可能是最先接觸到“中國算法”(hisab al-Kata’in)的阿拉伯數(shù)學家。當代的研究證明,印度的十進制實際上是從中國傳過去的。阿拉伯數(shù)學家薩馬瓦爾(al-Samaw’al)在1172年用阿拉伯文寫的算法書中已經(jīng)接受了中國的十進制。至15世紀,阿拉伯世界已經(jīng)正式命名并系統(tǒng)發(fā)展十進位值制。同樣,《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”于9世紀傳入阿拉伯帝國。后來的阿拉伯數(shù)學家,例如黎巴嫩人庫斯塔·伊本·盧卡就引用花拉子米的《中國算法書》,并予以證明,寫出了《對中國算法證明之書》。而花拉子米、盧卡所說的“中國算法”就包括了《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”[25]。對于歐洲數(shù)學來說,中世紀意大利杰出的數(shù)學家斐波那契(Leonardo of Pisa)的《算盤書》中,存在許多與中國古代數(shù)學中相近的算法,如分數(shù)算法、衰分算法、盈不足術(shù)等[26]。正如美國數(shù)學史家卡爾賓斯基(L.C.Karpinski)在其《算數(shù)史》一書中說:“Fibonacci巨著中所出現(xiàn)的許多算術(shù)問題,其東方源泉不容否認。不只是問題的類型與早期中國及印度相同,有時甚至所用的數(shù)字也相同。因此其東方根源是顯然的。”[27]德國數(shù)學家福格(K.Vogel)在其德文譯本《九章算術(shù)》序文中說:“好多歐洲中世紀的算術(shù)教科書中的算題都可以在《九章算術(shù)》中找到?！盵5](P320-321)

總之,正如日本數(shù)學史家佐佐木力(Sasaki Chikara)所指出的,伴隨著這一漫長的歷史進程,到17世紀時,一個巨大的“歐亞數(shù)學”(Eurasian mathematics)板塊已經(jīng)形成[28]。

四、對近代微積分產(chǎn)生的若干影響

從本質(zhì)上來說,近代微積分的形成源于尋找到一種有效的算法,而西方近代以前的數(shù)學傳統(tǒng)并不能直接提供這樣一種算法;另一方面,從歷史比較的角度看,東方的算法正處在一個繁榮時期,有些方面即使在今天看來也已達到了很高的水準。即便如此,我們似乎也不能在東方算法與近代微積分之間作簡單的、機械的關(guān)聯(lián)(似乎難以尋求直接的“觸發(fā)點”)。那種體現(xiàn)在數(shù)學家個體身上的創(chuàng)造性閃光點在東方算法思想背景上的投影,許多時候并不那么清晰和分明。但是總的來說,從長時段、大范圍的角度來看,東方算法思想和數(shù)學方法的西傳對近代微積分的影響,是不容忽視的。筆者認為,這種影響是深沉的、持久的、關(guān)鍵性的和啟發(fā)性的,具體表現(xiàn)為以下四個方面。

第一,確立了“擬經(jīng)驗”的數(shù)學范式,為微積分的產(chǎn)生提供了新的“土壤”。數(shù)學范式的轉(zhuǎn)換決定了數(shù)學研究對象、問題集、研究方法、范例和基本手段的整體性變更。它雖然并不提供某一具體數(shù)學難題的最終解決方案,但卻為這種解決提供“土壤”和“背景”,創(chuàng)造有利條件。具體到微積分來說,算法思想和方法的傳入使得歐洲原有的“理論型”數(shù)學范式向“擬經(jīng)驗”(quasi-empirical)②的范式轉(zhuǎn)折或轉(zhuǎn)換,即在歐洲人的數(shù)學范式中加進了經(jīng)驗的內(nèi)容,以填補其邏輯范式的空疏狀態(tài)。用匈牙利科學哲學家、數(shù)學家拉卡托斯的話來說,是用一種“經(jīng)驗論綱領(lǐng)”代替“歐幾里得綱領(lǐng)”(廣義的知識演繹系統(tǒng)),或者更進一步地說,是根據(jù)經(jīng)驗和歸納方法從知識(理論)體系的“底部”向上“注入”其“真值”內(nèi)涵。這樣,整個數(shù)學體系就不再是傳統(tǒng)意義上的封閉的演繹體系,而成為有內(nèi)容(inhaltlich)的數(shù)學。正是在這個意義上我們認為東方算法思想的影響是“深沉的”。

恩格斯很早就將“經(jīng)驗論”與用“數(shù)學計算的形式來思維”聯(lián)系在一起[2](P222)。他說:“數(shù)學演算適合于物質(zhì)的證明,適合于檢驗,因為它們是建立在物質(zhì)直觀(盡管是抽象的)的基礎(chǔ)上的;而純邏輯演算只適合于推理證明,因此沒有數(shù)學演算所具有的實證的可靠性——而且其中許多還是錯誤的！”[15](P229)英國哲學家、數(shù)理邏輯學家懷特海也認為,“初等數(shù)學是近代思想最具有代表性的創(chuàng)造之一——它的特點是通過直接的途徑把理論與實踐聯(lián)系起來了。”[9](P336-337)如前所述,到了1100年左右,新的思潮開始影響當時的學術(shù)氛圍,同時歐洲人通過貿(mào)易、旅游以及戰(zhàn)爭,同地中海和近東的阿拉伯人等發(fā)生接觸,并從后者那里學到了具有阿拉伯特點的經(jīng)驗性和實用性的各種知識,從而促使歐洲人的興趣轉(zhuǎn)入物理世界。具體到微積分來說,“蟄伏”于經(jīng)驗認識活動當中的多樣性、連續(xù)性和可變性與積分和導數(shù)發(fā)生關(guān)聯(lián)?！斑\動和離散性的感覺導致微積分的抽象概念,因此感性經(jīng)驗可以繼續(xù)為數(shù)學家提供問題,而數(shù)學家又可以自由地把這些問題化為有關(guān)的基本的形式邏輯關(guān)系”[10](P326)。從這個意義上可以說,16、17世紀歐洲數(shù)學中發(fā)生的變化,“是由于對早在十三世紀就已經(jīng)從阿拉伯傳入,后來在意大利得到了進一步發(fā)展的代數(shù)不那么審慎而更側(cè)重于實用的結(jié)果”[10](P2)。例如,希臘傳統(tǒng)的幾何被改變?yōu)閼?yīng)用型的幾何(practical geometry)。

數(shù)學家J.格瑞賓勒(Judith V.Grabiner)指出,“數(shù)學革命”(mathematical revolution)在歷史上曾經(jīng)多次發(fā)生過。例如,古希臘的幾何學曾為來自經(jīng)驗科學的數(shù)學所改變,后來又被非歐幾何和代數(shù)學所改變,特別是在18、19世紀,它們主要聚焦于數(shù)學的計算方面[29]。佐佐木力基于近代計算數(shù)學的發(fā)展指出,近代數(shù)學實際上是伴隨著經(jīng)驗的增長而產(chǎn)生的。在題為《數(shù)學中發(fā)生了革命嗎?》的演講中,他進一步用庫恩的范式理論和拉卡托斯的“準經(jīng)驗”概念分析了近代歐洲代數(shù)思想方法(manner of algebraic thinking)的形成和發(fā)展過程,認為到17世紀時,一種新的數(shù)學范式或數(shù)學革命已經(jīng)形成。這就是“擬經(jīng)驗”的數(shù)學范式。這其中,萊布尼茨使用了新的微分符號(symbolic calculation),而這個符號可能又與花拉子米的算法有關(guān)。因此可以認為,中世紀阿拉伯算法數(shù)學通過萊布尼茨實現(xiàn)了一次數(shù)學革命或者說是一次數(shù)學范式的轉(zhuǎn)換[30]。

第二,形成了新的“微積分形而上學”,為微積分理論提供了某些概念“母體”。這種新的“微積分形而上學”包括量的觀念、運動與變化的觀念、極限的觀念、連續(xù)的觀念等的形成。以量的觀念為例。算法思想促使歐洲人開始從“量”而不是“質(zhì)”的方面思考數(shù)學問題。例如,被稱為“計算大師”的數(shù)學家蘇依塞思(Richard Suiseth)在《算書》(成書于1328年以后)一書中,運用算術(shù)的工具,通過對時間區(qū)間的一個無限分割得到了一個無窮級數(shù)的等價物。這個無窮級數(shù)相當于1/2+2/4+3/8+4/16+…+n/2n+… 的和等于2。而在無限的量和無窮級數(shù)這兩者之間,他特別對前者感興趣[10](P83)。他的研究提示人們,通過算法將變量和導數(shù)引進數(shù)學是有可能的。從此以后,西方數(shù)學家轉(zhuǎn)而開始對變化和運動進行定量研究。關(guān)于數(shù)以及數(shù)量的變化(數(shù)的計算)對改變數(shù)學觀念方面的作用,萊布尼茨有過一個很好的論證。他說:“在數(shù)方面的觀念,是比在廣延方面的觀念既更精確又更恰當?shù)乇舜藚^(qū)別開的,在廣延方面,我們不能和在數(shù)方面一樣容易地來觀察大小的每一相等和每一超過量,這是因為在空間方面,我們不能在思想上達到某種確定的最小,在此之外不能再前進的,如同在數(shù)方面的單位那樣”,“因為要清楚地認識大小就得求助于整數(shù)或其它靠用整數(shù)知道的(量度),因此就要對大小有一清楚的認識就得從連續(xù)量又再來借助于分離量”[31]。這里的“分離量”就是以整數(shù)表示的量,它具有離散的特征,能夠表示幾何連續(xù)量所不能表示的量的關(guān)系?！爸饕捎谶@樣的緣故,牛頓和萊布尼茨都力求將這個新分析學用量的生成的感覺觀念去解釋?！盵10](P189)

又如,印度—阿拉伯數(shù)字“0”背后承載著東方人關(guān)于“空”或“非存在”的哲學意蘊。以德國歷史哲學家斯賓格勒為代表的一些學者認為,“0”的概念與印度宗教中的“空”或“非存在”思想有關(guān)。這種精神“才能夠產(chǎn)生出虛無作為一個真正的數(shù)即零的偉大概念,甚至在那時,這個零對于印度人之所以是零,是因為存在與非存在同樣是外在的”[32]。不過,就數(shù)學認識而言,“空”或“非存在”與數(shù)學上的“0”并不能直接劃等號。正如美國學者卡普蘭(Robert Kplan)所指出的,如果像斯賓格勒那樣將“空”或“非存在”理解為什么也沒有的“空白”(void)或者“空的”(empty),那也是錯誤的[33]。事實上,當印度數(shù)學家把“0”看作某一數(shù)而進行乘除加減時,或以一量來除以“0”被看作是無窮大(通往涅槃的道路)時,實際上他們并沒有把“0”看作是絕對的空白或虛無。③但這種觀念確實容易帶來矛盾性的理解。例如在牛頓的公式中,他用來表示瞬的“o”顯然不能被歸結(jié)為毫無意義的“0”的運算,用牛頓自己的話來說,“o”只是一個具有流動性的“消失增量”。但是,在實際的推導過程中,它又是作為無限小的“0”而使用的。這個過程在馬克思看來,是一個類似于“暴力的鎮(zhèn)壓”或一次“政變”的過程,因為它武斷地去掉了含有“o”的項,即承認它什么也沒有！盡管它后來的計算結(jié)果是正確的。這樣,在邏輯上,這就產(chǎn)生了一個矛盾:無窮小究竟是“0”還是非“0”呢?如果它是“0”,怎么能用它去作除法呢?如果它不是“0”,又怎么能把包含它的那些項去掉呢?顯然,要對數(shù)學“0”的概念有真正的理解和認知,微積分概念的發(fā)展需要不斷重新認識印度佛教的否定性辯證思維以及后來的辯證法。當然,要形成這樣一個辯證方法,需要一個漫長而持久的過程。

第三,刺激了數(shù)學新學科的產(chǎn)生,為解決微積分問題提供了新的方法。首先,東方算術(shù)和初等代數(shù)的傳入將算術(shù)和代數(shù)提高到幾乎和幾何并駕齊驅(qū)的地位,激發(fā)了西方人的“算術(shù)興趣”(arithmetical interest),重新引起歐洲人對代數(shù)的重視。“科學史之父”薩頓稱斐波那契的《算盤書》在公元1202年的出版是“新的數(shù)字傳統(tǒng)的主要里程碑,它標志著歐洲數(shù)學的開始”[34]。確實,在《算盤書》中,斐波那契已經(jīng)按照阿拉伯人的樣子講述了一次和二次確定或不確定方程以及某些三次方程,盡管是用的文字而不是記號。而他的數(shù)學著作連同其它一些著作,在幾個世紀以后“為歐洲后來在代數(shù)學方面的獨立發(fā)展奠定了基礎(chǔ)”[35]?？梢哉f,代數(shù)在歐洲的發(fā)展,至少在開頭的發(fā)展,是阿拉伯活動路線的繼續(xù)?；蛘哒f,歐洲代數(shù)的發(fā)展首先是建立在算術(shù)基礎(chǔ)之上的。正如數(shù)學史家M.克萊因所指出的:“新的歐洲數(shù)學的第一個重大進展是在算術(shù)和代數(shù)方面。印度人和阿拉伯人的工作把實用的算術(shù)計算放在數(shù)學的首位,并把代數(shù)建立在算術(shù)的而不是幾何的基礎(chǔ)上?！盵36]由此可看出,東方算術(shù)和代數(shù)為后來歐洲誕生的代數(shù)學起到了關(guān)鍵性、基礎(chǔ)性的作用。

同樣,在解析幾何方面也是如此。以中國為例,中國傳統(tǒng)數(shù)學擅長于將幾何問題數(shù)值化、代數(shù)化,客觀上為幾何的代數(shù)化提供了方法論資源。這種代數(shù)化的幾何方法傳到阿拉伯,顯然會對歐洲產(chǎn)生間接的影響。正如吳文俊指出的,花拉子米《代數(shù)學》中處理幾何的方式與中國古時幾何問題中常用的“切割術(shù)”或所謂“出入相補”方法不無類似之處,即將幾何問題代數(shù)化,再轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠虇栴}來求解。事實上,斐波那契本人正是第一個認識到把代數(shù)學同幾何聯(lián)系起來具有重要價值的數(shù)學家。雖然相比較后來笛卡爾的解析幾何,其間相隔了幾百年,但我們不能忽視它們之間的某種聯(lián)系。研究表明,作為解析幾何的重要創(chuàng)立者之一,笛卡爾與阿拉伯的神秘主義哲學與數(shù)學確實有直接的聯(lián)系。如笛卡爾曾受到流行于當時歐洲的“薔薇十字會”的影響,熱衷于追尋隱藏在圖形(幾何)及數(shù)字(算術(shù))背后的含義[37]。這表明笛卡爾解析幾何是有東方文化淵源的。隨著解析幾何在整個歐洲數(shù)學中獲得普遍承認,人們能夠像進行普通的代數(shù)表達式(即多項式)的計算那樣來處理無窮級數(shù),能夠在代數(shù)的幫助下迅速地證明關(guān)于曲線的任何事實。正是在這個意義上,恩格斯指出,“笛卡爾的變數(shù)是數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點。因此運動和辯證法便進入了數(shù)學,因此微積分也就立刻成為必要的了”[2](P149)。

從另一方面來看,17世紀的數(shù)學一度沉迷于在傳統(tǒng)幾何的框架下尋求微積分的概念基礎(chǔ)與方法的做法當中,使微積分的工作淹沒在細節(jié)里,沒有去利用或者探索新的代數(shù)和解析幾何中蘊含的東西。其結(jié)果,“作用不大的細微末節(jié)的推理使他們精疲力竭了”[38]。在這種情況下,一些敏銳的數(shù)學家如帕斯卡、J.沃利斯等,試圖突破這種困局,尋求算法和代數(shù)范式。而這些數(shù)學家對牛頓產(chǎn)生了重要影響。正如牛頓在其《普遍算術(shù)》中所說的:“人們或者像在通常算術(shù)中那樣用數(shù)字進行計算,或者像分析數(shù)學家習慣的那樣借助普遍變量(species,直譯‘類’)來進行計算。這兩種運算都依賴于同樣的基礎(chǔ)并服務(wù)于同樣的目標,算術(shù)采用確定的和特殊的方法,而代數(shù)則采用不定的和普遍的方法,以致由這種運算得到的所有結(jié)論幾乎都可以稱作為定理。”[39]在牛頓看來,雖然代數(shù)具有算術(shù)所沒有的許多優(yōu)越性,但算術(shù)運算對代數(shù)來說又必不可少。兩者似應(yīng)相互結(jié)合而形成統(tǒng)一的完善的計算科學。這一點正是牛頓所謂“普遍數(shù)學”的真諦。為了驗證二項級數(shù),牛頓提出了人們熟知的數(shù)的長除法和開方法的代數(shù)形式。正是在這個意義上,牛頓認為微積分是代數(shù)的擴展,是“無窮”的代數(shù),或者是具有無窮個項的代數(shù)。

第四,實現(xiàn)了認知方式的轉(zhuǎn)變,為創(chuàng)造微積分的重大突破提供了手段。從歷史上看,數(shù)學史上那些重大的突破往往是在超越演繹主義的邏輯框架的情況下最先實現(xiàn)的。由于算法思想(包括算術(shù)和代數(shù))的獨特認知方式,對于扭轉(zhuǎn)建立在歐氏幾何基礎(chǔ)上的演繹主義的認知方式是有幫助的。例如,在笛卡爾看來,希臘人的幾何存在過于抽象且過多地依賴于圖形的不足,而“某種算術(shù)正日趨興盛,它叫做代數(shù),它使用數(shù)字的成就相當于古人使用的圖形”[40]?；诖?他認為,算術(shù)像幾何一樣,是同樣可確信的學科。從解析幾何的創(chuàng)立過程中可看出,笛卡爾雖然采用符合現(xiàn)代標準的符號代數(shù)表示法,但他強調(diào)的是計算方法而不是邏輯證明。同時,算法思想和方法中所蘊含的算術(shù)直觀、想象和類比等思維形式能夠幫助數(shù)學家形成一些新的想法而不為邏輯的“抽象性”“嚴密性”所困。例如,自從引進求速度、切線、最大值和最小值等新方法以來,對這些概念的證明都被認為是不可靠的、是“可證偽的”,整個過程非常類似于拉卡托斯所描述的從問題開始,接著是大膽猜測、解決問題,然后是嚴格的檢驗、反駁的過程[41]。如果坐等邏輯上都非常清晰以后討論這些問題,微積分是難以取得實質(zhì)性突破的。正如數(shù)學家皮卡(Emile Picard)在1905年所說的那樣:“如果牛頓和萊布尼茨知道了連續(xù)函數(shù)不一定可導,微積分將無以產(chǎn)生?！盵42]我們看到,近代微積分形成過程中的認知方式與東方人的思維方式和認知方式非常切近,雖然不能說這些方式都是東方算法影響的結(jié)果,但確實不能完全排除這種影響的存在。

[注釋]

① 科學史家常有“阿拉伯科學”“伊斯蘭科學”兩種提法。這里采用前一種提法,并在相應(yīng)的意義上將“阿拉伯數(shù)學”和“阿拉伯天文學”作為“阿拉伯科學”的一個部分。

② 由于這種數(shù)學起因于算術(shù)直覺、猜測和被證偽,但又不是物理性的感覺經(jīng)驗,并且包含算術(shù)形式在內(nèi),因而稱之為“擬經(jīng)驗”。參見[匈]拉卡托斯:《數(shù)學、科學和認識論》[M].林夏水,等,譯.北京:商務(wù)印書館,2010年版第一章和第二章。

③ 亞里士多德認為,“空白是一個碰巧沒有物體存在的地方”。這意思與印度的“sunya”含義相近,但是亞里士多德又證明它是不存在的,因而根本放棄了這一概念。與之不同,柏拉圖表達空間使用的詞含有容器的意思。在希臘語中,“Theca”的意思就是一個容器。

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