探尋“變與不變”中的數(shù)學(xué)規(guī)律
——“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)案例及反思

江蘇南京市江寧科學(xué)園小學(xué) 張 偉

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是一節(jié)經(jīng)常被教師們選來進(jìn)行公開課執(zhí)教的課例，通常來說總會(huì)遵循以下幾個(gè)流程展開教學(xué)：先看圖寫出分?jǐn)?shù)，找到一些分子分母不同但大小相等的分?jǐn)?shù)，初步感知分?jǐn)?shù)間的相等關(guān)系；再通過操作活動(dòng)尋找與1/2相等的分?jǐn)?shù)，并寫出一組分?jǐn)?shù)相等的式子；接著組織學(xué)生觀察每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母的變化情況，以及分?jǐn)?shù)大小不變的事實(shí)，感受規(guī)律的客觀存在；最后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合探究感受，歸納出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

如上所述，學(xué)生確實(shí)能經(jīng)歷觀察、操作、思考、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，但在探索“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一規(guī)律時(shí)，學(xué)生幾乎都在教師主導(dǎo)下進(jìn)行著線性的學(xué)習(xí)，原本可以自然生長(zhǎng)、思維開放的過程被嚴(yán)重束縛，而學(xué)生的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、自我建構(gòu)顯得十分不足。為此，筆者重新進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生在“變與不變”中探尋分?jǐn)?shù)中藏著的特有規(guī)律，在觀察操作中獲得探究樂趣，在猜想驗(yàn)證中完成自我建構(gòu)，收到了良好的效果?，F(xiàn)選擇其中片段加以整理，與大家交流。

一、案例呈現(xiàn)

（一）談話引入

師：想一想，你們能找到兩個(gè)形式不同但大小相等的整數(shù)嗎？

生：找不到，每個(gè)整數(shù)的大小都各不相等。

師：是的，任何兩個(gè)形式不同的整數(shù)，它們的大小都不可能相等。那能找到兩個(gè)形式不同但大小相等的小數(shù)嗎？

生：可以的，比如0.2與0.20。

師：依據(jù)是什么？

生：小數(shù)的性質(zhì)。

師：我們最近學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，它可能有什么性質(zhì)呢？能找出兩個(gè)形式不同但大小相等的分?jǐn)?shù)例子來嗎？

（二）教學(xué)新知

1.揭示分?jǐn)?shù)相等的例子

師：看屏幕，從這個(gè)小故事中，你能發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等？

（課件出示猴媽媽分餅圖，兩只完全相同的餅，第一只小猴分得這塊餅的1/4，第二只小猴分得另一塊餅的2/8）

生：1/4=2/8。

師：接著看下面的涂色卡，能用分?jǐn)?shù)表示出涂色部分嗎？你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：2/6=3/9。

師：最后看這兩條數(shù)軸圖，能在數(shù)軸上描點(diǎn)表示出分?jǐn)?shù)3/4和6/8嗎？能想到什么呢？

（課件出示數(shù)軸圖，并依據(jù)學(xué)生發(fā)言標(biāo)出相應(yīng)分?jǐn)?shù)）

生：3/4=6/8。

師：根據(jù)上面三組分?jǐn)?shù)相等的例子，我們發(fā)現(xiàn)大小相同的分?jǐn)?shù)確實(shí)存在。

2.引導(dǎo)學(xué)生深入思考

師：是不是每個(gè)分?jǐn)?shù)都有和它相等的分?jǐn)?shù)呢？和它相等的分?jǐn)?shù)到底有多少個(gè)呢？咱們以1/2為例，找出與1/2相等的分?jǐn)?shù)。好嗎？

生（齊）：好！

提供學(xué)習(xí)研究材料（若干張相同大小的正方形紙片、數(shù)軸圖），并出示活動(dòng)要求：

①找與1/2相等的分?jǐn)?shù)。

②想辦法說明找到的分?jǐn)?shù)與1/2是相等的。

③小組里交流想法，選出代表準(zhǔn)備匯報(bào)。

師：你們找到哪些分?jǐn)?shù)與1/2相等呢？

生：2/4，4/8，8/16……有不少呢！

師：請(qǐng)小組派代表來匯報(bào)，是怎樣找到這些分?jǐn)?shù)的。

生1：我們是用兩張相同大小的正方形紙片，通過折出1/2與2/4，發(fā)現(xiàn)表示1/2和表示2/4的部分是一樣大的，說明1/2與2/4相等，并且用同樣的方法，我們還發(fā)現(xiàn)4/8和1/2、2/4都是相等的。

生2：在數(shù)軸圖上，1/2、2/4、4/8、8/16的位置是相同的，所以它們都是相等的。

生3：利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，我們可以得出1/2=1÷2=0.5、2/4=2÷4=0.5、4/8=4÷8=0.5、8/16=8÷16=0.5。

3.探索變化中的規(guī)律

（黑板上板書：1/2=2/4，1/2=4/8，1/2=8/16）

師：仔細(xì)觀察，每組等式中分?jǐn)?shù)的分子、分母變了嗎？是怎樣變化的？

生：1/2的分子和分母同時(shí)乘2，得到2/4。1/2的分子和分母同時(shí)乘4，得到4/8。1/2的分子和分母同時(shí)乘8，得到8/16。

師：從上面的例子，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：是的，從剛才1/2的例子中，確實(shí)有這樣的發(fā)現(xiàn)。那是不是所有的分?jǐn)?shù)，當(dāng)分子分母同時(shí)乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小都不變呢？

生1：是的！

生2：我覺得剛才只是以1/2為例有這樣的規(guī)律，其他分?jǐn)?shù)還不一定呢！

師：確實(shí)，在數(shù)學(xué)上僅憑一個(gè)特例就得出結(jié)論不夠嚴(yán)謹(jǐn)，也不科學(xué)。但我們可以將這個(gè)發(fā)現(xiàn)當(dāng)作一個(gè)猜想（在之前的結(jié)論后面打上一個(gè)“？”），下面我們來一起——

生：驗(yàn)證！

師：怎么驗(yàn)證呢？

生：我們可以舉任意一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分子、分母同時(shí)乘相同的數(shù)，看看大小變了沒有。

師：以“任意”分?jǐn)?shù)為例是不是更有代表性，更加有說服力了？

生：嗯，我們舉的例子應(yīng)該盡量全，將所有類型的分?jǐn)?shù)都包括進(jìn)來。

師：好，那我們就試著舉出些典型的分?jǐn)?shù)例子來！

（學(xué)生獨(dú)立舉例，有真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)）

師：誰(shuí)來交流一下你的例子？

生1：我寫的是2/5，將分子和分母同時(shí)乘以2后，得到4/10，通過畫圖，發(fā)現(xiàn)表示2/5的涂色部分和表示4/10的涂色部分一樣大，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小應(yīng)是相等的，符合我們的猜想。

師：通過動(dòng)手操作，觀察涂色部分，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等，很好。

生2：我舉的例子是9/8，將分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)乘以125，得到1125/1000，用分子除以分母，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)分?jǐn)?shù)都等于1.125。

師：你還想到了假分?jǐn)?shù)，并且用上了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，比較起來也很方便。

生3：我舉的例子是4/4，分子分母同時(shí)乘以2后得到8/8，它們的大小沒變，都是1。并且分子分母同時(shí)乘以3，4，5……得到的分?jǐn)?shù)大小都是1！

師：謝謝同學(xué)們展示了這么多例子，我想知道有沒有找出例子不符合上面的猜想的？

生1：沒有！

生2：但是我要補(bǔ)充一點(diǎn)，分子分母同時(shí)乘的數(shù)不能是0，因?yàn)槿绻瑫r(shí)乘以0，乘了之后分母變成0了，就沒有意義了，0要排除在外。

師：講得真棒！現(xiàn)在我們能得出結(jié)論了嗎？

生：可以了。

4.完善分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)

師：回顧剛才的探索過程，我們從一組等式出發(fā)，探尋出其中的規(guī)律，并據(jù)此提出猜想，加以驗(yàn)證，得出了一個(gè)科學(xué)的結(jié)論。其實(shí)這個(gè)結(jié)論換個(gè)視角來看（借助手勢(shì)比畫），也可以說分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)——

生：除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：對(duì)的，從這樣的視角來看待這個(gè)規(guī)律也是有價(jià)值的！當(dāng)然，這兒相同的數(shù)仍然要將0排除在外，你們同意嗎？

生：同意！

（三）聯(lián)系提升

1.回顧商不變的規(guī)律，溝通新舊知識(shí)間聯(lián)系

師：今天我們共同探究出了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。大家輕聲讀一讀，和我們以前學(xué)過的什么規(guī)律很相似呢？

生：商不變的規(guī)律！

（屏幕出示商不變的規(guī)律）

師：其實(shí)，運(yùn)用商不變規(guī)律，不計(jì)算也可以幫助我們進(jìn)行驗(yàn)證這兩個(gè)分?jǐn)?shù)是相等的！同意嗎？

生：同意！

2.提前孕伏，引發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的好奇心

師：其實(shí)，數(shù)學(xué)就是這么神奇，很多知識(shí)間本身有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，等到我們上六年級(jí)的時(shí)候，又會(huì)學(xué)習(xí)一個(gè)新知識(shí)，這個(gè)知識(shí)跟咱們今天所研究的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)也有著奇妙的關(guān)系哦！

……

（四）鞏固練習(xí)（略）

二、案例反思

一節(jié)課的時(shí)間總是有限的，在這有限的時(shí)間里，如何讓學(xué)生更好地達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)該是進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)最要考慮的。因此，在教學(xué)中瞄準(zhǔn)重點(diǎn)、合理取舍，就顯得特別重要。本課教學(xué)固然要關(guān)注結(jié)果（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是什么？），但更要關(guān)注過程（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是怎么發(fā)現(xiàn)的？），在有限的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間里應(yīng)充分激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的求知欲，組織學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流，有意識(shí)地滲透“猜想驗(yàn)證”的研究方法，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、形成、發(fā)展的全過程，感悟數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)理性的科學(xué)精神，這樣的教學(xué)才會(huì)更自然、更深刻！

（一）在“變了”與“不變”中激發(fā)探究

從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，教材先后安排了整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)。每一類型的數(shù)其實(shí)都有著比較特殊的性質(zhì)，比如：為了清楚區(qū)分表示數(shù)量多少，整數(shù)有著比較明顯的唯一性，即兩個(gè)不同的整數(shù)有大小之分。小數(shù)里卻有著大小相等，但計(jì)數(shù)單位不同的若干等值小數(shù)，這也就是小數(shù)的性質(zhì)。那分?jǐn)?shù)有什么樣的性質(zhì)呢？也具有和小數(shù)類似的等值變形的特點(diǎn)嗎？從學(xué)生已有認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)和探究未知領(lǐng)域的好奇心。

在數(shù)次教學(xué)實(shí)踐嘗試后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)形式不同但大小相等的分?jǐn)?shù)有過接觸，只是沒有系統(tǒng)地研究，認(rèn)識(shí)上比較模糊，更缺乏對(duì)分子、分母變化的觀察。所以在教學(xué)初始，筆者利用“小故事”“涂色卡”“數(shù)軸圖”等環(huán)節(jié)，直觀引出“形式不同，但大小相同的分?jǐn)?shù)確實(shí)存在”這一客觀現(xiàn)實(shí)（如：1/4=2/8，2/6=3/9，3/4=6/8），接著又引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入思考：“是不是每個(gè)分?jǐn)?shù)都有和它相等的分?jǐn)?shù)呢？和它相等的分?jǐn)?shù)到底有多少個(gè)呢？”最后以1/2為例展開探究，學(xué)生參與度高，并能充分利用到剛才獲得的經(jīng)驗(yàn)（觀察折紙涂色部分，數(shù)軸，聯(lián)系除法等），來幫助說明找出的分?jǐn)?shù)與1/2相等。在得出幾組分?jǐn)?shù)相等的等式后，組織學(xué)生觀察分子、分母是怎樣變化的，在變化的同時(shí)什么又是不變的，學(xué)生在經(jīng)歷觀察、思考、歸納后，探究出了對(duì)“什么在變，什么不變”的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的雛形也就水到渠成了。

（二）于“猜想”與“驗(yàn)證”中自我建構(gòu)

數(shù)學(xué)上如“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一類的知識(shí)，由于本身的抽象性，通常造成學(xué)生經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程比較干癟，期間僅僅收到靜態(tài)的結(jié)論，至于數(shù)學(xué)思想方法、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)往往都無從談起，這也造成了學(xué)生自我建構(gòu)的缺失。其實(shí)，諸多數(shù)學(xué)知識(shí)都應(yīng)是經(jīng)過“同化”與“順應(yīng)”的方式納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，這其中既包括知識(shí)技能層面的內(nèi)在聯(lián)系，也有思想方法層面的觸類旁通。

比如本課，學(xué)生初步以1/2為例探究出“分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變”，顯然結(jié)論下得為時(shí)過早，筆者將學(xué)生思考的方向及時(shí)進(jìn)行了疏導(dǎo)：僅憑一個(gè)特例是不足以當(dāng)作一個(gè)科學(xué)結(jié)論的。組織學(xué)生在更大范圍內(nèi)進(jìn)行驗(yàn)證，從而將學(xué)生的“一個(gè)特例”推廣到“任意分?jǐn)?shù)”，而這個(gè)過程就是讓學(xué)生充分經(jīng)歷運(yùn)用“普遍的科學(xué)方法”來研究數(shù)學(xué)問題的過程，即“提出猜想”“進(jìn)行驗(yàn)證”“得出結(jié)論”。正是因?yàn)椤安孪搿?yàn)證”，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的思考研究過程，對(duì)于新知的建構(gòu)才會(huì)自然發(fā)生，不斷完善。接著，通過回顧商不變的規(guī)律，溝通商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)再次得到了提升，能嘗試從數(shù)學(xué)演繹推理的高度去理解分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)了。這些活動(dòng)的開展也為后續(xù)進(jìn)行其他研究積累了基本經(jīng)驗(yàn)，相信學(xué)生的思維經(jīng)過長(zhǎng)期類似的磨礪，他們思考問題會(huì)越來越嚴(yán)謹(jǐn)、理性。?