如何求解含參問題

華明江

含參數(shù)的圓問題與橢圓的離心率問題，是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，一般是中檔題或難題，常處于小題壓軸把關(guān)位置，研究這類問題的解法很有必要.

一、圓的問題

首先我們來看含有參數(shù)的圓綜合問題.這一類問題由于含有了參數(shù)，所以圖形也就不固定了，也就是通常所說的動(dòng)起來了.在動(dòng)的問題中，其本質(zhì)就是化動(dòng)為定.與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題通常轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的一類問題.

在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓.正因?yàn)閳A的定義決定了圓具有獨(dú)特的幾何性質(zhì)，圓中動(dòng)點(diǎn)問題的處理也有別于橢圓和雙曲線.將動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)中一種常見的處理手段，在圓當(dāng)中這一方法就顯得格外突出.此題就是將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題.

評(píng)析 這道題有兩道坎，第一就是為什么會(huì)想到求M點(diǎn)的軌跡？題目需要使得∠OPM=30°，而O是原點(diǎn)，P在直線上動(dòng)，唯獨(dú)不清楚M在哪條曲線上動(dòng)，所以就不難想到要探尋M的軌跡.第二是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P和M分別在直線和圓上運(yùn)動(dòng)，這個(gè)時(shí)候我們一般都把圓上的點(diǎn)先作為動(dòng)點(diǎn)，而把直線上的點(diǎn)P先看作定點(diǎn).這樣可以先對(duì)圓上的動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣第二個(gè)難點(diǎn)就也突破了.

評(píng)析 由于C₂的半徑r變化，所以圓C₁與圓C₂的位置關(guān)系是動(dòng)態(tài)的，為保證圓C₂存在一點(diǎn)P，使得PA=2AB，這里弦長(zhǎng)AB的變化引起線段PA的變化，將問題轉(zhuǎn)化為利用PC₁的取值范圍（點(diǎn)C₁為定點(diǎn)）求半徑r的范圍，就水到渠成了.

通過以上例題我們發(fā)現(xiàn)直線與圓的動(dòng)點(diǎn)問題其核心就是轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化通常將圓上動(dòng)點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為與圓心的距離問題，倘若有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)在不同曲線上運(yùn)動(dòng)，通常先將其中一個(gè)作為主元（動(dòng)點(diǎn)），其余的暫時(shí)視為定點(diǎn)，而往往又先將圓上的動(dòng)點(diǎn)作為主元，因?yàn)閳A上動(dòng)點(diǎn)往往可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

二、橢圓的離心率

橢圓離心率問題的本質(zhì)就是求橢圓方程中a，b，c之間的關(guān)系式，求值就是求等量關(guān)系，求范圍就是尋求不等關(guān)系.問題的難點(diǎn)就是這個(gè)關(guān)系的尋找.

分析 此題為求橢圓離心率范圍，也就是求a，b，c的不等關(guān)系.題設(shè)條件中△ABC是銳角三角形，畫圖后我們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)△ABC是一個(gè)等腰三角形，所以只需要頂角是銳角即可，接著三角形中角的范圍就可以轉(zhuǎn)化為邊的不等關(guān)系.

分析 這題求離心率范圍，應(yīng)該尋求a，b，c的不等關(guān)系.題目中并沒有直白的不等關(guān)系，這里面的不等關(guān)系只能從構(gòu)成等腰三角形的條件入手.

通過上述題目，我們發(fā)現(xiàn)求橢圓離心率值或范圍時(shí)，核心是尋求a，b，c間的等量與不等量關(guān)系.有些關(guān)系是題目明確給你的，而有些關(guān)系則是隱性的.在尋求隱性關(guān)系時(shí)，常常要關(guān)注構(gòu)成三角形的條件、橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等等.在平時(shí)學(xué)習(xí)中多研究、多歸納、多總結(jié)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)原來許多題目并沒有像表面上那么困難，當(dāng)你找到問題的本質(zhì)時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)解題能獲得很多樂趣.endprint