研題：數(shù)學(xué)教師成長的階梯

馮寅

摘 要：研題是數(shù)學(xué)教師進步的階梯.研題包括做題、講題和串題.教師在研題中體會問題的價值和意義，提高教學(xué)水平.

關(guān)鍵詞：研題；做題；講題；串題

數(shù)學(xué)教師的成長離不開題目，數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)需要題目，在題目的不斷變化中可以尋找到問題的真諦.在課堂上，教師對題目的講解行云流水，水到渠成.其實，在課外凝聚著教師做題、串題的心血，教師可以在做題、講題、串題的過程中，體會問題的價值和意義，對題目的研究將成為教師進步的階梯.

一、做題——態(tài)度決定一切

數(shù)學(xué)教師離不開做題，但做什么題，做多少題，怎么做題是有很大區(qū)別的.其實，教師首先應(yīng)該做透課本上的題目和高考的真題，課本上的題目現(xiàn)在教師很少研究，這些題目應(yīng)該是編寫者精心挑選的，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，許多將是以后解決問題的工具.高考真題是命題者精心設(shè)計的問題，是對考試大綱的具體詮釋，能使我們很好地把握教學(xué)、復(fù)習(xí)的方向，所以，這些題目將是我們教師必須做好做透的好題目.做題應(yīng)該倡導(dǎo)不急著看答案，要在無答案的狀態(tài)下思考分析，真正感受題目的本質(zhì)，真正體會題目的難度，這樣的做題將使我們最貼近學(xué)生的實際，能真正體會到學(xué)生做題的感受，對我們的教學(xué)有很大的幫助.但這樣做題費時費力，需要我們老師有耐心和毅力，所以真正地做好題做夠題由我們的態(tài)度決定.

例1 已知平面向量[a，b]，[a=1]，[b=2]，[a·b=1]. 若[e]為平面單位向量，則[a·e+b·e]的最大值是 .

分析：這是浙江省2016年文科數(shù)學(xué)高考試題的第15題，在當(dāng)年的考試中體現(xiàn)出一定的難度.問題的核心就是如何理解[a·e+b·e]，不同的理解可以有不同的方法.

解法1：對[a·e+b·e]整體思考，利用絕對值的特點分析.

[a·e+b·e=a·e+b·e=a+b?e≤a+ba·e-b·e=a-b?e≤a-b]，下面只要比較[a+b， a-b]的大小.因為，[a+b2=a2+2ab+b2=7]；[a-b2=a2-2ab+b2=3].所以，[a·e+b·e]的最大值為[7].

解法2：從向量的數(shù)量積的幾何意義來思考[a·e+b·e].

[a·e]表示向量[a]在向量[e]方向上的投影的長度[A1C1]；

[b·e]表示向量[b]在向量[e]方向上的投影的長度[C1B1]（如圖1）.

那么，問題轉(zhuǎn)化為：求向量[a，b]在向量[e]方向上的投影的長度之和[A1B1]的最大值.

而向量[a，b]在向量[e]方向上的投影的長度之和[A1B1]的最大值為[AB]，那么，[AB2=a2+b2-2a?b?cos1202=7，AB=][7]，即[a·e+b·e]的最大值是[7].

解法3：利用數(shù)量積的計算也可以解決問題.

由[a=1]，[b=2]，[a·b=1]得：[a，b=60]°，設(shè)[a，e=θ， 則a·e+b·e=cosθ+][2cosθ-60°]

[=cosθ+cosθ+3sinθ]，考慮絕對值的符號（如圖2）.

①[a·e+b·e=2cosθ+3sinθ][=][7sinθ+φ≤7]，

②[a·e+b·e=3sinθ≤3].

即[a·e+b·e]的最大值是[7].

解法4：給定了平面上兩個不共線向量[a，b]，我們可以考慮利用平面向量基本定理.

平面內(nèi)的任意向量[e]都可以表示成[e=xa+yb]，由[e=1]得：[x2+2xy+4y2=1]；

由題意，[a·e=xa2+ya·b，b·e=xa·b+yb2，]即[a·e=xa2+ya·b，b·e=xa·b+yb2，]那么，[a·e=x+y，b·e=x+4y.]

記[m=a·e+b·e=x+y+x+4y]，考慮[x+y]和[x+4y]的符號：

①若[x+y]和[x+4y]同號：則[m=2x+5y]，

代入[x2+2xy+4y2=1]得：[21y2-6my+m2][-4=0]，由[Δ=0]得：[m2=7]

②若[x+y]和[x+4y]同號：則[m=3y，]

代入[x2+2xy+4y2=1]得：[9x2+6mx+4m2][-9=0]，由[Δ=0]得：[m2=3]

即，[a·e+b·e]的最大值是[7].

上述的這些解法基本涵蓋了這個問題所能解決的所有基本方法，從上述的不同解法中，我們也能感受到題目的價值和意義，對兩個向量的數(shù)量積的問題有了全面和系統(tǒng)的理解，解決這樣的問題能起到舉一反三的作用.

二、講題——方法決定過程

會做題是數(shù)學(xué)教師的第一要素，但僅僅會做還不夠，更重要的是要把我們會做的如何教給學(xué)生，讓學(xué)生理解、會做.優(yōu)秀的教師就是能把復(fù)雜的問題講得淺顯易懂，所以講題需要方法，不同的方法會產(chǎn)生不同的效果.課堂上面對學(xué)生的講題究竟要講什么？應(yīng)該講學(xué)生疑惑的問題，學(xué)生不易想到的問題，講如何化未知為已知.

例2 設(shè)函數(shù)[f（x）=3ax2-2（a+b）x+b]，其中[a>0]，[b]為任意常數(shù).

證明：當(dāng)[0≤x≤1]時，有[f（x）≤][maxf（0）， f（1）].

分析：這樣分類討論的問題教師經(jīng)常講，但效果總是不盡如人意，在考試中遇到要分類討論的問題，學(xué)生心里還是七零八落，不能全面正確地解決好.究其原因還是教師對題目的講解沒有講到學(xué)生的“心里”，沒有講在學(xué)生的“痛處”，沒有內(nèi)化為他們自己的思維，下面從這個題目出發(fā)分五步來談?wù)勅绾沃v題.

第一步：兩點理解！

理解條件：

（1）[maxf（0），f（1）]的含義是什么？它表示一個確定的數(shù)！

（2）[maxf（0），f（1）=M（a，b）].

（3）[f（x）≤maxf（0），f（1）]的含義是什么？即[f（x）≤M（a，b）].

（4）認(rèn)識函數(shù)[y=f（x）]和[y=f（x）].

（5）[f（x）max=maxf（0），f（1），fx0]，[f（x）min=min f（0），f（1），fx0 .] [（x0是函數(shù)y=f（x）頂點的橫坐標(biāo)）]

[f（x）max=maxf（0），f（1），fx0]；[f（x）min=minf（0），f（1），fx0].

理解問題：

這是一個研究函數(shù)值的問題！

第二步：兩點擔(dān)憂！

（1）問題中含參數(shù)多，計算困難！（2）問題中含有絕對值，要分類討論！

第三步：兩點思考！

思考一：考慮帶絕對值研究，問題轉(zhuǎn)化為研究[y=f（x）]的最大值！當(dāng)[x∈0，1]時，[f（x）≤maxf（0）， f（1）]成立，表示[f（x）max≤maxf（0），f（1）].

思考二：考慮去絕對值研究，從而研究[y=f（x）]的不等關(guān)系！

當(dāng)[x∈0，1]時，[f（x）≤maxf（0），f（1）]成立，表示[maxf（0），f（1）≤f（x）≤maxf（0），f（1）].

第四步：兩種策略！

策略1：研究[y=f（x）]的最大值！對自變量討論！

分析：設(shè)[x0]是函數(shù)[y=f（x）]頂點的橫坐標(biāo).

那么，[max|f（x）| 0≤x≤1=max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}]，

要有，[max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}≤][maxf（0），f（1）].

疑問：應(yīng)該有[max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}≥][maxf（0），f（1）]？

理想：[max{|f（x0）|，|f（0）|，|f（1）|}=][maxf（0），f（1）]！

思考：（1）[fx0]沒有意義！即[x0?0，1]；（2）或[|f（x0）|≤f（1）].

解法：令[x0=a+b3a].[f（0）+f（1）=a>0]，

（1）當(dāng)[x0=a+b3a≤0]，即[b<-a<0]時，函數(shù)[f（x）=3ax2-2（a+b）x+b]在區(qū)間[[0，1]]上單調(diào)遞增，由[f（0）=-b

（2） 當(dāng)[x0=a+b3a≥1]，即[b>2a]時，函數(shù)[f（x）=3ax2-2（a+b）x+b]在區(qū)間[[0，1]]上單調(diào)遞減，由[f（0）=b>f（1）=b-a]，則有[f（x）≤maxf（0），f（1）]；

（3） 當(dāng)[x0=a+b3a∈（0，1）]，即[-a

由[f（a+b3a）=ab-a2-b23a=a2+b2-ab3a].

①當(dāng)[bf（0）]，

由[f（1）-a2+b2-ab3a=2a2-2ab-b23a]，又[0][3a2-9a243a][=]

[a4>0].

故[f（1）>f（a+b3a）]，從而有[f（x）≤][maxf（0），f（1）].

②當(dāng)[b>a-b]，即[a2f（1）]，由[f（0）-a2+b2-ab3a=4ab-a2-b23a]，又[0<2a-b<3a2，]則[4ab-a2-b23a=][3a2-（2a-b）23a>3a2-9a243a=a4>0]，

故[f（0）>f（a+b3a）]，從而有[f（x）≤][maxf（0），f（1）].

綜合上述：當(dāng)[x∈[0，1]]時，[f（x）≤][maxf（0），f（1）].

策略2： 去絕對值，研究[y=f（x）]的不等關(guān)系！

[f（x）≤maxf（0），f（1）]等價于[-max{f（0），f（1）}≤f（x）≤max{f（0），f（1）}].

又因為[f（x）max=max{f（0），f（1）}]，故只需要證明[f（x）min≥-max{f（0），f（1）}]

（1）若[f（0）≥f（1）]，即[b≥a-b]，即[2b≥a>0]，而[maxf（0），f（1）=f（0）=b]

[則 f（x）+b=3ax2-2ax+2b1-x≥3ax2][-][2ax+a1-x][=a3x2-3x+1>0]

（2）若[f（1）≥f（0）]，即[a-b>b]，即[2b≤a]，[maxf（0），f（1）=f（1）=a-b]

則[f（x）+a-b=][3ax2-2a+bx+a][=a3x2-2x+1-2bx][≥a3x2-2x+1-ax=a3x2-3x+1][>0]

第五步：兩點改進！

改進1：減少變量！

[fx=a3x2-21+bax+ba]，[t=ba]令，得[gx=3x2-21+tx+t]，

問題轉(zhuǎn)化為：[g（x）≤maxg（0）， g（1）]；我們只要對[t]分類：[t≥12]和[t<12]兩種情況.

改進2：整體處理！

[maxg0，g1=g0+g1+g0-g12][=1+2t-12]，

[gx=3x2-3x+12-2t-1x-12≤3x2-3x+12+2t-1x-12≤12+2t-12].

此題的解決過程對疑問的一個個解決，慢慢地揭示了問題的本質(zhì)，讓學(xué)生在理想和現(xiàn)實差距間不斷調(diào)整，逐步解決問題.

三、串題——思維決定策略

每一個題目的解決都能給我們帶來新的思路，但一個一個獨立的題目往往不能使我們構(gòu)建解決問題的網(wǎng)絡(luò)，所以我們要尋找題目與題目之間的聯(lián)系，通過條件、結(jié)論、方法的比對尋找他們之間的聯(lián)系，不同的思維方式能產(chǎn)生不同聯(lián)想，使問題形成串聯(lián)，提煉出問題的精華.

例3 若二次函數(shù)[f（x）=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過兩點[（α，0），（β，0）]，且存在整數(shù)[n]，使得[n<α<β

A.[minf（n），f（n+1）>14] B.[minf（n），f（n+1）<14]

C.[minf（n），f（n+1）=14] D.[minf（n），f（n+1）≥14]

分析：二次函數(shù)[f（x）=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過兩點[（α，0），（β，0）]，則函數(shù)也可設(shè)[f（x）=x-αx-β]，由韋達定理得：[α+β=-b]，[αβ=c].由題意可得，[f（n）>0]，[f（n+1）>0].

當(dāng)[f（n）=f（n+1）]時，[n+n+12=α+β2]（兩點的中點在對稱軸上），那么，[n=α+β-12].

當(dāng)對稱軸左右移動時，[f（n），f（n+1）]的值的變化規(guī)律相同！

顯然[minf（n）， f（n+1）]的最小值可以是0；[minf（n）， f（n+1）]的最大值可以在[f（n）=f（n+1）]的位置取到.不妨考慮[f（n）]，

那么，[f（n）=n-αn-β]=[α+β-12-αα+β-12-β]=[1-α-β24<14]，

因此，[0

例4 若二次函數(shù)[f（x）=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過兩點[（α，0），（β，0）]，且[0<α<β<1]，則[c2+（1+b）c]的取值范圍是 .

分析：二次函數(shù)[f（x）=x2+bx+c]的圖象經(jīng)過兩點[（α，0），（β，0）]，

則函數(shù)也可設(shè)[f（x）=x-αx-β，由韋達定理得：α+β=-b，αβ=c，因為f（0）=c，f（1）=][1+b+c，那么，c=α·β，1+b+c=（1-α）（1-β）c2+（1+b）c=c1+b+c=f（0）·f（1）=αβ（1-α）（1-β）≤] [α+1-α22β+1-β22=116]

（因為[α≠β]，等號取不到！） [0

上面的兩個例題，如果就題論題那將失去它們的價值，我們可以把兩個問題放在一起教學(xué)！它們的本質(zhì)是相同的！都是研究兩根所在區(qū)間的邊界的函數(shù)值的關(guān)系，例3是研究[f（n）]和[f（n+1）]這兩點的函數(shù)值的大小變化規(guī)律和每點的取值范圍.例4是隱含了函數(shù)值的問題，需要我們先研究[c2+（1+b）c]的特點，發(fā)現(xiàn)[c2+（1+b）c=f（0）f（1）]的關(guān)系，研究區(qū)間邊界點函數(shù)值的乘積的范圍.

數(shù)學(xué)教師需要解題，正確的解題能幫助我們在課堂上更好地講題，數(shù)學(xué)教師需要把所做的題目串點成線，這樣能使我們在課堂的講題豐富多彩，在解題、講題、串題的研究中，使我們的教學(xué)水平不斷提高.