2014年湖北（理）函數(shù)壓軸題的另解研究

☉湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 黃 衡

現(xiàn)有的2014年湖北?。ɡ恚└呖?jí)狠S題的解法都是將第（1）問(wèn)的結(jié)論作為第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)的引理，直接推導(dǎo)得出后面的結(jié)論.筆者在認(rèn)真思考后，發(fā)現(xiàn)還有多種不同的解法，比如放縮法和構(gòu)造函數(shù)法等.原題如下：

題目 π為圓周率，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；

（3）將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

第（1）問(wèn)屬于“套路題”，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義來(lái)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，這里不再累述.第（2）問(wèn)的實(shí)質(zhì)在于判別并證明ab與ba（a，b∈R+）之間的大小.利用第（2）問(wèn)的判別結(jié)論，第（3）問(wèn)的考點(diǎn)則在于判別e3與πe的大小.

以下給出第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)的放縮法和構(gòu)造函數(shù)法的具體解答方法.

方法一：放縮法

根據(jù)已有的知識(shí)積累，我們知道對(duì)于任意的x，當(dāng)x＞0時(shí)，都有ex＞1+x和ln（1+x）＞兩式成立（.嚴(yán)格的證明可以將不等式的右邊項(xiàng)移到左邊后，將左邊項(xiàng)設(shè)為一個(gè)新的構(gòu)造函數(shù)，利用它們的一階導(dǎo)數(shù)在x＞0時(shí)的結(jié)論，證明它們?cè)诖藚^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增且恒大于零.此處證明省略）

第（2）問(wèn)的解答：利用ex＞1+x，判別ab與ba之間的大小.

根據(jù)題意，設(shè)e≤a＜b.因?yàn)閘ogba=alogb==

方法二：構(gòu)造函數(shù)法

第（2）問(wèn)的解答：利用構(gòu)造的函數(shù)P（x）=alnx-xlna，判別ax與xa之間的大小.

第（3）問(wèn)的解答：利用構(gòu)造的函數(shù)P（x）=elnx-x，判別e3與πe的大小.

至此，第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)都分別用放縮法和構(gòu)造函數(shù)法解答完畢.

總結(jié)：對(duì)于函數(shù)綜合題中常見(jiàn)不等式的證明及對(duì)特殊點(diǎn)處的估值等高考熱點(diǎn)，放縮法和構(gòu)造函數(shù)法都是破解它們常用的解析思路和方法.

1.2014年湖北省高考數(shù)學(xué)理科試題及解析.百度文庫(kù).

2.（美）M.R.施皮格爾，箸.施建兵，朱卓宇，等譯.全美經(jīng)典學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列——微積分［M］，北京：科學(xué)出版社，2002.F