基于Karhunen-Loève展開的分布式變體飛行器最優(yōu)控制方法

龔春林，赤豐華，谷良賢，方海

1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072 2.西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

傳統(tǒng)飛行器大都采用固定的外形，設(shè)計(jì)方案是在多種飛行狀態(tài)之間性能折中的結(jié)果，難以適應(yīng)復(fù)雜的、具有大飛行包絡(luò)的新一代飛行器需求[1]。變體飛行器可以根據(jù)飛行狀態(tài)和環(huán)境變化，動(dòng)態(tài)改變外形以獲得最佳流場(chǎng)，保證大飛行包絡(luò)下整體性能最優(yōu)，對(duì)提高飛行器性能具有很大的應(yīng)用潛力，得到國(guó)際飛行器領(lǐng)域廣泛關(guān)注。

變體飛行技術(shù)發(fā)展至今，可大致劃分為集中式和分布式兩類。早期集中式變體技術(shù)采用簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)變后掠、變展長(zhǎng)等單個(gè)或少數(shù)變形自由度，以適應(yīng)多種飛行任務(wù)。雖然集中式變體技術(shù)已經(jīng)在B-1B槍騎兵、F-14雄貓、V-22魚鷹等已服役飛行器中得到應(yīng)用，并具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但變形方式有限，不能對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行精細(xì)控制，難以適應(yīng)高動(dòng)態(tài)復(fù)雜飛行任務(wù)。

近年來(lái)，隨著智能材料和結(jié)構(gòu)、微小型驅(qū)動(dòng)器以及分布式控制理論[2]的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)多自由度連續(xù)變形的分布式變體技術(shù)逐漸得到關(guān)注。其采用多個(gè)驅(qū)動(dòng)器實(shí)現(xiàn)局部或全局的連續(xù)變形，可以在很大范圍內(nèi)快速精細(xì)地調(diào)整微觀流場(chǎng)，以適應(yīng)飛行狀態(tài)連續(xù)動(dòng)態(tài)變化，是未來(lái)變形飛行技術(shù)的主要發(fā)展方向，成為當(dāng)前研究者們關(guān)注的焦點(diǎn)。美國(guó)賓夕法尼亞州立大學(xué)設(shè)計(jì)了一種分布式變形結(jié)構(gòu)，通過八面體腱驅(qū)動(dòng)柔順細(xì)胞桁架實(shí)現(xiàn)變形[3]，如圖1(a)所示。Grumman公司設(shè)計(jì)了圖1(b)所示的自適應(yīng)桁架翼肋結(jié)構(gòu)，通過分布式驅(qū)動(dòng)器改變機(jī)翼橫截面翼型[4]。南京航空航天大學(xué)研制了圖1(c)所示的分布式驅(qū)動(dòng)變形機(jī)翼實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)分布式控制的問題展開研究[5,7-8]。洛克希德·馬丁公司設(shè)計(jì)了通過響應(yīng)電脈沖的記憶膜改變機(jī)翼形狀的MPUAV。美國(guó)DARPA資助NextGen研發(fā)了一種滑動(dòng)蒙皮的變形翼設(shè)計(jì)方案[9]。楊智春和解江[10]設(shè)計(jì)了一種應(yīng)用于變體機(jī)翼的柔性后緣自適應(yīng)機(jī)翼。李偉等[11]對(duì)變體翼梢小翼的伸縮柵格進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)其可對(duì)飛機(jī)起飛階段的流場(chǎng)進(jìn)行改善。

圖1 分布式變體結(jié)構(gòu)Fig.1 Distributed morphing structure

變體技術(shù)使得飛行器具有更強(qiáng)的靈活性和任務(wù)適應(yīng)性，但也帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)問題，即面臨動(dòng)態(tài)變化的飛行任務(wù)，如何以最優(yōu)的方式控制飛行器的變形過程。

Falc?o等[12]對(duì)NACA0015的可變形翼尖小翼的兩個(gè)可變翼型參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，獲得了滿足多種高度和速度飛行狀態(tài)下的最優(yōu)解。Holland等[13]采用多學(xué)科優(yōu)化框架，對(duì)無(wú)人機(jī)機(jī)翼展長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、后掠角等變形參數(shù)在多個(gè)典型飛行條件下的飛行性能進(jìn)行了優(yōu)化。Dale等[14]利用多學(xué)科優(yōu)化技術(shù)針對(duì)機(jī)翼彎度的變形開展了研究。以上研究的優(yōu)化問題僅針對(duì)少數(shù)的典型飛行狀態(tài)，如高低空巡航、低速巡邏等，所獲得的一般是“分檔”變形規(guī)律，不適用于飛行狀態(tài)連續(xù)變化的飛行任務(wù)。

Vale等[15]利用最優(yōu)控制理論對(duì)兩自由度變形翼(變彎度和變展長(zhǎng))的變體飛機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化。Mir等[16]對(duì)變后掠翼無(wú)人機(jī)變體滑翔軌跡展開最優(yōu)控制，得到了最優(yōu)的變體規(guī)律。Ryan和Lewis[17]對(duì)可變翼炮彈軌跡中的變體規(guī)律進(jìn)行了優(yōu)化，研究了翼面形狀隨軌跡的規(guī)律。嚴(yán)旭飛和陳仁良[18]用最優(yōu)控制方法研究?jī)A轉(zhuǎn)旋翼機(jī)的最優(yōu)動(dòng)態(tài)傾轉(zhuǎn)過渡過程，并得到了最優(yōu)操縱策略。李煥煥[19]針對(duì)Z型可折疊翼變形飛行器和可伸縮變后掠翼變形飛行器的不同飛行任務(wù)進(jìn)行了軌跡優(yōu)化。以上研究雖然考慮了變體飛行器在整個(gè)飛行軌跡的最優(yōu)控制問題，但主要針對(duì)包含少數(shù)變形自由度的集中式變形技術(shù)，不適用于理論上具有無(wú)窮變形自由度的分布式變體技術(shù)。

在變體飛行器控制方面，很多學(xué)者也開展了大量的研究。Nigam等[20]發(fā)展了包含子系統(tǒng)辨識(shí)和最優(yōu)控制兩個(gè)部分的仿生變體飛行器自適應(yīng)控制系統(tǒng)。Guo等[21]對(duì)仿海鷗翼的變體飛行器，分別采用變體翼和傳統(tǒng)舵進(jìn)行軌跡和姿態(tài)的動(dòng)態(tài)控制。高仁璟等[22]對(duì)基于壓電纖維復(fù)合薄膜驅(qū)動(dòng)器的變體進(jìn)行了研究，提出了一種滿足類翼面平板結(jié)構(gòu)的彎曲、扭轉(zhuǎn)和彎扭型面精確變形控制需求的布局與控制參數(shù)協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。董朝陽(yáng)等[23]對(duì)一類存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的分布式結(jié)構(gòu)變體飛行器的控制分配問題，提出一種基于布谷鳥搜索算法的容錯(cuò)控制方法。但是，目前變體控制研究大都只針對(duì)飛行過程中從某一狀態(tài)過渡到另一狀態(tài)，由于變體導(dǎo)致的動(dòng)力學(xué)模型變化帶來(lái)的過渡過程控制問題。

與現(xiàn)有研究相比，本文重點(diǎn)解決在飛行任務(wù)連續(xù)、動(dòng)態(tài)變化情況下，如何實(shí)現(xiàn)分布式變形過程優(yōu)化問題。該問題本質(zhì)上是一個(gè)變量在時(shí)間和空間上均具有無(wú)窮維度的優(yōu)化問題，求解困難在于：① 現(xiàn)有最優(yōu)控制方法無(wú)法直接求解無(wú)窮維控制量問題；② 由于變形引起的氣動(dòng)模型數(shù)據(jù)和動(dòng)力學(xué)模型維度增加，計(jì)算量呈級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，優(yōu)化求解困難?，F(xiàn)有研究對(duì)該問題涉及較少。

本文第1節(jié)給出了變體飛行器動(dòng)力學(xué)通用模型，并給出原始問題的數(shù)學(xué)模型。第2節(jié)針對(duì)原問題求解困難，首先采用Karhunen-Loève展開方法對(duì)變形域進(jìn)行空間離散，將其轉(zhuǎn)化為有限維度控制參數(shù)和幾何模態(tài)描述，將原問題轉(zhuǎn)化為有限維度最優(yōu)控制問題；然后，利用Kriging方法構(gòu)造了與變形控制參數(shù)相關(guān)的氣動(dòng)性能參數(shù)代理模型，解決直接采用氣動(dòng)數(shù)值計(jì)算方法的計(jì)算困難；最后，應(yīng)用hp偽譜法構(gòu)造了該最優(yōu)控制問題的求解過程。第3節(jié)針對(duì)某翼型可分布式變形的飛行器算例，實(shí)現(xiàn)全彈道上翼型隨時(shí)間變形規(guī)律的優(yōu)化。

1 分布式變體最優(yōu)控制問題

分布式變體飛行器的特點(diǎn)是可以實(shí)現(xiàn)多自由度連續(xù)變形，最優(yōu)控制的目的是找到最適合當(dāng)前飛行任務(wù)的變形規(guī)律，使得其相對(duì)某種指標(biāo)具有最優(yōu)性。在給出該最優(yōu)控制問題的求解方法之前，首先考慮變形導(dǎo)致的氣動(dòng)力作用于飛行器引起飛行軌跡的變化，給出變體飛行器一般動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上提出最優(yōu)控制問題。

1.1 變體飛行器動(dòng)力學(xué)模型

變體飛行器的飛行概念如圖2所示。不考慮地球旋轉(zhuǎn)和地球曲率，具有分布式變體特征的飛行器在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的動(dòng)力學(xué)模型可統(tǒng)一表示為

(1)

圖2 變體飛行示意圖Fig.2 Morphing procedure during flight

L=qSCL(Ma,y,α,Ω)

D=qSCD(Ma,y,α,Ω)

(2)

式中：q為飛行動(dòng)壓；S為參考面積；CL、CD分別為升、阻力系數(shù)，與飛行狀態(tài)(馬赫數(shù)Ma、迎角α、高度y)以及變形域Ω相關(guān)。

1.2 最優(yōu)控制問題

飛行器變體的目的是通過改變外形以最優(yōu)的方式適應(yīng)飛行環(huán)境和完成既定的任務(wù)，是一個(gè)典型的優(yōu)化問題。對(duì)式(1)所示的動(dòng)力學(xué)模型，該優(yōu)化問題可描述為

1) 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)變體飛行器執(zhí)行任務(wù)的不同，目標(biāo)函數(shù)的選擇不同。但其一般表達(dá)式為

(3)

式中：γ(·)和K(·)為與終點(diǎn)條件和過程相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)；f(t)為運(yùn)動(dòng)軌跡；tf為任務(wù)結(jié)束時(shí)刻；u為控制變量。如以燃料消耗最少作為設(shè)計(jì)指標(biāo)，則目標(biāo)可簡(jiǎn)化表示為

(4)

2) 控制變量

Ω∈[Ωmin,Ωmax]}

(5)

式中：下標(biāo)max和min分別表示控制變量的上下邊界。對(duì)變形函數(shù)Ω，其上下邊界由變形執(zhí)行機(jī)構(gòu)的可達(dá)行程和變形結(jié)構(gòu)材料的可變形程度決定。

3) 狀態(tài)變量

狀態(tài)變量s反映了任意時(shí)刻飛行器的狀態(tài)，由控制變量決定，可表示為

s={θ∈[θmin,θmax]，x∈[xmin,xmax]，

y∈[ymin,ymax]，m∈[mmin,mmax]，

V∈[Vmin,Vmax]}

(6)

4) 約束模型

變體飛行器在飛行過程中受到動(dòng)壓q、法向過載ny、起點(diǎn)和終點(diǎn)狀態(tài)變量等約束限制。約束變量c表示為

ny=|Lcosα+Dsinα|/(mg)≤nymax,

(7)

式中：ρ為大氣密度；下標(biāo)0和f分別表示起點(diǎn)和終點(diǎn)條件；上標(biāo)*表示狀態(tài)變量的約束值。

至此，建立起考慮變形函數(shù)Ω(t)的分布式變體飛行器的動(dòng)力學(xué)模型和最優(yōu)控制問題，可表述為：在狀態(tài)變量s遵循動(dòng)力學(xué)方程式(1)，以及滿足約束c的前提下，獲得最佳的控制變量隨時(shí)間變化規(guī)律u*(t)，使得目標(biāo)函數(shù)J最小化。

2 分布式變體最優(yōu)控制方法

1.2節(jié)提出的是一個(gè)典型的最優(yōu)控制問題。由于變形域Ω(t)是曲線或曲面隨時(shí)間變化的函數(shù)，因此控制變量在空間上具有無(wú)窮維度。現(xiàn)有的最優(yōu)控制問題求解方法包括直接法或間接法，主要針對(duì)有限維度控制變量如何進(jìn)行求解，不能解決無(wú)窮維度控制變量的優(yōu)化問題。本文研究思路是通過構(gòu)造一種空間上的離散方法，將函數(shù)Ω轉(zhuǎn)換為有限維度變形控制變量描述，從而將原問題轉(zhuǎn)化為有限維控制變量的最優(yōu)控制問題。以下將基于Karhunen-Loève(K-L)展開方法[24]進(jìn)行離散。

相對(duì)一般飛行器的最優(yōu)控制問題，變形控制變量的存在增加了氣動(dòng)分析的維度，將會(huì)使得氣動(dòng)計(jì)算量呈級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，給優(yōu)化問題求解帶來(lái)嚴(yán)重的計(jì)算負(fù)擔(dān)。本文提出采用Kriging方法構(gòu)建代理模型解決該問題。

以上兩個(gè)問題解決后，可以按照一般最優(yōu)控制問題處理。本文采用hp自適應(yīng)偽譜方法進(jìn)行求解。

2.1 基于K-L展開的變形控制變量離散

對(duì)于一個(gè)曲面或者曲線，可直接將其離散成有限個(gè)控制結(jié)點(diǎn)，通過改變控制結(jié)點(diǎn)位置來(lái)對(duì)曲面或曲線進(jìn)行變形。控制結(jié)點(diǎn)數(shù)即為可變形的維度。對(duì)隨時(shí)間變化的曲面,有

Ω(x,y,z;t)=0

(8)

將其離散成s個(gè)隨時(shí)間變化的坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)：

ni(t)∈Ω(x,y,z;t)=0 (9)

每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都是一個(gè)獨(dú)立的變形維度，其變形過程可以表示為

ni(t)=ni(0)+Δni(t)

(10)

式中：ni(0)為結(jié)點(diǎn)i的初始坐標(biāo)；Δni(t)為結(jié)點(diǎn)i在t時(shí)刻相對(duì)初始坐標(biāo)的變形量。

首先將變形量Δni(t)描述為一隨機(jī)場(chǎng)量ψ(n,t)，(n,t)表示空間坐標(biāo)和時(shí)間變化，通過將其展開為協(xié)方差方程的特征函數(shù)(正交函數(shù))的無(wú)窮維線性組合[25]，并采用一組基本模態(tài)和對(duì)應(yīng)特征值描述該場(chǎng)量，則控制變量數(shù)可減少為模態(tài)數(shù)。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間的變化可以表示為

Δni(t)=ψi(n,t)·ni

(11)

式中：ni為結(jié)點(diǎn)i的單位法向量；ψi(n,t)為變形的隨機(jī)場(chǎng)量在i點(diǎn)的分量。

隨機(jī)場(chǎng)量ψ(n,t)可表示為

(12)

式中：λ1≥λ2≥…≥λi≥…≥0和zi分別為協(xié)方差函數(shù)的特征值和特征向量。任意兩離散結(jié)點(diǎn)i、j的協(xié)方差函數(shù)可表示為

(13)

Xi(t)作為非相關(guān)隨機(jī)變量，均值為0，方差為1。ψ0(n)是隨機(jī)場(chǎng)的均值，對(duì)于表示變形量的隨機(jī)場(chǎng)來(lái)說，ψ0(n)=0。

在L∞(Γ)×L2(O)中，若特征值衰減得很快，則可取式(12)中前d項(xiàng)ψd精確表示ψ：

(14)

(15)

至此，將原無(wú)窮維度的變形函數(shù)Ω(t)變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為由d維變量控制的變化規(guī)律。

以RAE2822翼型外形參數(shù)為例，對(duì)上述方法進(jìn)行驗(yàn)證。將翼型外形離散成192個(gè)離散點(diǎn)，選擇前163個(gè)離散點(diǎn)進(jìn)行變形。協(xié)方差函數(shù)選擇為

圖3 翼型離散后計(jì)算的特征值Fig.3 Eigenvalues of discrete airfoil

圖4 前9個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的翼型模態(tài)Fig.4 Airfoil modalities of the top 9 eigenvalues

2.2 變體飛行器氣動(dòng)代理模型建立方法

D=qSCD(Ma,y,α,X)

L=qSCL(Ma,y,α,X)

(16)

相對(duì)一般飛行器的氣動(dòng)力模型，由于引入了d個(gè)變形控制變量，將會(huì)給最優(yōu)控制問題求解帶來(lái)極其嚴(yán)重的計(jì)算負(fù)擔(dān)。若在每個(gè)變形控制變量取M個(gè)點(diǎn)，則插值點(diǎn)的數(shù)量增長(zhǎng)為非變體飛行器的Md倍。為了解決該問題，本文利用拉丁超立方抽樣(Latin Hypercube Sampling，LHS)[26]和Kriging法[27]結(jié)合的方法，建立與變形控制變量相關(guān)的氣動(dòng)代理模型，可以大幅縮減氣動(dòng)計(jì)算維度。所采用步驟如圖5所示。

首先采用LHS方法，在變量X(t)=[X1(t)X2(t) …Xd(t)]組成的試驗(yàn)空間取N個(gè)樣本點(diǎn)X1,X2,…,XN，步驟如下：

步驟1將每個(gè)變量i的區(qū)間[Xi,min,Xi,max]分為N個(gè)子區(qū)間，在取樣時(shí)以相同概率選擇每個(gè)子區(qū)間。

步驟3重復(fù)步驟2，直到抽取N個(gè)變形控制變量樣本點(diǎn){X1,X2,…,XN}。

以CD為例，可采用Kriging方法得到任意未采樣點(diǎn)的預(yù)測(cè)值：

(17)

圖5 氣動(dòng)代理模型建立步驟Fig.5 Steps of aerodynamic surrogate model

2.3 基于hp偽譜方法的最優(yōu)控制問題求解

通過2.1節(jié)的離散，將原最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限維度的最優(yōu)控制問題，可以采用直接法或間接法進(jìn)行求解。對(duì)變體飛行器氣動(dòng)非線性較強(qiáng)的軌跡優(yōu)化問題，為了加快求解時(shí)的收斂速度，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行無(wú)量綱處理。結(jié)合2.2節(jié)構(gòu)造的氣動(dòng)代理模型，最終得到的動(dòng)力學(xué)模型為

(18)

式中：“—”表示該變量的無(wú)量綱形式。

考慮到該問題控制變量維度較高，設(shè)計(jì)空間復(fù)雜，選擇直接法中計(jì)算性能較高的hp自適應(yīng)偽譜方法[29-30]。首先在一系列Gauss點(diǎn)上將控制變量u和狀態(tài)變量s離散，并以這些離散點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式來(lái)近似控制變量和狀態(tài)變量，可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為具有一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問題，即非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。對(duì)優(yōu)化算法，選擇計(jì)算效率較高的序列二次規(guī)劃方法。

2.4 求解流程

綜上，本文研究的分布式變體飛行器最優(yōu)控制問題求解流程如圖6所示。主要步驟包括：

圖6 分布式變體飛行器最優(yōu)控制問題求解流程Fig.6 Flow chart of solution for optimal control distributed morphing flight vehicle

步驟3采用hp自適應(yīng)偽譜法，對(duì)變形域的參數(shù)化模型在時(shí)間維度進(jìn)行離散，對(duì)整個(gè)飛行軌跡進(jìn)行一種考慮分布式變體的優(yōu)化求解，以達(dá)到最優(yōu)的性能(如最小燃料消耗量)。

3 變翼型飛行器算例

假設(shè)某變翼型飛行器的翼型采用可分布式變形的RAE2822翼型，翼的平面形狀為平直翼，外形如圖7所示。該算例的任務(wù)目標(biāo)是通過同時(shí)控制發(fā)動(dòng)機(jī)燃油消耗、迎角以及翼型的變形過程，使得其以最節(jié)省的燃油量從給定地點(diǎn)到達(dá)指定地點(diǎn)。如圖8所示，飛行器可以有多條飛行軌跡完成這樣的飛行任務(wù)，而如何選擇一條最優(yōu)的軌跡來(lái)達(dá)到目標(biāo)參數(shù)最優(yōu)，是一個(gè)典型的最優(yōu)控制問題。

圖7 平直翼變翼型飛行器Fig.7 Morphing airfoil of straight wing aircraft

圖8 變翼型飛行器飛行軌跡規(guī)劃Fig.8 Flight path design for morphing airfoil aircraft

算例的主要參數(shù)如表1～表3所示。該算例主要用于驗(yàn)證第2節(jié)發(fā)展的方法，利用建立的變體飛行器動(dòng)力學(xué)模型，以燃料消耗量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，研究在大海拔跨度條件下，利用基于K-L展開的變翼型方法和基于hp自適應(yīng)偽譜法的最優(yōu)控制方法對(duì)變翼型飛行器性能的提高，并與采用固定翼型飛行器的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。為了突出主要因素，忽略由于機(jī)翼變形引起的機(jī)體的升、阻力變化，且假設(shè)沒有橫向氣流流動(dòng)。在優(yōu)化問題中，飛行器的氣動(dòng)特性變化主要與翼型的變形相關(guān)。

表1 控制變量Table 1 Control parameters

表2 狀態(tài)變量Table 2 State parameters

表3 約束模型Table 3 Constraint model

3.1 RAE2822翼型變形描述

為了探究K-L展開應(yīng)用于翼型變形的效果，如2.1節(jié)所述方法，只取前2個(gè)特征值和特征向量來(lái)表示隨機(jī)場(chǎng)ψ，可得

(19)

選取X1(t)、X2(t)作為變形控制變量，以式(19)得到的ψ(n,t)作為變形量，沿著翼型離散點(diǎn)的法線方向變形，即

(xi,yi)new=(xi,yi)old+ψi·ni

(20)

圖9顯示了初始RAE2822翼型和當(dāng)X1=-0.002、X2=0.006時(shí)的變形情況。注意翼型的尾部不發(fā)生變形，以此來(lái)保證氣動(dòng)計(jì)算時(shí)的收斂。

圖9 初始RAE2822和變形后的RAE2822翼型Fig.9 Original and transformed RAE2822 airfoils

3.2 氣動(dòng)代理模型構(gòu)造結(jié)果

優(yōu)化過程中，2個(gè)變形控制變量的區(qū)間取為[-0.006,0.006]。利用LHS方法，抽取N=20個(gè)點(diǎn)，抽樣結(jié)果如圖10所示。

圖10 變形參數(shù)LHS結(jié)果Fig.10 LHS results of morphing parameters

對(duì)初始RAE2822翼型和樣本點(diǎn)上的變形RAE2822翼型，利用CFD計(jì)算工具FLUENT計(jì)算氣動(dòng)力系數(shù)CD和CL數(shù)據(jù)庫(kù)。計(jì)算所用黏流模型為sutherland，湍流模型為SSTk-Ω模型，離散方法為L(zhǎng)east Squares Cell Based，二階迎風(fēng)格式。圖11為RAE2822的2D結(jié)構(gòu)氣動(dòng)網(wǎng)格。

利用Kriging方法，選用高斯模型作為變異函數(shù)模型，選用二階多項(xiàng)式作為回歸模型，建立氣動(dòng)代理模型，可得到各個(gè)飛行狀態(tài)下不同變形控制變量(X1(t),X2(t))的氣動(dòng)代理模型。圖12給出Ma=0.4、飛行高度H=0 km、α=4°時(shí)CL的代理模型結(jié)果，白色小球表示樣本點(diǎn)?？梢?，代理模型結(jié)果與樣本點(diǎn)吻合得很好。

圖11 RAE2822翼型的2D結(jié)構(gòu)氣動(dòng)網(wǎng)格Fig.11 2D structured aerodynamic grid of RAE2822 airfoil

圖12 升力系數(shù)代理模型Fig.12 Surrogate model of lift coefficient

3.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

利用hp自適應(yīng)偽譜方法對(duì)變翼型飛行器和固定翼型飛行器的軌跡進(jìn)行優(yōu)化。圖13和圖14分別給出固定翼型飛行器和變翼型飛行器的控制變量和狀態(tài)變量曲線圖?？梢钥闯觯胔p偽譜法得到的彈道優(yōu)化結(jié)果與基于最優(yōu)控制變量積分的彈道一致，證明了hp方法應(yīng)用于變體飛行器最優(yōu)控制的可行性。另外，從優(yōu)化結(jié)果可以看出，變翼型飛行器和固定翼型飛行器優(yōu)化結(jié)果均達(dá)到了設(shè)計(jì)要求，完成飛行任務(wù)目標(biāo)的時(shí)間分別為75.7 s和72.5 s。

從圖15和圖16可以看出，在整個(gè)飛行過程中，變翼型飛行器的速度比固定翼型飛行器的速度慢，迎角也較小，且沒有達(dá)到8°的上界，變翼型飛行器在較小速度和較小迎角的條件下，依然可以完成飛行任務(wù)?？梢姡円硇惋w行器的升力有所提高，采用較小的迎角即可完成給定任務(wù)，從而減小了飛行器的阻力。圖17顯示變翼型飛行器和固定翼型飛行器最終的質(zhì)量分別為43 000 kg和42 801 kg。變翼型飛行器燃料消耗比固定翼型飛行器節(jié)省了2.76%。

圖13 固定翼型飛行器控制變量和狀態(tài)變量?jī)?yōu)化結(jié)果Fig.13 Optimization results of control and state variables of fixed airfoil aircraft

圖14 變翼型飛行器控制變量和狀態(tài)變量?jī)?yōu)化結(jié)果Fig.14 Optimization results of control and state variables of morphing airfoil aircraft

圖15 變翼型與固定翼型飛行器速度對(duì)比Fig.15 Comparison of velocities of morphing airfoil aircraft and fixed airfoil aircraft

圖16 變翼型與固定翼型飛行器迎角對(duì)比Fig.16 Comparison of angles of attack of morphing airfoil aircraft and fixed airfoil aircraft

從圖18可以看出，在飛行初始階段，由于和固定翼型飛行器相比，變翼型飛行器發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量較小，導(dǎo)致推力較小，且變翼型飛行器速度和迎角較小，故其彈道高度在飛行初始階段較固定翼型飛行器彈道高度低，如圖19所示。而由于變翼型飛行器改善了不同飛行條件下的升阻力，變翼型飛行器在飛行任務(wù)后半段上升速度較快，僅比固定翼型飛行器的飛行時(shí)間超出3.2 s即完成了飛行任務(wù)。

圖20給出在不同飛行階段最優(yōu)翼型與固定翼型的對(duì)比，c為弦長(zhǎng)，h為厚度。雖然在本算例中，由于變形控制變量的變化范圍較小，翼型的可變形范圍也較小，但依然減小了飛行器的燃料消耗量。

圖17 變翼型與固定翼型飛行器質(zhì)量對(duì)比Fig.17 Comparison of masses of morphing airfoil aircraft and fixed airfoil aircraft

圖18 變翼型與固定翼型飛行器質(zhì)量流量對(duì)比Fig.18 Comparison of mass flow rates of morphing airfoil aircraft and fixed airfoil aircraft

圖19 變翼型與固定翼型飛行器縱向?qū)ΨQ平面彈道對(duì)比Fig.19 Comparison of trajectories of morphing airfoil aircraft and fixed airfoil aircraft of longitudinal symmetry plane

圖20 變翼型飛行器翼型隨時(shí)間變化Fig.20 History of airfoils of morphing airfoil aircraft during whole trajectory

4 結(jié) 論

隨著智能材料和驅(qū)動(dòng)技術(shù)的發(fā)展，分布式變體飛行技術(shù)的實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用已經(jīng)逐漸成為可能。但其帶來(lái)更高飛行性能的同時(shí)，也給飛行器帶來(lái)了如何進(jìn)行多維度控制的新問題。本文針對(duì)分布式變形規(guī)律設(shè)計(jì)問題，在建立的變體飛行器動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種最優(yōu)控制方法。利用Karhunen-Loève展開對(duì)分布式變體飛行器變形域進(jìn)行展開，將空間無(wú)限維的變形域轉(zhuǎn)換為少數(shù)變形控制變量的變化規(guī)律；結(jié)合拉丁超立方抽樣(LHS)和Kriging方法建立了分布式變體飛行器的氣動(dòng)代理模型，解決了控制變量維度增加帶來(lái)的氣動(dòng)計(jì)算問題；在時(shí)間維度上，利用hp自適應(yīng)偽譜方法對(duì)參數(shù)化的變形域進(jìn)行離散，并對(duì)飛行軌跡進(jìn)行最優(yōu)控制。最后以分布式變翼型飛行器為例，利用所建立的求解方法對(duì)其飛行軌跡進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到了最小燃料消耗量的優(yōu)化目的，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1) 采用基于Karhunen-Loève展開的變形控制變量離散，可以通過較少的變形控制變量對(duì)所有離散結(jié)點(diǎn)進(jìn)行變形，使其變形范圍不僅僅局限于幾種構(gòu)型，每一個(gè)參數(shù)化結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)都可以變化，具有了更大的自由度。隨著變形域離散結(jié)點(diǎn)增多，可以向更大范圍的變形設(shè)計(jì)空間發(fā)展。

2) 所建立的變體飛行器氣動(dòng)代理模型，僅需較少的樣本點(diǎn)就能夠擬合整個(gè)設(shè)計(jì)空間的氣動(dòng)參數(shù)，顯著降低了計(jì)算成本。

3) 對(duì)變翼型飛行器與固定翼型飛行器的最優(yōu)控制問題進(jìn)行了分析，對(duì)比結(jié)果顯示采用通過分布式變翼型最優(yōu)控制，能以較小的速度和迎角完成同樣的飛行任務(wù)，減少了2.76%的燃料消耗量。

本文建立的方法對(duì)分布式變體飛行器具有共性，能擴(kuò)展到機(jī)體/彈體等更為復(fù)雜的變體形式，為未來(lái)變體飛行技術(shù)發(fā)展提供參考和支持。由于目前所采用的算例主要是為了驗(yàn)證方法的可行性，因此選擇的變形控制變量較少，且變形控制變量約束范圍較小，優(yōu)化對(duì)飛行性能的提升較為有限。在實(shí)際工程應(yīng)用中，為了更精確地表示分布式變形的特點(diǎn)，應(yīng)選取更多特征值來(lái)表示整個(gè)變形域的參數(shù)化模型，以提高變形自由度，使其在滿足計(jì)算成本約束的前提下，最大程度地發(fā)揮變體飛行的優(yōu)勢(shì)。另外，現(xiàn)有變形方法對(duì)大變形量的處理還存在一定問題，限制了變體對(duì)飛行性能的提高，需要進(jìn)一步改進(jìn)變形方法。

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