基于組合函數(shù)的腳踝康復(fù)機器人軌跡規(guī)劃*

廖志煒，張 俊，盧宗興，姚立綱

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福建 福州 350116)

0 引 言

作為人體中負重最大的關(guān)節(jié)，踝關(guān)節(jié)對人們的日常生活具有重要影響[1]。腳踝康復(fù)訓(xùn)練是指患者借助輔助器材的幫助，在合理的工作空間內(nèi)完成特定運動，進而促進受損部位的修復(fù)。為滿足腳踝康復(fù)的需要，學(xué)術(shù)界近年來提出了多種腳踝康復(fù)裝置。例如，Giorne等[2]研制了一種可遠程控制、帶有虛擬現(xiàn)實并能進行力反饋的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人系統(tǒng)。DAI等[3-4]研制了具有3-SPS/SP和3-SPS/S拓撲構(gòu)型的少自由度踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，可實現(xiàn)跖屈/背屈、內(nèi)翻/外翻運動。Takemura等[5]研制了一種基于Stewart結(jié)構(gòu)的可穿戴式踝足康復(fù)訓(xùn)練機器人，其可通過調(diào)節(jié)6個氣缸的壓力來控制患者踝關(guān)節(jié)的運動。Xie等人[6]開發(fā)了一種通過控制氣動肌肉制動器(PMA)來實現(xiàn)康復(fù)運動的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人。Stuart等[7]提出了一種踝關(guān)節(jié)矯形康復(fù)器串聯(lián)機構(gòu)，可實現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的背屈/跖屈運動和旋前/旋后運動。Yoon等[8]提出了一種可重構(gòu)的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，可滿足不同運動特性的需求。劉穎超[9]提出了一種氣動驅(qū)動的6自由度并聯(lián)踝關(guān)節(jié)康復(fù)機器人，并對該機器人的運動學(xué)、動力學(xué)以及不同康復(fù)階段的康復(fù)策略進行了研究。曾達幸等[10]提出了一種新型并聯(lián)式解耦踝關(guān)節(jié)康復(fù)機構(gòu)，并運用旋量理論對該機構(gòu)進行了運動學(xué)及相關(guān)性能的分析。

對于康復(fù)機器人而言，其軌跡規(guī)劃至關(guān)重要。規(guī)劃合理的軌跡，可使康復(fù)裝置具有較好的運動平穩(wěn)性和較小的啟停沖擊，從而避免對患者造成二次傷害。學(xué)術(shù)界圍繞機器人的軌跡規(guī)劃，做了大量研究。其中，擺線加速度規(guī)律由正弦函數(shù)和一次項組成，在啟、停階段具有較好的平穩(wěn)性，但其最大加速度值偏大，致使機構(gòu)運動過程中的動量較大[11-12]。樣條函數(shù)形式的加速度規(guī)律可保證機構(gòu)運動的平穩(wěn)性，可避免在啟停階段的抖動。常用的樣條函數(shù)包括3次樣條曲線、4次樣條曲線、B樣條曲線等[13-16]。另外，為避免單一函數(shù)的缺點，已有研究者推出了一系列組合函數(shù)的驅(qū)動模式，田西勇等[17]將兩種不同頻率的正弦函數(shù)組合，提出了一種加速度為組合正弦函數(shù)的軌跡規(guī)劃方法。Ma等[18]基于H20仿人機器人手臂，提出了一種由不同頻率的擺線和余弦函數(shù)組成的軌跡規(guī)劃方法。盧君宜等[19]提出了一種加速度為組合正弦函數(shù)的軌跡規(guī)劃方法應(yīng)用于農(nóng)業(yè)采摘機器人，并與簡單的擺線函數(shù)、樣條函數(shù)進行對比。徐達等[20]提出將三次多項式與五次多項式進行組合應(yīng)用于彈藥裝填機器人。綜上所述，近年來組合函數(shù)軌跡規(guī)劃方法的研究為解決單一函數(shù)存在的缺點提供了參考。但現(xiàn)有研究大多應(yīng)用于一些工業(yè)用途的串聯(lián)機器人，對于康復(fù)領(lǐng)域，特別是一些以并聯(lián)機構(gòu)為基礎(chǔ)的康復(fù)機器人的應(yīng)用相對較少，實際上，康復(fù)機器人的軌跡需要精心規(guī)劃，合理的規(guī)劃軌跡可以減少裝置對患者的沖擊，避免二次損傷，對于患者的康復(fù)極為重要。

有鑒于此，本文以一種混聯(lián)式腳踝康復(fù)機構(gòu)為對象，提出一種采用擺線函數(shù)和矩形函數(shù)相組合的康復(fù)軌跡。

1 機構(gòu)描述與運動學(xué)分析

1.1 機構(gòu)描述

課題組前期研制的混聯(lián)式腳踝康復(fù)機器人如圖1所示。

圖1 混聯(lián)式腳踝康復(fù)機器人1—連接桿；2—搖桿；3—動平臺；4—踏板；5—推桿；6—支撐桿；7—齒條；8—齒輪；9—旋轉(zhuǎn)平臺；10—步進電機；11—基臺

由圖1可知，該混聯(lián)式腳踝康復(fù)機器人由連接桿(1)、搖桿(2)、動平臺(3)、踏板(4)、推桿(5，5′，5″，5?)、支撐桿(6)、齒條(7)、齒輪(8)、旋轉(zhuǎn)平臺(9)、步進電機(10)以及基臺(11)組成。其中，患者足底與機構(gòu)踏板接觸；推桿(5?)、齒條、齒輪、轉(zhuǎn)動平臺、支撐桿、搖桿、連接桿以及動平臺組成該機構(gòu)的串聯(lián)部分；通過推桿(5?)的運動、齒條齒輪傳動，帶動轉(zhuǎn)動平臺繞Z軸旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)腳踝的外展/內(nèi)收運動。基座、3個推桿(5，5′，5″)、動平臺、支撐桿、搖桿以及連接桿組成該機構(gòu)的并聯(lián)部分；通過3個推桿(5，5′，5″)的上下運動帶動動平臺繞X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)，實現(xiàn)腳踝的內(nèi)翻/外翻運動和跖屈/背屈運動。

考慮到腳踝康復(fù)運動主要以跖屈/背屈、內(nèi)翻/外翻運動為主，且該混聯(lián)式腳踝康復(fù)機器人的串聯(lián)部分較為簡單，下文僅以該機器人的并聯(lián)部分為對象，開展并聯(lián)部分的運動學(xué)及軌跡規(guī)劃研究。

1.2 運動學(xué)逆解

為方便建模和表述，下文將3個推桿(5，5′，5″)分別用字母(A、B、C)來表示。并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)逆解問題，就是已知動平臺的位姿，求出推桿A、B、C的位移P1、P2、P3。

通過對并聯(lián)部分的結(jié)構(gòu)分析，可給出該部分的機構(gòu)運動簡圖如圖2所示。

圖2 并聯(lián)機構(gòu)運動簡圖S，T—基臺和動平臺的中心點，兩者間的距離設(shè)為h；l1，l2，l3—各推桿在基臺和動平臺間的長度

本研究在基臺中心點S處建立固定坐標(biāo)XYZ。

由圖2可知，各推桿與動/基平臺間構(gòu)成封閉的幾何回路。如推桿A與動/基平臺構(gòu)成的幾何封閉支鏈1為(S-A1-A2-T)；推桿B與動/基平臺構(gòu)成的幾何封閉支鏈2為(S-B1-B2-T)。推桿C與動/基平臺構(gòu)成的幾何封閉支鏈3為(S-C1-C2-T)。根據(jù)各支鏈幾何關(guān)系，本文以支鏈1作為研究對象，來建立并聯(lián)部分的運動學(xué)逆解模型。

由于該并聯(lián)部分只實現(xiàn)腳踝繞X軸轉(zhuǎn)動的內(nèi)翻/外翻運動和繞Y軸轉(zhuǎn)動的跖屈/背屈運動，需限制其繞Z軸的轉(zhuǎn)動，即繞Z軸的轉(zhuǎn)動角度θ3為0。假定機構(gòu)動平臺依次繞Z、Y、X軸旋轉(zhuǎn)完成運動，即：

R=Rot(X，θ1)Rot(Y，θ2)Rot(Z，θ3)

(1)

展開得：

(2)

以支鏈1為研究對象，可以得到：

(3)

另有：

(4)

(5)

上式展開后并求解可得：

(6)

同理可得推桿B、C的位移與末端動平臺位姿的關(guān)系式。最終可給出并聯(lián)部分運動學(xué)逆解的通式如下：

(7)

2 基于組合函數(shù)的軌跡規(guī)劃

為了保證機構(gòu)運動的平穩(wěn)性，啟停階段不能有速度、加速度的沖擊，且運動過程中位移、速度、加速度也應(yīng)緩慢變化。與此同時，機構(gòu)運動的最大加速度、最大速度、以及運動過程中的沖擊都要盡可能地小。這樣，才能保證機構(gòu)運動過程中的動量不會過大，振動不會過高。為此，本文采用加速度為擺線函數(shù)和矩形函數(shù)相組合的運動規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，進一步研究組合函數(shù)不同的分段模式對系統(tǒng)位移、速度、加速度、沖擊的影響規(guī)律。

本研究設(shè)定混聯(lián)式腳踝康復(fù)機器人的啟動和停止位姿時動平臺的運動角度分別為θb和θe，運動周期為T。根據(jù)上述條件可知：

θ(0)=θb，θ′(0)=0，θ″(0)=0
θ(T)=θe，θ′(T)=0，θ″(T)=0

(8)

2.1 基于擺線函數(shù)的軌跡規(guī)劃

(9)

故可假設(shè)加速度函數(shù)的表達形式如下：

(10)

根據(jù)分段函數(shù)中連續(xù)性的要求，可以依次得到速度函數(shù)、位移函數(shù)、沖擊函數(shù)如下：

(11)

(12)

(13)

代入邊界條件，可得K1=π/18。

2.2 基于組合函數(shù)的軌跡規(guī)劃

矩形函數(shù)雖有較小的最大加速度，但其啟停階段有加速度的階躍變化，而擺線函數(shù)的最大加速度雖較大，但卻有較好的連續(xù)性。因此，筆者綜合兩者的優(yōu)點將加速度函數(shù)設(shè)計成一種組合分段函數(shù)，其中擺線函數(shù)的1/n周期由矩形函數(shù)的定值K2代替。

加速度函數(shù)的表達式：

(14)

速度函數(shù)的表達式：

(15)

位移函數(shù)表達式：

(16)

沖擊函數(shù)表達式：

(17)

3 擺線與不同組合函數(shù)性能對比

本研究比較擺線函數(shù)與不同組合函數(shù)的位移、速度、加速度以及沖擊函數(shù)曲線。由于曲線的對稱性，下文只截取1/4周期的變化曲線進行對比分析，其結(jié)果如圖3～6所示(其圖例中，不同組合函數(shù)括號中的數(shù)表示其組合方式，例：“組合函數(shù)(1/n)”表示該組合函數(shù)有1/n周期是由矩形函數(shù)構(gòu)成的)。

圖3 位移對比圖

如圖3所示，從位移的變化曲線來看，幾種軌跡規(guī)劃的位移曲線在啟停階段變化緩慢，而在1/8周期處(3 s)快速增長。不同組合方式下的組合函數(shù)和擺線函數(shù)的位移曲線近似一致，隨著n值的增大，位移曲線在啟停階段愈加平緩。n→∞時組合函數(shù)的曲線與擺線函數(shù)相重合。所以從位移對比圖來看，組合函數(shù)軌跡規(guī)劃具有較好的啟停平穩(wěn)性。

圖4 速度對比圖

如圖4來看，幾種軌跡規(guī)劃的速度曲線差別也不大，組合函數(shù)的n值越大，曲線在啟停階段愈加平緩，1/16周期處(1.5 s)速度快速增長，1/8周期處(3 s)速度達到最大。n→∞時組合函數(shù)與擺線函數(shù)重合。從速度曲線也可以看出，組合函數(shù)軌跡規(guī)劃具有相對較好的啟停平穩(wěn)性。

圖5 加速度對比圖

如圖5所示，從加速度曲線來看，組合函數(shù)驅(qū)動的加速度曲線最大值相對于擺線函數(shù)較小，且隨著n值的增大，最大加速度越大。相比于擺線函數(shù)，組合函數(shù)加速度的減少量與運動角度的變化幅值U有關(guān)。以1/2周期為矩形函數(shù)的組合函數(shù)加速度曲線為例，其最大無量綱加速度約為0.14，而擺線函數(shù)的最大無量綱加速度為0.18。而加速度最大值是衡量機構(gòu)動力學(xué)特性的重要指標(biāo)之一，最大加速度越大，機構(gòu)的最大慣性力就會越大。因此，雖然位移曲線和速度曲線兩種軌跡相似，但是相比于擺線，組合函數(shù)函數(shù)作為驅(qū)動，機構(gòu)的動力學(xué)特性更優(yōu)。

圖6 沖擊對比圖

如圖6所示，從沖擊曲線來看，相比于擺線函數(shù)，組合函數(shù)驅(qū)動的最大剛性沖擊雖然略微大一些，但在整個運動周期中，組合函數(shù)只是在啟始階段和中間一段會產(chǎn)生沖擊。因此，相比于擺線函數(shù)，采用組合函數(shù)形式驅(qū)動的機構(gòu)運行穩(wěn)定性要更好些。

綜上所述，基于擺線函數(shù)和矩形函數(shù)的組合函數(shù)不僅在位移和速度上具有較好的啟停平穩(wěn)性，能夠滿足腳踝康復(fù)患者運動過程平穩(wěn)性的要求，而且可保證整個康復(fù)運動周期內(nèi)，機構(gòu)最大慣性力和沖擊均較小，從而提高機構(gòu)運行的穩(wěn)定性。

4 ADAMS仿真實驗分析

不妨以n=2的組合函數(shù)軌跡為例，基于ADAMS仿真軟件，探討前敘兩種函數(shù)驅(qū)動下各推桿的輸出規(guī)律與末端參考點的運動軌跡。研究表明，人體踝關(guān)節(jié)安全運動范圍如表1所示[21-22]。

表1 人體踝關(guān)節(jié)安全運動范圍

將各運動的安全范圍值代入驅(qū)動函數(shù)，可得不同康復(fù)運動下的運動曲線及各推桿相應(yīng)位移。篇幅所限，僅以跖屈/背屈運動為例，仿真主要流程如圖7所示。

圖7 跖屈/背屈運動仿真流程圖

由上述流程可得在不同函數(shù)驅(qū)動下，各推桿的位移、速度、加速度以及末端參考點的運動規(guī)律。

兩種組合函數(shù)驅(qū)動下，1/4個跖屈/背屈運動周期內(nèi)，各推桿位移、速度、加速度對比圖如圖8所示。

圖8 兩種函數(shù)驅(qū)動下推桿各參數(shù)對比圖

由圖8(a～b)可知，組合函數(shù)驅(qū)動患者腳踝進行跖屈/背屈運動時，位移和速度都與擺線差別不大，兩種方法均具有較好的平穩(wěn)性，啟停階段速度均為0，無階躍變換。但相比于擺線函數(shù)，如圖8(c)所示，雖然在仿真的過程中，由于存在接觸力約束，以及各推桿與動平臺之間的相互滑移，加速度曲線有一些波動，但根據(jù)基本變化規(guī)律，可得組合函數(shù)最大加速度相比于擺線函數(shù)減小近1 mm/s2。仿真實驗驗證了前述兩種函數(shù)驅(qū)動下各參數(shù)的變化規(guī)律。

將末端連接桿(1)與搖桿(2)的連接點O1作為參考點(如圖1所示)，考察其相對于原點O的運動規(guī)律，結(jié)果如圖9所示。

圖9 末端參考點運動軌跡

由圖9可知，末端參考點在動平臺進行跖屈/背屈運動過程中，以點O1(-135，0，0)作為節(jié)點，進行上下往復(fù)運動，上部和下部分別為動平臺進行跖屈運動和背屈運動時，參考點的軌跡。跖屈運動時，參考點從O1(-135，0，0)運動至O2(-118，0，68)，背屈運動時，參考點從O1(-135，0，0)運動至O2(-118，0，-68)。從參考點運動軌跡與原點之間的關(guān)系可知，通過3個推桿的相互配合運動，實現(xiàn)了機構(gòu)動平臺-30°～30°的跖屈/背屈運動。

5 結(jié)束語

基于新型混聯(lián)式腳踝康復(fù)機器人，本研究將傳統(tǒng)擺線函數(shù)與矩形函數(shù)相組合，提出了一種組合函數(shù)形式的軌跡規(guī)劃。

本研究通過構(gòu)建機構(gòu)并聯(lián)部分各支鏈封閉的幾何回路，對所提機構(gòu)的逆向運動學(xué)進行了研究，得到了各推桿與動平臺之間的關(guān)系。

與傳統(tǒng)擺線函數(shù)的軌跡規(guī)劃相比，本研究所提組合函數(shù)形式的軌跡規(guī)劃在保證機構(gòu)運動平穩(wěn)性的前提下，可減小機構(gòu)運動最大加速度，減小康復(fù)運動過程中的沖擊。

基于運動學(xué)逆解，本研究求出了跖屈/背屈運動下各推桿的輸出，并將其導(dǎo)入ADAMS仿真軟件中進行仿真實驗，得到了各推桿的位移、速度、加速度實際對比圖以及末端參考點的運動規(guī)律。

總之，本文提出了一種啟停平穩(wěn)性較好，最大速度/加速度、剛性沖擊較小的組合函數(shù)形式應(yīng)用于一種新型混聯(lián)式腳踝康復(fù)機構(gòu)，通過理論對比和實驗分析，驗證了該組合函數(shù)相比于傳統(tǒng)擺線函數(shù)的優(yōu)勢，為腳踝康復(fù)機器人的控制提供了基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

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