任意角的尺規(guī)等分

黃正洪

【摘要】若把尺規(guī)作圖的作業(yè)放入三維的空間，在多一個(gè)維度的配合下，多一份思緒的搓揉，也許比在二維的平面上更容易收獲心中之苦果.

【關(guān)鍵詞】任意角；尺規(guī)等分

從平面幾何常識(shí)中，我們知道任何一段弧都是某個(gè)已知圓周的一部分，言下之意，每段弧都有相應(yīng)的圓心角，且由此而知弧的任意等分即為相應(yīng)圓心角的任意等分，而圓心角的任意等分即為任意角的任意等分.遺憾的是好幾個(gè)世紀(jì)以來，關(guān)于角的等分情結(jié)，把本就不怎么平靜的數(shù)學(xué)港灣鬧騰得沸沸揚(yáng)揚(yáng)，但尺規(guī)作圖的業(yè)績(jī)卻仍然局限在無法將任意角進(jìn)行3等分、5等分、7等分、9等分……面對(duì)解不開的謎團(tuán)叫人傷感，但天下不心服之士，一代接一代，弄得頭昏腦漲于其間，累得疾病纏身于其后，辛然失落，不堪回首.有意思的是當(dāng)筆者駐足于山重水復(fù)的大自然間，面對(duì)藍(lán)的天，綠的地，靈感突然涌動(dòng)，想到若把尺規(guī)作圖的作業(yè)放入三維的空間，在多一個(gè)維度的配合下，多一份思緒的搓揉，也許比在二維的平面上更容易收獲心中之苦果.巧的是筆者從遐想里真的覓到了“藏寶”，因感覺思緒的表述還算清晰，如圖之示的內(nèi)容就留給有緣諸君.

（一）由于α2，α4，α8，α16，…都是α的2n等分角，這些角是我們能用尺規(guī)作圖的方法畫得出來的，而在α的2n等分角之間還存在諸如α3，α5，α6，α7，…這些角是我們目前還不能用尺規(guī)作圖的方法畫出來的.為解決此問題，本文把以隱形的1為分子，以連續(xù)的自然數(shù)為分母的α的分?jǐn)?shù)系數(shù)都簡(jiǎn)稱為α的真分?jǐn)?shù)系數(shù).

（二）在某平面上選取適當(dāng)長(zhǎng)的AB為底，分別以α2，α4，α8為頂角，作各自獨(dú)立的等腰三角形OAB，CAB，DAB.由于這組三角形松散地處在平面上，既無聯(lián)系，又無規(guī)律，人們實(shí)在不知如何進(jìn)行利用，這就是本文考慮將其放入空間直角坐標(biāo)系的原因.

（三）設(shè)頂角為α2，底邊長(zhǎng)為AB的等腰三角形OAB的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，腰OA與OY軸重合，底邊AB落在水平象限.定義此一特定位置的三角形為本文的基礎(chǔ)三角形.定義過O且垂直于水平象限的OZ軸叫立軸.定義OX軸叫水平軸.如此操作之后，我們研究的對(duì)象便在空間直角坐標(biāo)系中有了一個(gè)特殊的家.

（四）現(xiàn)在我們要將頂角為C，C為α4的等腰三角形CAB移進(jìn)空間特殊的家，移進(jìn)的方法是：以基礎(chǔ)三角形OAB的底AB不動(dòng)作為三角形CAB的底邊，以A為圓心，以獨(dú)立的等腰三角形CAB的腰為半徑，畫弧交立軸于C，連接CA，CB（由于在立體幾何中對(duì)CA=CB的證明很是容易，故我們?cè)诖讼壹右哉J(rèn)定），如此操作之后，頂角為α4的等腰三角形CAB就移進(jìn)了空間特殊的家，其頂角點(diǎn)C則同基礎(chǔ)三角形的頂角點(diǎn)O一樣在立軸上進(jìn)入攀升排隊(duì).

（五）與以上（四）的操作過程完全相同.現(xiàn)在我們要將頂角為α8的等腰三角形DAB也移進(jìn)空間特殊的家，此說即為，以上三個(gè)等腰三角形在水平象限都同底為AB，而其頂角點(diǎn)D則同頂角點(diǎn)O和C的情形一樣在立軸上進(jìn)入攀升排隊(duì).

由于底邊相等的等腰三角形，頂角越小的其高越長(zhǎng)，于是我們看到O，C，D在立軸上的位置一點(diǎn)比一點(diǎn)高.面對(duì)立軸上排隊(duì)頂點(diǎn)之攀升，我們的心中產(chǎn)生了一種特別的數(shù)學(xué)想象，此想象即為，我們要把D到O之間的距離看成一個(gè)特殊彈簧，并將之向下壓縮，且要壓縮到與C到O之間的距離一樣長(zhǎng)為止.在該過程中我們要理解：所有排序的頂角點(diǎn)都是在隨勢(shì)而下壓，而所有下壓的頂角點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等腰三角形的腰也是在隨勢(shì)而縮短，且要縮短到符合于新位置的等腰三角形的自然腰長(zhǎng)為止.在此一數(shù)學(xué)想象的操控下，對(duì)應(yīng)于D的α8頂角點(diǎn)已按要求被壓縮而增大到了對(duì)應(yīng)于C的α4的頂角點(diǎn)的位置上.由于C頂角點(diǎn)在下壓其間也是隨之而增大的，那么我們要問，對(duì)應(yīng)于C的α的真分?jǐn)?shù)系數(shù)此時(shí)變?yōu)榱硕啻竽兀恳韵率潜疚牡那笞鬟^程.

（六）欲求頂角點(diǎn)C在下壓后對(duì)應(yīng)的α的真分?jǐn)?shù)系數(shù)變?yōu)榱硕啻?，就必須求出C在壓縮而成的影像段中的具體位置.為此我們要在水平軸上找一點(diǎn)E，使OE=OC，此找點(diǎn)使得本來在立軸上的OD在壓縮之后的影像成為水平軸上的一段距離，由前面的操作知這段距離的端點(diǎn)E相當(dāng)于立軸上α4頂角點(diǎn).因O是基礎(chǔ)三角形的頂角點(diǎn)，知其對(duì)應(yīng)于α2，由于在α2到α4之間還存真分?jǐn)?shù)系數(shù)頂點(diǎn)α3，那么α3表示的是什么意思？對(duì)此我們的數(shù)理共識(shí)是：既然影像段的段段及點(diǎn)點(diǎn)都是由壓縮而來，說明它們與立軸上兩個(gè)攀升段的段段及點(diǎn)點(diǎn)就一定保持著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由于OC和CD的分界點(diǎn)是真分?jǐn)?shù)系數(shù)點(diǎn)α4，進(jìn)而知壓縮后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)無疑是一個(gè)隨壓縮而增大了的真分?jǐn)?shù)系數(shù)點(diǎn)，由于影像段之中只存在唯一的真分?jǐn)?shù)系數(shù)點(diǎn)α3，于是由對(duì)應(yīng)關(guān)系知α3就是這個(gè)影像段的分界點(diǎn).為便于敘述，設(shè)此分界點(diǎn)為F，且擬定如下用語：立軸上的OD是壓縮前的全長(zhǎng)、OC是壓縮前的局部，水平軸上的OE是影像段的全長(zhǎng)、OF是影像段中的對(duì)應(yīng)于OC的局部.根據(jù)影像縮放理念知：壓縮前的局部/壓縮前的全長(zhǎng)=影像段中的對(duì)應(yīng)局部/影像段的全長(zhǎng).于是可得比例式：

OC∶OD=OF∶OE.（1）

影像的縮放功能其實(shí)就是幾何學(xué)中的比例，本文的這種想象壓縮正是基于此一數(shù)學(xué)理念而設(shè)計(jì)，但在此一設(shè)計(jì)中存在著F點(diǎn)位置不明的缺陷，顯然此缺陷是本文的心病.所幸的是由于空間相交兩軸已夾出了一個(gè)角形平面，這平面促使我們想到要去構(gòu)造出一個(gè)輔助三角形，于是以攀升段和影像段為邊的空間三角形ODE飄然而出.有此輔助三角形凌空傲世，本文就有充分的條件來完成余下的作圖過程.

（七）在三角形ODE中，過OD邊上的C點(diǎn)作DE的平行線交OE于G，即有CG∥DE，于是由平行線分線段成比例定理可得下式：

OC∶OD=OG∶OE.（2）

將（1）代入（2）于是可得：

OG∶OE=OF∶OE.（3）

由（3）可解得：

OG=OF.（4）

由（4）而知G與F重合，此言下之意即為，由平行線的畫作而確定的G即為頂角點(diǎn)α3.此位置一旦明了，我們的心中馬上想到G對(duì)應(yīng)于立軸的情形.由于整個(gè)求作過程處在同一空間坐標(biāo)系中，于是知這情形可由兩種方案釋疑：（1）以O(shè)為圓心，以O(shè)G為半徑畫弧，設(shè)其交立軸的OC于H，則知H即為對(duì)應(yīng)于G的α3頂角點(diǎn)，這其實(shí)就是將水平軸按反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°而使G和H重合的情形，此說的另一層意思即為，H就是頂角為α3的等腰三角形的攀升頂角點(diǎn).（2）如果不旋轉(zhuǎn)水平軸，而是將基礎(chǔ)三角形繞OA邊也按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，那么此時(shí)的水平軸就變成了換一個(gè)方向視看的“立軸”，不言而喻，這新的位置關(guān)系與之前的設(shè)計(jì)一脈相承，因現(xiàn)時(shí)的“立軸”添增了人們所希望的信息，已然身價(jià)百倍，故我們感覺到（2）的方案更容易被人們理解.總之以上兩種方案都能達(dá)畫作的最終目的.為將就人們的視看習(xí)慣，本文還是以有過信息補(bǔ)充的立軸為準(zhǔn)來完成畫作.

（八）連接AH，BH，則頂角為α3的等腰三角形HAB已名正言順地進(jìn)入了空間的家，其頂角點(diǎn)H亦理所當(dāng)然地參與攀升排隊(duì).

（九）在那個(gè)某平面上，以AB為底，分別以A，B為圓心，以空間的HA或HB之長(zhǎng)為半徑，畫弧交于I點(diǎn)，連接IA，IB則等腰三角形IAB的頂角I即為α3.至此我們已三等分了任意角α.

（十）在三等分任意角α的基礎(chǔ)之上，我們發(fā)現(xiàn)了一種任意角的任意等分的簡(jiǎn)便方法.不妨就以α5的尺規(guī)畫作來表述這一操作情形.命令：所有已知和未知的等腰三角形的真分?jǐn)?shù)系數(shù)頂點(diǎn)都必須實(shí)際或虛擬而在立軸上進(jìn)入攀升排隊(duì).然后過欲求點(diǎn)α5前一點(diǎn)C，即過α4點(diǎn)作水平軸CX.CX軸存在的另一含義為：等腰三角形CAB已成為新的、提高了一個(gè)位置的基礎(chǔ)三角形（后文中遇此情形不再另做說明）.現(xiàn)在我們從新基礎(chǔ)三角形的頂角點(diǎn)出發(fā)，在立軸上向上數(shù)出以α5，α6，α7，α8為端點(diǎn)的四個(gè)段來向下進(jìn)行壓縮.為什么要取四個(gè)段來進(jìn)行壓縮呢？這是因?yàn)樗膫€(gè)段可看成兩個(gè)大段，而兩大段的分界點(diǎn)一定是偶數(shù)分母已知點(diǎn)，譬如，此處的α6就是本文的偶數(shù)分母已知點(diǎn)（它是α3的二分點(diǎn)），設(shè)此點(diǎn)為J.由前之所證同一情形，知J對(duì)應(yīng)于壓縮段的欲求點(diǎn)，如此便為本文的求證工作創(chuàng)造了條件.由于第四段的端點(diǎn)D對(duì)應(yīng)α8，當(dāng)我們將D向下壓縮且壓縮到α6為止時(shí)，則知D的α8頂點(diǎn)已增大而成α6頂角點(diǎn)了，由于J在此其間是隨之而下壓的，那么J的α6頂角點(diǎn)在下壓時(shí)的增大的情形又是怎樣的呢？為此我們要在CX軸上找一點(diǎn)K使得CK=CJ，當(dāng)然我們知此K即為CX軸上的α6頂角點(diǎn)，因已知C對(duì)應(yīng)于α4，且知在α6到α4之間還存在α5頂角點(diǎn)，這一情形，理同于前文中的三等分任意角的畫作，于是我們知這個(gè)點(diǎn)就是壓縮而成的兩個(gè)段的分界點(diǎn)，設(shè)這個(gè)分界點(diǎn)為L(zhǎng)，則知L即為α5，雖然此點(diǎn)的真分?jǐn)?shù)系數(shù)為已知，但其具體位置卻不知，而這未明位置點(diǎn)的求作過程正是我們之前所看重過的欲求點(diǎn)的求作過程，于是根據(jù)影像縮放的設(shè)計(jì)理念可得：

CJ∶CD=CL∶CK.（5）

由于空間兩軸已確定了一個(gè)平面，這使我們想到要去連接DK，于是以被壓縮段和壓縮段為邊的空間三角形CDK飄然而出，于是我們就有了求此欲求點(diǎn)的手段：過J作DK的平行線交CX軸的CK于M點(diǎn)，即有JM∥DK，由平行線分線段成比例定理可得下式：

CJ∶CD=CM∶CK.（6）

將（5）代入（6）得：

CL∶CK=CM∶CK.（7）

由（7）可解得：

CL=CM.（8）

由（8）知L與M重合，此言下之意即為，由平行線的畫作而確定的M點(diǎn)即為α5頂角點(diǎn).此位置一旦明了，我們的心中馬上想到M點(diǎn)對(duì)應(yīng)于立軸的情形.由于整個(gè)求作過程處在同一空間坐標(biāo)系中……于是按之前操作過的同一模式，我們能在平面上畫出這個(gè)頂角為α5的等腰三角形，此情形即為本文已五等分了任意角α.

（十一）與以上（十）的求作過程完全相同.過對(duì)應(yīng)于α6（此點(diǎn)是α3的二分已知點(diǎn)）的頂角點(diǎn)J作水平軸JX，同時(shí)從立軸的J開始向上數(shù)四個(gè)段，即以α7（欲求點(diǎn)），α8（已知點(diǎn)），α9（未參與運(yùn)算點(diǎn)），α10（此點(diǎn)是α5的二分已知點(diǎn)）為端點(diǎn)的四段來進(jìn)行壓縮……此情形即為本文已七等分了任意角α.

（十二）與以上（十一）的求作過程完全相同.過對(duì)應(yīng)于α10（此點(diǎn)是α5的二分已知點(diǎn)）的頂點(diǎn)N作水平軸NX，同時(shí)從立軸的N開始向上數(shù)四個(gè)段，即以α11（欲求點(diǎn)），α12（此點(diǎn)是α6的二分已知點(diǎn)），α13（未參與運(yùn)算點(diǎn)），α14（此點(diǎn)是α7的二分已知點(diǎn)）為端點(diǎn)的四段來進(jìn)行壓縮……此情形即為本文已十一等分了任意角α.

以上證明過程一脈相承，都是用已知點(diǎn)畫求未知點(diǎn)的方式層層推進(jìn).如此之后，十三等分、十七等分……及所有欲求頂角點(diǎn)都會(huì)逐一變成畫作已知點(diǎn).我們能層層推進(jìn)的理由是：由于欲求點(diǎn)的上下點(diǎn)的α系數(shù)的分母是偶數(shù)，而偶數(shù)至少可改寫成某數(shù)的2倍，則知分出的奇數(shù)小于正在畫作的未知分母，言下之意即為，此某數(shù)者必為已畫求過的已知點(diǎn)，故用上述方法我們可逐一求得所有欲求真分?jǐn)?shù)系數(shù)頂角點(diǎn).至此α角的任意等分的畫作表述完畢，請(qǐng)有緣審閱諸君為之雕圓補(bǔ)潤(rùn)，從而使此一尺規(guī)作圖作業(yè)能以更完美的姿態(tài)面世.