2017年新課標高考平面向量試題分析及教學思考

彭鋒　陳勇　王紅敏

[摘 要] 對2017年各地高考數(shù)學試卷中的平面向量試題的題型、分值、知識點和難度及試題特點進行了分析，在此基礎(chǔ)上提出了平面向量的教學思考.

[關(guān)鍵詞] 2017年高考；平面向量；試題分析；教學思考

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）指出，向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，有著極其豐富的實際背景，常與其他數(shù)學知識緊密相連. 命題者依據(jù)《課標》的要求，把平面向量作為考點進行命題，考查考生對高中數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握和熟練程度，考查考生對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)的理解水平. 本文對2017年新課標高考數(shù)學試卷（上海卷除外）中平面向量試題的考查特點進行分析，并提出平面向量的教學思考.

各地區(qū)試卷對平面向量考查的題型、分值、知識點和難度統(tǒng)計

從表1可以看出，2017年高考數(shù)學對平面向量知識的考查題目個數(shù)分布是8套試卷1題、5套試卷2題、1套試卷3題，差異不大. 從題型的角度看，選擇題在6套試卷中出現(xiàn)了平面向量題，分值為4或5分；填空題在10套試卷中出現(xiàn)平面向量題，分值為5或6分；全國Ⅱ卷文理科、江蘇卷、山東卷文科出現(xiàn)了與解答題有關(guān)的平面向量題，分值為12或14分. 總之，雖然2017年高考平面向量在選擇題、填空題與解答題均有涉及，但還是以選填題為主.

從新課標全國卷和自主命題試卷來看，平面向量在14套試卷的選、填空題方面都有出題，且江蘇卷出現(xiàn)了2道填空題，浙江卷出現(xiàn)了一道選擇題和一道填空題. 不管是新課標全國卷，還是自主命題卷，幾乎都是以小題的形式考查.

從文理科卷來看，文科卷共有14題，總分為93分，占每套試卷分值的4.41%；理科卷共12題，總分為76分，占每套試卷分值的3.60%，可見，平面向量知識雖然在高考中占的比例較少，但每年都是必考題，因此是高考數(shù)學考查的重要內(nèi)容之一.

從試題的難度看，大部分試題難度為易，主要考查基礎(chǔ)知識和基本技能，以直接應(yīng)用為主，北京卷文理、天津卷文理、江蘇卷出現(xiàn)了中檔題，全國Ⅱ卷文理、全國Ⅲ卷理、江蘇卷、浙江卷中出現(xiàn)了較難的題.

從平面向量的考點分布看，2017年平面向量主要考查了平面向量的基本概念，平面向量的線性運算，平面向量的基本定理及坐標表示，平面向量的數(shù)量積，利用平面向量研究夾角、距離、平行和垂直，平面向量的應(yīng)用等. 結(jié)合《2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》對平面向量考查的要求[1]，發(fā)現(xiàn)對于考綱中要求的，2017年高考幾乎都有涉及，但向量的投影未直接涉及，應(yīng)引起重視.

各地區(qū)試卷對平面向量知識考查的試題特點分析

1. 以考查向量的基本概念、基本性質(zhì)及坐標運算為主

《課標》中明確寫道：“通過實例，掌握向量加、減法運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；能用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系”[2]，而2017年的平面向量考題命題者正是按照《課標》的要求重點考查了平面向量的模，平面向量的加、減運算，平面向量的平行與垂直，平面向量的數(shù)量積，向量的夾角公式等.

例1 （全國Ⅰ卷理13）已知向量a，b的夾角為60°，a=2，b=1，則a+2b=________.

解：a+2b2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×12=12，所以a+2b=2.

評注：本題主要考查了向量模的基本性質(zhì)，還考查了數(shù)量積.

例2 （全國Ⅰ卷文13）已知向量a=（-1，2），b=（m，1）. 若向量a+b與a垂直，則m=________.

解：由題得a+b=（m-1，3），因為（a+b）·a=0，所以-（m-1）+2×3=0，解得m=7.

例3 （全國Ⅲ卷文13）已知向量a=（-2，3），b=（3，m），且a⊥b，則m=______.

解：由題意得-2×3+3m=0？圯m=2.

例4 （山東卷文11）已知向量a=（2，6），b=（-1，λ），若a∥b，則λ=_______.

解： -6=2λ？圯λ=-3.

評注：平面向量數(shù)量積是研究垂直、平行、向量夾角、投影的重要途徑，是考查重點.例2、例3、例4都從坐標的角度考查了向量垂直、平行.

例5 （全國Ⅱ卷文4）設(shè)非零向量a，b滿足a+b=a-b，則（ ）

A. a⊥b B. a=b

C. a∥b D. a>b

解：法1：從數(shù)的角度，由a+b=a-b平方得（a）2+2a·b+（b）2=（a）2-2a·b+（b）2，即a·b=0，則a⊥b，故選A.

法2：從形的角度，a+b，a-b分別表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線對應(yīng)的向量，可得答案A.

評注：法1運用了向量模的基本性質(zhì)，法2運用了向量加、減運算法則，這正體現(xiàn)了向量既有大小又有方向，是集數(shù)與形于一身的數(shù)學概念.

例6 （北京卷理6文7）設(shè)m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m=λn”是“m·n<0”的（ ）

A. 充分而不必要條件

B. 必要而不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

解：若λ<0，使m=λn，即兩向量方向相反，夾角是180°，那么

m·n=mncos180°=-mn<0，反過來，若m·n<0，那么兩向量的夾角為（90°，180°] ，并不一定反向，即不一定存在負數(shù)λ，使得m=λn，故選A.

評注：本題以命題的形式出現(xiàn)，重在考查向量的數(shù)乘、數(shù)量積與充分必要條件，題雖小，但思維容量大.

例7 （山東卷理12）已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是________.

解：（e1-e2）·（e1+λe2）=e12+λe1·e2-e1·e2-λe22=-λ，

e1-e2===2，

e1+λe2===，

所以-λ=2××cos60°=，解得：λ=.

評注：本題考查了向量的數(shù)量積、模、夾角公式. 其實本題考查的意圖是把e1，e2當作一組基，平面內(nèi)的任一向量都可以用這組基來表示. 另外，還可以令e1=（1，0），e2=（0，1）來解決此題.

例8 （浙江卷16）已知向量a，b滿足a=1，b=2，則a+b+a-b的最小值是________，最大值是________.

解：法1：設(shè)向量a，b的夾角為θ，由模長公式得：

a+b==，

a-b==，

則a+b+a-b=+. 令y=+，

則y2=10+2∈[16，20]，所以4≤y≤2，即a+b+a-b的最小值是4，最大值是2.

法2：如圖1，令a==（1，0），

b==（2cosθ，2sinθ），

a+b=+=+=，

a-b=-=，所以a+b+a-b表示M（2cosθ，2sinθ）到A（-1，0），B（1，0）的距離之和.

由法1知當M在P（0，2）時， a+b+a-b的最大值為2；當M在Q（2，0）時，a+b+a-b的最小值為4.

法3：同法1，令μ=5+4cosθ（1≤μ≤9），所以y=+.

因為μ+（10-μ）=10，可設(shè)=·cosα，=sinα，

且≤cosα≤，從而y=cosα+sinα=2sinα+.

又當cosα=時，sinα=， y=×+×=4；

當cosα=時，sinα=， y=×+×=4；

當α+=，即α=時，y=2.所以4≤y≤2，即a+b+a-b的最小值是4，最大值是2.

法4：令a+b=x，a-b=y，由a-b≤a±b≤a+b得1≤x≤3，1≤y≤3.

又a+b2+a-b2=2（a2+b2）=10，所以原命題轉(zhuǎn)化為“已知x，y滿足約束條件x2+y2=10，1≤x≤3，1≤y≤3，①，求x+y的取值范圍”，而①表示如圖2所示的劣弧AB. 令z=x+y，由簡單的線性規(guī)劃知識得當直線l：y=x-z平移到l1時，x+y取得最小值4；當l：y=x-z平移到l2即與劣弧AB相切時，x+y取得最大值2.

評注：本題主要考查了向量的模長公式與函數(shù)最值.法1、法3利用模長公式從函數(shù)的角度求得最值，但函數(shù)解析式含雙根號；法2從幾何的角度給法1的代數(shù)方法一個完美的解釋；法4利用了絕對值的三角不等式，再結(jié)合簡單的線性規(guī)劃進行處理，但思維要求較高.

2. 關(guān)注一個能編網(wǎng)的定理——平面向量基本定理

在中小學的數(shù)學學習的內(nèi)容中，能被命名為基本定理的只有三個：平面向量的基本定理、空間向量的基本定理、微積分基本定理.其中必修內(nèi)容中只有平面向量基本定理，后兩者也只出現(xiàn)在選修教材中，可見平面向量的基本定理在學生的數(shù)學學習中及學生進入高等院校后都有重要作用，因此是每年高考常考內(nèi)容之一. 這個定理給我們的啟示是平面內(nèi)的所有向量都可用基底表示，基底把不同的向量串聯(lián)起來，每個向量都存在于一個系統(tǒng)之中，猶如編織了一個網(wǎng)[3].

例9 （全國Ⅱ卷理12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則·（+）的最小值是（ ）

A. -2 B. -

C. - D. -1

解：法1（基底法）設(shè)=x+y，所以=+=-x-y+=（1-x）·-y，所以·（+）=2·= -2·=-2[（1-x）-y]（x+y）=-2[x（1-x）2+（1-x）y·-xy·-y22]=-2[3（1-x）x-y2]=6x2-6x+2y2=6x-+2y2-，所以當x=，y=0時，·（+）最小值為-.

法2（坐標法）如圖3，以BC的中點O為坐標原點，BC為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0），A（0，）. 設(shè)P（x，y），從而·（+）=（-x，-y）·（-2x，-2y）=2x2+2y2-2y=2x2+y--.

當P0，時，·（+）最小值為-.

評注：平面向量的基本定理提供了解決向量問題的一個基本思路，即選擇兩個不共線的非零向量作為基底，將向量用基底線性表示，再通過向量的運算求解問題.此題法1就是利用平面向量的基本定理選擇，為基底，將向量，，表示出來，問題就不難解決了，此處運用的是向量的符號語言.此外我們也可以建立直角坐標系，目的是選擇單位正交基底，將題中的點用直角坐標表示出來，再通過代數(shù)運算求解. 一般來說便于建立坐標系時我們通?？蛇\用向量的坐標求解，過程是便于操作的. 類似的問題，如全國Ⅲ卷理12，天津卷理13、文14，江蘇卷12都有涉及，以下便是其解法.

例10 （全國Ⅲ卷理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上. 若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（ ）

A. 3 B. 2

C. D. 2

解：法1（坐標法）如圖4所示. 設(shè)BD與⊙C切于點Q，連接CQ. 以A為原點，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立直角坐標系，則C點坐標為（2，1）. 顯然QC==，即⊙C的半徑為. 因為P在⊙C上，所以P點的軌跡方程為（x-2）2+（y-1）2=.

設(shè)P點坐標（x0，y0），則P點坐標滿足的參數(shù)方程為x0=2+cosθ，y0=1+sinθ，

而=（x0，y0），=（0，1），=（2，0）.

因為=λ+μ=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ），

所以μ=x0=1+cosθ，λ=y0=1+sinθ.

兩式相加得：

λ+μ=1+sinθ+1+cosθ=2+sin（θ+φ）=2+sin（θ+φ）≤3.

（其中sinφ=，cosφ=），所以λ+μ取得最大值3.

法2（基底法）

顯然=4，=+=+=+（-）=+，

所以=-=λ+μ-+=λ-+μ-.

又=--，

所以=+=--+λ-+μ-=（λ-1）+（μ-1），

所以·=[（λ-1）+（μ-1）]·--

=-（λ-1）2-（μ-1）2= -（λ+μ）+，

而·=×cos〈，〉≥-，

所以-（λ+μ）+≥-，即λ+μ≤3，故λ+μ取得最大值3.

例11 （天津卷理13、文14）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若=2，=λ-（λ∈R），且·=-4，則λ的值為______.

解析：法1（坐標法）建立如圖5所示的平面直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），C（1，），所以=（3，0），=（1，）.

又=+=（3，0）+（1，）=，，=λ（1，）-（3，0）=（λ-3，λ），所以·=（λ-3）+2λ=-4？圯λ？芊.

法2（基底法）·=3×2×cos60°=3，=+ ，

則

·=+·（λ-）=×3+×4-×9-×3=-4？圯λ=.

例12 （江蘇卷12）如圖6，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°. 若=m+n（m，n∈R），則m+n=______.

解析：法1（基底法）由tanα=7可得sinα=，cosα=，所以cos（α+45°）=-，

從而·=，·=1，·= -. 又·=·（m+n），·=·（m+n），

所以=m-n，1=-m+n，解得m=，n=，故m+n=3.

法2（坐標法）以O(shè)為原點，方向為x軸正方向建立直角坐標系，

則A（1，0），C，，B-，，因為=m+n，所以，=m（1，0）+n-，，

所以m-n=，n=，解得m=，n=，故m+n=3.

3. 關(guān)注知識間的交叉命題

因為兼具數(shù)與形的雙重身份，平面向量經(jīng)常承載著代數(shù)與幾何溝通的紐帶功能，所以高考數(shù)學經(jīng)常以平面向量為載體和溝通媒介，成為數(shù)學的一個重要的知識交匯點.2017年平面向量從下列幾種形式交叉命題.

（1）與邏輯推理判斷交匯.如北京卷理6文7，此題只需知道充分必要條件的概念，其考查的主干知識還是平面向量.

（2）與三角函數(shù)知識交匯. 通常是借助平面向量的語言表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，其實質(zhì)是三角函數(shù)問題；另一種就是用三角函數(shù)知識解決平面向量問題，如江蘇卷16，浙江卷10，山東卷文17.

（3）與解析幾何知識交匯. 通常平面向量知識只是給出幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，即以平面向量知識作為條件呈現(xiàn)，或在解題時利用平面向量的思想和方法解決問題，從而體現(xiàn)向量的工具作用，如全國Ⅱ卷文理20、北京卷文12、江蘇卷13.

例13 （北京卷文12）已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為（-2，0），O為原點，則·的最大值為_________.

解： 法1：·=·cosθ≤·≤2×（2+1）=6，故最大值是6.

法2：設(shè)P（x，y），=（2，0），=（x+2，y），所以·=2x+4，又-1≤x≤1，故·的最大值為6.

例14 （江蘇卷13）在平面直角坐標系xOy中，A（-12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上，若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是______.

解：設(shè)P（x，y），則=（-12-x，-y），=（-x，6-y），

所以·=50+12x-6y≤20，即2x-y+5≤0.

由2x-y+5=0，x2+y2=50，得x=-5，y=-5，x=1，y=7，

又由2x-y+5≤0表示的平面區(qū)域，及P點在圓上，可得點P橫坐標的取值范圍為[-5，1]

例15 （江蘇卷10）如圖7，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記I1=·，I2=·，I3=·，則（ ）

A. I1

C. I3

解：設(shè)∠ABD=θ，∠BOC=α，∠COD=β，易知0°<θ<45°，90°<β<180°，OA

在△AOD中，由正弦定理得：==，

所以=？圯==sin（α+θ）.

又（90°-θ）+α+45°=180°？圯α=θ+45°，所以=sin（2θ+45°）.

又45°<2θ+45°<135°，所以>×=1？圯OD>OB.

所以I1-I3=cosβ-·cosβ=（-）·cosβ>0，從而I1>I3；I2-I1=（-）=（t）（t>0）=tcosα，

又45°<α=θ+45°<90°，所以I2-I1>0？圯I2>I1，故選C.

評析：例13、例14是平面向量與圓交匯，例15是平面向量與解三角形交匯，通過平面向量的坐標表示，將平面向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，既考查了圓的知識和方法，又考查了平面向量的基本方法，充分體現(xiàn)了與其他知識內(nèi)容融會貫通，揭示了數(shù)學中化歸思想的深刻內(nèi)涵.解決此類問題有時需將平面向量坐標化，從而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，但有時需要反其道而行，將平面向量幾何化，直接分析其幾何背景，兩種方法各有千秋，都需認真理解. 類似思想的解答題如全國Ⅱ卷文20理20、江蘇卷16、山東卷文17，這里不再敘述.

平面向量教學思考

根據(jù)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)，高考題對平面向量的考查主要是圍繞向量的基本概念、基本運算和運用向量研究夾角、距離、平行和垂直等，但有的試題與其他方面的知識相結(jié)合，對于學生靈活運用向量知識解決問題的能力在不斷加強.因此在平時的教學中：

1. 注重向量基本概念與運算

2017年高考數(shù)學中的平面向量題目，緊扣考綱考查向量的基本概念與運算，雖然試題千變?nèi)f化，但都以基礎(chǔ)知識、基本能力、基本思想、基本活動經(jīng)驗為基礎(chǔ). 所以在教學中，要以課標為基礎(chǔ)，圍繞教科書，緊扣考綱，對重點內(nèi)容重點復(fù)習，夯實基礎(chǔ)知識.

2. 注重向量思想方法

向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，使得與向量有關(guān)試題的呈現(xiàn)方式豐富多彩，表達問題和解決問題的方式靈活多樣. 在平時教學中要建立向量及其運算與幾何圖形之間的關(guān)系，利用向量的代數(shù)運算研究幾何問題的基本思想，特別注重數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，包括將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再通過向量的坐標轉(zhuǎn)化化歸為函數(shù)解析關(guān)系，最后通過運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系.

3. 注重向量的平面幾何意義

向量既有形的特征又有數(shù)的特點，一般解決平面向量問題都會首先聯(lián)想到平面向量的幾何意義，特別是向量加法的平行四邊形和三角形法則. 此外還要掌握運算法則、共線向量定理等幾何意義，常見的數(shù)量積為零聯(lián)想到垂直，不共線的單位向量的和聯(lián)想到角平分線、菱形，不共線的兩向量和的一半聯(lián)想到三角形的中線等. 由數(shù)聯(lián)想到平面幾何形的特征，通過有效轉(zhuǎn)化進而解答問題.

4. 注重向量知識的交匯

平面向量考查除了綜合平面向量基本定理、數(shù)量積等內(nèi)部知識外，還與三角函數(shù)、解三角形、解析幾何、不等式、數(shù)列等知識的交匯處設(shè)計綜合問題. 教師在平時的教學中要加強向量與相關(guān)知識的聯(lián)系性，使學生明確研究向量的基本思路.向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象.作為代數(shù)對象，向量可以運算；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點、線、面），利用向量的夾角可以與三角函數(shù)發(fā)生關(guān)系，利用向量的?？梢钥坍嬮L度、面積、體積等幾何度量問題.教師應(yīng)當充分關(guān)注到向量的這些特點，引導(dǎo)學生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中學習向量.

參考文獻：

[1] 教育部考試中心. 2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標準實驗）[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[2] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[3] 楊平，趙青，張玉蘭. 觀2013年各地向量考題，說2014年向量復(fù)習建議[J]. 中學數(shù)學雜志，2013（11）：46—48.

[4] 張定強，閆佳潔. 2016年全國高考試卷中“數(shù)列”試題分析[J]. 中學數(shù)學（高中版），2016（11）：21—23.