淺談學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的習(xí)慣

孫恒來

【摘要】數(shù)學(xué)概念是反映事物在量或形方面本質(zhì)屬性的抽象思維形式.各種數(shù)學(xué)能力，如運算、邏輯思維、空間想象能力等，都以概念為基礎(chǔ).但很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)不重視，或只限于一知半解，把“會解題”作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一目的，導(dǎo)致在后續(xù)學(xué)習(xí)中很難有提升空間，或在解題中經(jīng)常出現(xiàn)一些概念性的錯誤，而無法得到有效糾正.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；策略；理解；表述

數(shù)學(xué)概念是指反映事物在量或形方面本質(zhì)屬性的抽象思維形式.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本點，是邏輯導(dǎo)出定理、公式、法則的出發(fā)點，是建立理論系統(tǒng)的著眼點.同時，它又是學(xué)生認知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維的起點.

一、概念學(xué)習(xí)的策略

概念形成主要依靠對感性材料的抽象概括，而概念同化則主要依靠對感性經(jīng)驗的抽象概括.因此，感性材料或經(jīng)驗是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素.相應(yīng)的概念學(xué)習(xí)策略，具體從以下幾方面來看：

（一）直觀模型的運用

表示概念的符號，除語言文字外，還采用一種與概念相“匹配”的特殊視覺符號——直觀模型.直觀模型相對于語言媒介來說，直觀，易于從知覺上加以理解，使學(xué)生迅速正確理解概念的內(nèi)涵.甚至，僅憑直觀模型，也能迅速理解把握概念，這是語言媒介所不及的.從心理學(xué)角度分析，當(dāng)概念與表達概念的直觀模型緊密地結(jié)合在一起時，這一直觀模型將作為概念的代表物貯存在記憶中.當(dāng)遇到與某一概念相匹配的直觀模型時，就能直接領(lǐng)會與之相應(yīng)概念的本質(zhì)特征.當(dāng)需要從記憶系統(tǒng)中提出某個可利用的概念時，常常先再現(xiàn)與之相應(yīng)的直觀模型，然后再進一步喚起對符號意義的回憶.因而，直觀圖形是知覺的重要媒介，它對學(xué)生掌握一類事物的本質(zhì)特征，具有十分重要的意義.

（二）變式策略

數(shù)學(xué)概念的抽象、獨立、邏輯性強等特點，常常會造成學(xué)生在概念學(xué)習(xí)時以偏概全的現(xiàn)象.所以，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，所呈現(xiàn)的例子應(yīng)從不同的方面體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，使學(xué)生達到對數(shù)學(xué)概念的充分理解.從語言學(xué)角度來說，“詞感優(yōu)先于詞義”，只有培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念語言的詞感，才能使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念充分掌握.

（三）正反例的明智組合

“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于鑒別的信息.”在對概念進行舉例時，為突出概念的本質(zhì)屬性，減少學(xué)習(xí)困難，應(yīng)選取典型的概念例證，幫助我們在概念學(xué)習(xí)中抓住本質(zhì)屬性，理解概念的各個方面.而反例的適當(dāng)使用可以使學(xué)生對概念的理解更加精確，并且還可排除無關(guān)屬性的干擾，從另一個方面抓住數(shù)學(xué)概念或規(guī)則的本質(zhì)，彌補正面闡述中的不足.

二、數(shù)學(xué)概念的理解

1.列舉典型，正反例比較：當(dāng)正面事例和反面事例有明顯的區(qū)別時，列舉典型實例，辨析概念.

2.利用圖形、關(guān)鍵詞等：借助形使概念形象化，通過對關(guān)鍵詞的分析習(xí)得概念.

3.用自己的語言表述：如果學(xué)生自己用言語來表述相關(guān)屬性，能更好地習(xí)得概念，且較容易把它應(yīng)用于新的情境.學(xué)生若能用言語來表示無關(guān)屬性，也能從中得益.

4.操作實物或模型：學(xué)生若能操縱實物或模型，比只讓他們觀看更容易習(xí)得概念.

5.及時反饋：反饋越是完整，學(xué)習(xí)效果越好.學(xué)生若能知道自己對錯原因，將有助于學(xué)習(xí).學(xué)生反饋信息要精確、完整，任何模棱兩可的信息或錯誤信息，都會干擾概念學(xué)習(xí).

6.充分思考：在學(xué)生學(xué)習(xí)概念時，必須為他們提供足夠的時間來同化給予他們的信息.

7.融會貫通：許多概念是相互聯(lián)系在一起習(xí)得的.所以理解概念要縱橫聯(lián)系、比較，達到融會貫通、靈活運用的目的.

三、數(shù)學(xué)語言的表述

從心理學(xué)角度看，語言表述實質(zhì)上是個體內(nèi)化（獲得）以后的外化（理解），整個學(xué)習(xí)過程，就是個體內(nèi)化與外化，具體與抽象螺旋式前進的認知過程.要將頭腦中的概念傳遞出來，或者在已有概念的基礎(chǔ)上形成高層次的概念，必須借助語言和符號表示.因此，采用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)策略，準確地進行數(shù)學(xué)語言的表述，不僅直接影響到邏輯推理的進行，也影響到數(shù)學(xué)概念的形成.另外，學(xué)生能夠用自己的語言正確地敘述概念，解釋概念所揭示的本質(zhì)屬性，這是學(xué)生深刻理解概念的一種標志.

數(shù)學(xué)語言其形式從廣義上來講可分為文字語言、符號語言、圖形語言三種形式.同一個數(shù)學(xué)概念用文字語言表示則生動，用符號語言表示則簡練，用圖形語言表示則直觀形象，但有些概念又可能用文字語言表示過于煩冗，用符號語言表示又嫌抽象，而圖形表達有時又未必全面.學(xué)生必須學(xué)會將一種語言翻譯成另一種語言.在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，各種形式之間的“轉(zhuǎn)譯”是數(shù)學(xué)語言表述的重要策略之一.從轉(zhuǎn)移的途徑來看，主要有：（1）數(shù)學(xué)語言之間的相互轉(zhuǎn)化.如，將文字語言、符號語言轉(zhuǎn)譯成圖形語言，以形助數(shù)，即“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用：將文字語言、圖形語言轉(zhuǎn)譯成符號語言，即“符號化”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等等；（2）用習(xí)慣的形式符號（語言）來描述新概念.用習(xí)慣的形式符號和語言來描述新概念，意味著學(xué)生對概念的內(nèi)涵和外延都有了比較準確和全面的理解，順利地建立起了符號（語言）與概念的實質(zhì)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生在看到新符號時就能夠聯(lián)想起符號所代表的概念及其本質(zhì)特征.從轉(zhuǎn)移的過程來看，轉(zhuǎn)移策略實際是發(fā)揮了語言在不同抽象層次上的作用，普通語言的通俗、具體；圖形語言的直觀、形象；符號語言的抽象化、形象化、精確化，使思維活動進行了若干次“具體—抽象—具體”的轉(zhuǎn)折，因而，有助于數(shù)學(xué)概念的理解.