基于雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)的近紅外輻射衰減研究**

楊建清，羅積軍，徐 軍，孫琦云，王 婷

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710025)

引 言

近紅外輻射(1μm～3μm)介于可見(jiàn)光與中紅外輻射之間，在軍事方面，主要應(yīng)用于目標(biāo)探測(cè)、跟蹤、識(shí)別、導(dǎo)引等領(lǐng)域[1]；在民用方面，主要應(yīng)用于食品安全、煙草、醫(yī)藥等領(lǐng)域，通過(guò)近紅外成像系統(tǒng)可獲取夜間目標(biāo)信息[2]。降雨是自然界常見(jiàn)的現(xiàn)象，由于雨滴粒子的散射和吸收作用，會(huì)造成近紅外輻射的衰減，進(jìn)而對(duì)近紅外設(shè)備的“全天候運(yùn)用”產(chǎn)生比較大的影響[3]，目前對(duì)近紅外輻射在雨中傳輸特性了解得還很不夠，而一些紅外工程應(yīng)用迫切需要這方面的定量數(shù)據(jù)[4]。因此，對(duì)近紅外輻射在雨中衰減的研究具有非常重要的意義[5]。

雨滴譜分布是指在單位體積內(nèi)雨滴大小的分布[6]。當(dāng)前常用的雨滴譜分布模型有Laws-Parsons，Gamma，Marshall-Palmer，Joss和Weibull分布等。但是研究表明，雖然世界各地都進(jìn)行了相應(yīng)的雨滴譜測(cè)量，但由于降雨本身的復(fù)雜性，不同地理區(qū)域具有不同的雨滴譜分布模型，難以用一個(gè)雨滴譜模型來(lái)準(zhǔn)確地表示雨滴的大小分布。原因在于當(dāng)前的雨滴譜分布本質(zhì)是一個(gè)二元函數(shù)的擬合，滿(mǎn)足降雨量、雨滴直徑和所占百分比的二元函數(shù)并不唯一，具有很大的不確定性。因此，本文中提出了一種建立目標(biāo)區(qū)域不同降雨量條件下雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)的方法，即在不同降雨量條件下，分別擬合雨滴直徑和所占百分比的一元函數(shù)模型構(gòu)成雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)。文中選擇了LAWS和PARSONS在美國(guó)華盛頓地區(qū)測(cè)量的雨滴譜分布數(shù)據(jù)，構(gòu)建了華盛頓地區(qū)的雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)[7]，并結(jié)合米散射理論和降雨衰減系數(shù)公式計(jì)算了近紅外輻射在雨中的衰減系數(shù)[8]。雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)的建立具有更加廣泛的適用性且更接近于真實(shí)情況，從而對(duì)準(zhǔn)確計(jì)算目標(biāo)區(qū)域近紅外輻射在雨中的衰減具有重要意義，為更加有效地定量評(píng)估和分析近紅外設(shè)備在降雨中的運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1 單個(gè)雨滴粒子的效率因子的計(jì)算

根據(jù)米氏散射理論，消光效率因子Qe為[9]：

(2)

式中,

(3)

式中,Jm+1/2(α),Hm+1/2(α)分別表示半整階的貝塞耳函數(shù)和第2類(lèi)漢克函數(shù)[11]。Ψm′(α)和Zm′(α)分別為Ψm(α)和Zm(α)的導(dǎo)數(shù)。

1μm,2μm和3μm波長(zhǎng)正常溫度下的折射率為1.322+3×10-6i，1.297+1.101×10-3i和1.352+2.721×10-1i。根據(jù)消光效率因子的計(jì)算公式[12]，對(duì)雨滴直徑在0μm～200μm之間，近紅外輻射分別為1μm,2μm和3μm波長(zhǎng)的消光效率因子計(jì)算如圖1所示。

Fig.1 Relationship between extinction efficiency factor and raindrops diameter

(1)近紅外輻射波段，1μm波長(zhǎng)的輻射在雨滴粒子直徑最小的位置(D=2.089μm)，消光效率因子達(dá)到最大值3.973，其次是2μm波長(zhǎng)的輻射在雨滴粒子直徑D=2.089μm時(shí),消光效率因子取得最大值3.911，最后是3μm波長(zhǎng)的輻射在雨滴直徑D=5.360μm時(shí)，消光效率因子取得最大值4.036。

(2)α=πD/λ為粒子的尺度參量，計(jì)算最消光效率因子最大值的位置與近紅外輻射波長(zhǎng)的比值可得，1μm波長(zhǎng)尺度參量α1=6.5651;2μm波長(zhǎng)尺度參量α2=6.4241;3μm波長(zhǎng)尺度參量α3=5.6135。由此可以看出，尺度參量相對(duì)比較接近，通過(guò)(2)式也可以解釋此現(xiàn)象，即粒子的尺度參量和折射率共同決定散射系數(shù)，進(jìn)而決定雨滴粒子的消光效率因子。尺度參量α1,α2,α3比較接近卻并不相同，原因在于近紅外波長(zhǎng)不同時(shí)，折射率也不相同，通過(guò)消光效率最大值以及曲線形狀的不同也恰恰反映出折射率的影響。

(3)消光效率因子的曲線出現(xiàn)了一系列的極大值和極小值。極值變化幅度較大，是由于散射光和入射光干涉導(dǎo)致的干涉結(jié)構(gòu)；極值變化較小且具有一定周期性,是由于粒子“諧振”而導(dǎo)致的[12]。

(4)觀察發(fā)現(xiàn):3μm波長(zhǎng)震蕩的局部極大值大于2μm波長(zhǎng)的局部極大值，2μm波長(zhǎng)震蕩的局部極大值大于1μm波長(zhǎng)的局部極大值；同時(shí)，3μm波長(zhǎng)震蕩的局部極小值小于2μm波長(zhǎng)的局部極小值，2μm波長(zhǎng)震蕩的局部極小值小于1μm波長(zhǎng)的局部極小值[13]。即3μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線包含了2μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線，2μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線包含了1μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線。

2 雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)的建立和分析

LAWS和PARSONS在美國(guó)華盛頓地區(qū)對(duì)不同類(lèi)型降雨的雨滴尺寸分布進(jìn)行了廣泛的測(cè)量[14]，對(duì)相同降雨量的雨滴尺寸分布進(jìn)行了平均，得到了離散性的雨滴尺寸分布的數(shù)據(jù)表，即不同降雨量的平均雨滴尺寸分布Laws-Parsons分布數(shù)據(jù)表[15]。根據(jù)Laws-Parsons分布數(shù)據(jù)表作圖，如圖2所示，為不同降雨量條件下的雨滴直徑與所占百分比的關(guān)系曲線。

Fig.2 Line diagram of rainfall data

有學(xué)者首先對(duì)Laws-Parsons分布數(shù)據(jù)表中的雨滴直徑間隔為0.25mm的區(qū)間進(jìn)行了平均[16]，得到雨滴直徑的平均值，雨滴直徑平均值、所占體積百分比以及降雨量構(gòu)成3維坐標(biāo)，然后將所占百分比看成是雨滴直徑平均值和降雨量的二元函數(shù)進(jìn)行了擬合，得到了雨滴體積分布的公式[16]:

f(D,R)=(33.44±1.8)R-1.28D5.93×

exp(-0.538R-0.186D)(m-3·mm-1)(4)

式中，D為雨滴直徑(mm)，R為降雨量(mm/h)。由(4)式可以看出，其擬合的雨滴譜分布形式非常復(fù)雜，實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)證明，這個(gè)雨滴譜模型在不同地理區(qū)域內(nèi)并沒(méi)有非常好的適用性。因此本文中提出了建立雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)的新方法，即根據(jù)雨滴譜分布數(shù)據(jù)，考慮降雨量固定情況下，雨滴直徑平均值和所占體積百分比構(gòu)成的一元函數(shù)關(guān)系式。利用MATLAB軟件繪制降雨量R分別為0.25mm/h,1.25mm/h,2.5mm/h,12.5mm/h,25mm/h和50mm/h折線圖，如圖2所示。

由觀察發(fā)現(xiàn)，不同降雨量條件下雨滴譜分布具有正態(tài)分布的3個(gè)特點(diǎn):(1)集中性。曲線的高峰位于正中央；(2)對(duì)稱(chēng)性。曲線左右對(duì)稱(chēng)，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交；(3)均勻變動(dòng)性。曲線左右兩側(cè)逐漸均勻下降。因此文中選擇正態(tài)分布模型擬合雨滴譜分布。雨滴譜分布的擬合，首先將不同降雨量條件下，雨滴直徑和所占百分比數(shù)據(jù)導(dǎo)入工作區(qū)MATLAB的workspace作為變量(x，y)，接著在曲線擬合工具箱中分別選擇自變量x和因變量y，然后在擬合函數(shù)類(lèi)型中選擇Gaussian分布即正態(tài)高斯分布，得到降雨量分別為0.25mm/h,1.25mm/h,2.5mm/h,12.5mm/h,25mm/h和50mm/h時(shí)的擬合雨滴譜分布圖形，如圖3所示。

Fig.3 Line diagram of rainfall data after fitting

得到的雨滴譜分布函數(shù)N(D)(單位為m-3·mm-1)的公式見(jiàn)下:

(R=0.25mm/h)(5)

(R=1.25mm/h)(6)

(R=2.5mm/h)(7)

(R=12.5mm/h)(8)

(R=25mm/h)(9)

(R=50mm/h)(10)

通過(guò)擬合的雨滴譜分布函數(shù)N(D)可以發(fā)現(xiàn)，降雨量R越大，雨滴直徑D的平均值越大，雨滴直徑D的方差也越大，圖形上表現(xiàn)為:雨滴譜分布曲線向右側(cè)移動(dòng)，并且曲線形狀更加扁平。

3 近紅外輻射在雨滴譜分布中的衰減

近紅外輻射在雨中進(jìn)行傳播的過(guò)程中，并不是只和單個(gè)雨滴發(fā)生作用，而是與多個(gè)雨滴或者雨滴群發(fā)生作用。因此在求解計(jì)算時(shí)，必須得到單位體積內(nèi)雨滴粒子群對(duì)近紅外輻射的衰減系數(shù)β(dB/km)，β反映了近紅外輻射在降雨中傳輸時(shí)衰減大小，計(jì)算公式如下式所示:

Qe(α,n)N(D)dD(11)

式中,N(D)是雨滴譜分布，σe是雨滴的消光截面。根據(jù)圖1中消光效率因子與雨滴直徑的關(guān)系，由于雨滴粒子相對(duì)于近紅外波段較大[17]，尺度參量很大，因而消光效率因子近似為2[18]。

將研究者DAVID擬合的雨滴譜分布公式(4)式和雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)中的分布公式(5)式～(10)式代入(11)式，即可以計(jì)算出降雨量分別為0.25mm/h，1.25mm/h，2.5mm/h，12.5mm/h，25mm/h和50mm/h時(shí)，近紅外輻射在雨中的衰減系數(shù)如圖4所示。

Fig.4 Relationship between attenuation coefficient and rainfall

觀察圖4中DAVID和本文中擬合的雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算得到的衰減系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，本文中計(jì)算的衰減系數(shù)略大于DAVID模型計(jì)算的衰減系數(shù)，曲線遞增趨勢(shì)相同，隨著降雨量的增加，在降雨量相對(duì)較小時(shí)，隨著降雨量的增加，衰減系數(shù)會(huì)以一個(gè)較大的斜率迅速增加；而當(dāng)降雨量增大到一定強(qiáng)度時(shí)，隨著降雨量的繼續(xù)增加，衰減系數(shù)仍然會(huì)繼續(xù)增加，但斜率相對(duì)較小，曲線近似為指數(shù)模型。從衰減系數(shù)的數(shù)值上來(lái)看，隨著降雨量的增加，近紅外輻射在雨中的衰減也隨之增大[19]，具體體現(xiàn)降雨量為50mm/h時(shí)的衰減是降雨量約為0.25mm/h衰減系數(shù)的6.8倍，衰減更為明顯。

在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，衰減系數(shù)與降雨強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系在工程中具有非常重要的應(yīng)用。因而基于圖4中降雨量和利用本文中擬合出雨滴譜分布模型計(jì)算的衰減系數(shù)，分別采用了擬合曲線1和擬合曲線2兩種曲線模型進(jìn)行擬合，并進(jìn)行了方差分析。擬合曲線1和曲線2的表達(dá)式分別見(jiàn)下：

(12)

式中，t1，t2,A1,A2和y0是擬合曲線的參量。

原曲線、(12)式擬合曲線和(13)式擬合曲線如圖5所示?？梢钥闯?兩種曲線的擬合效果均比較好，進(jìn)一步進(jìn)行方差分析可知，擬合曲線1的方差和相關(guān)系數(shù)為123.2和0.9840,擬合曲線2的方差和相關(guān)系數(shù)為2.869和0.9996，擬合曲線2的相關(guān)系數(shù)大于擬合曲線1的相關(guān)系數(shù)，擬合曲線2的方差小于擬合曲線1的方差，因此擬合曲線2的效果較好。

Fig.5 Relationship between attenuation coefficient and rainfall after fitting

計(jì)算得到，衰減系數(shù)和降雨強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系式采用擬合曲線2的結(jié)果，其中A1=-251.8，t1=48.92，y0=353.6,A2=-70.85，t2=2.848。由此，衰減系數(shù)β和降雨量R擬合的函數(shù)關(guān)系見(jiàn)下:

4 結(jié) 論

(1)基于米散射理論計(jì)算得到了1μm,2μm和3μm波長(zhǎng)近紅外輻射的消光效率因子與雨滴直徑的關(guān)系曲線，分析了粒子尺度參量和折射率對(duì)消光效率因子的影響，找到了消光效率因子曲線的極大值和極小值的位置，總結(jié)了消光效率因子曲線局部極大值和極小值的規(guī)律，得到了3μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線包含2μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線、2μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線包含1μm波長(zhǎng)的消光效率曲線的包絡(luò)線的結(jié)論。

(2)由不同降雨量條件下的雨滴譜分布數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布擬合效果很好，數(shù)據(jù)擬合得到了不同降雨量條件下的雨滴譜分布，建立了華盛頓地區(qū)的雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)，可知隨著降雨量的增加，雨滴譜分布整體向右移動(dòng)，曲線變得更加扁平，即雨滴直徑隨之增大，同時(shí)方差也隨之增大。

(3)基于DAVID擬合的雨滴譜分布公式和雨滴譜分布數(shù)據(jù)庫(kù)擬合的分布公式，利用衰減系數(shù)公式計(jì)算了近紅外輻射在降雨量分別為0.25mm/h,1.25mm/h,2.5mm/h,12.5mm/h,25mm/h和50mm/h時(shí)的衰減系數(shù)，比較發(fā)現(xiàn)，隨著降雨量的不斷增加，近紅外輻射在雨中的衰減系數(shù)也隨之增大。本文中計(jì)算的衰減系數(shù)略大于DAVID模型計(jì)算的衰減系數(shù)，曲線遞增趨勢(shì)相同，曲線近似為指數(shù)模型。與DAVID擬合的雨滴譜分布模型相比，雨滴譜數(shù)據(jù)庫(kù)具有更加廣泛的適用性。降雨量一定的情況下，雨滴直徑與其所占百分比的曲線更接近于正態(tài)分布，這個(gè)規(guī)律具有很強(qiáng)的適用性，符合自然規(guī)律的特點(diǎn)，降低了雨滴譜分布二元函數(shù)擬合帶來(lái)的擬合模型以及地理區(qū)域等因素而帶來(lái)的不確定性。

(4)基于圖4中的數(shù)據(jù)，分別采用了兩種擬合曲線模型對(duì)衰減系數(shù)和降雨強(qiáng)度的關(guān)系式進(jìn)行了擬合，并進(jìn)行方差分析，根據(jù)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果確定擬合曲線2模型優(yōu)于擬合曲線1模型，并計(jì)算出擬合曲線2中各個(gè)參量的數(shù)值，最終得到衰減系數(shù)和降雨強(qiáng)度擬合的函數(shù)關(guān)系式。

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