原汁數(shù)學(xué)：讓思考真正發(fā)生

涂玉霞

作為教育工作者，我們時(shí)常聽到不少學(xué)生在訴苦：數(shù)學(xué)太難，數(shù)學(xué)太枯燥，數(shù)學(xué)太無聊……他們對(duì)數(shù)學(xué)的抱怨、害怕甚至恐懼中外皆然，這幾乎是一個(gè)世界性難題。美國(guó)數(shù)學(xué)教授阿瑟·本杰明甚至把“消除數(shù)學(xué)恐懼癥”，作為自己的一個(gè)重要研究課題。

那這一癥結(jié)在哪里？長(zhǎng)期的一線教學(xué)實(shí)踐讓我發(fā)現(xiàn)，原來是一些教師把數(shù)學(xué)課上成了“刷題課”“灌溉課”“記憶課”：這個(gè)題這樣解，那個(gè)題做的時(shí)候分這樣幾步，這道題直接用公式……這不是要把天真活潑的學(xué)生當(dāng)成技工、程序員乃至大容器嗎？他們哪來的真正思考？

每門學(xué)科都有自己的獨(dú)門絕技。學(xué)科教師只有掌握了它，才能讓學(xué)科的育人價(jià)值閃閃發(fā)光。比如，體育課用來強(qiáng)健體魄，語(yǔ)文課用來厚積薄發(fā)，音樂課用來載歌載舞，而數(shù)學(xué)課則是用來發(fā)展思維，故：不思維，無數(shù)學(xué)。

原汁數(shù)學(xué)的教育理念，就是要讓學(xué)生學(xué)真數(shù)學(xué)，做真思考。那什么樣的數(shù)學(xué)課才能成為原汁原味的數(shù)學(xué)課呢？要在三“找”中凸顯三“原”。

一、找“勾子”，凸顯數(shù)學(xué)原型：生活、經(jīng)驗(yàn)

這個(gè)“勾子”是什么意思？就是知識(shí)與生活、理性與經(jīng)驗(yàn)、舊知與新知、理論與實(shí)踐等的聯(lián)結(jié)。通過聯(lián)結(jié)，讓死的知識(shí)鮮活起來，讓抽象的知識(shí)具體起來，讓枯燥的知識(shí)生動(dòng)起來。

1. “勾住”現(xiàn)實(shí)生活，讓學(xué)習(xí)有價(jià)值感

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！毙睦韺W(xué)研究表明，我們的大腦天生對(duì)與自己生活相關(guān)聯(lián)的有意義、有意思的事物感興趣。因此，原汁數(shù)學(xué)課堂提倡大數(shù)學(xué)觀，從豐富的生活中汲取學(xué)習(xí)素材，找到數(shù)學(xué)原型，從而體會(huì)解決問題的樂趣。

例如，我工作室王芳老師“加減法的意義和各部分之間的關(guān)系”內(nèi)容的原汁數(shù)學(xué)課堂場(chǎng)景是這樣的：

前兩天，老師回了一趟老家，正好趕上幫媽媽賣小麥。利用商販的磅秤，老師先稱了稱自己的體重，是56千克。老師的媽媽稱了稱自己，是52千克。然后，老師和媽媽一起稱了稱，是110千克。按照兩人單獨(dú)稱的重量來計(jì)算老師和媽媽的體重之和，應(yīng)該是56+52=108（千克）。但當(dāng)兩個(gè)人一起稱時(shí)，為什么不是108千克？秤中藏有什么“貓膩”？誰來猜一猜或算一算？

生1：加數(shù)+加數(shù)=和，但這里兩個(gè)數(shù)的和與秤的總重量不相等，一定是秤有問題。

師：是啊，你真會(huì)思考，利用加法各部分之間的關(guān)系進(jìn)行反思，分析得出秤有問題。站在商販的角度想一想，如果要在秤上做點(diǎn)“文章”的話，他會(huì)把實(shí)際的物品稱得輕一些，還是重一些？

生2：當(dāng)然是輕一些，這樣他可以把農(nóng)戶的小麥總數(shù)秤得比實(shí)際輕一些，從而少付農(nóng)戶小麥錢。

師：分析得相當(dāng)好，根據(jù)這些數(shù)據(jù)仔細(xì)推算一下，商販?zhǔn)窃鯓釉诔由献觥拔恼隆钡模?/p>

生3：商販有可能把每次稱的重量少2千克。當(dāng)老師秤的體重是56千克時(shí)，實(shí)際應(yīng)該為58千克；當(dāng)媽媽秤的體重是52千克時(shí)，實(shí)際上應(yīng)該是54千克。所以，當(dāng)媽媽和老師一起稱時(shí)，會(huì)比實(shí)際之和少2千克，為58+54-2=110（千克）。

生4：其實(shí)，實(shí)際重量應(yīng)為112千克。

……

這里呈現(xiàn)的材料與我們以前見過的材料有什么不同？它具有現(xiàn)實(shí)性，既具有生活的真實(shí)，又是學(xué)生熟悉且有經(jīng)驗(yàn)的；它具有數(shù)學(xué)味，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的種子；它具有發(fā)展性，提供了用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的機(jī)會(huì)。

談到數(shù)學(xué)生活化，許多教師認(rèn)為就是從生活中找到相關(guān)數(shù)據(jù)或者隨意編造故事情境，將其運(yùn)用在教學(xué)之中，這是有失偏頗的。學(xué)習(xí)的最大快樂在于學(xué)習(xí)者在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)自己的智慧，為此教師要盡量提供具有現(xiàn)實(shí)意義的問題讓學(xué)生去探究，以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的

能力。

2. “勾住”已有經(jīng)驗(yàn)，讓新知有生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈螺旋式上升的特點(diǎn)，主要包括兩個(gè)方面：一是學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平發(fā)展的階段性特征；二是人在認(rèn)識(shí)對(duì)象時(shí)總是遵循由表及里、由淺入深的過程，且后續(xù)學(xué)習(xí)總會(huì)影響對(duì)先前學(xué)習(xí)對(duì)象的認(rèn)識(shí)。因此，教師教學(xué)要盡可能地運(yùn)用舊知重新主動(dòng)構(gòu)建新知，才能使新知穩(wěn)穩(wěn)

立住。

例如，我工作室楊利雄老師“百分?jǐn)?shù)”內(nèi)容的原汁數(shù)學(xué)課堂場(chǎng)景是這樣的：

課件出示三種規(guī)格的蛋糕（見圖1）。

師：有位顧客要買最大的，你推薦幾號(hào)蛋糕？

生：推薦3號(hào)，因?yàn)?號(hào)最重，是50克。

師：從蛋糕的重量上一眼能看出，3號(hào)蛋糕最大。

師：如果另一顧客想吃最甜的，他應(yīng)買哪一種？說說你的理由！

生1：推薦3號(hào)，3號(hào)含的糖最多。

生2：3號(hào)不是最甜的，只看一個(gè)數(shù)據(jù)不能說明3號(hào)最甜。

生3：我們應(yīng)該先求出每款蛋糕的含糖量，再來進(jìn)行比較。

師：到底哪種蛋糕最甜，我們用什么辦法來比較？

生：1號(hào)蛋糕的含糖量是 ，2號(hào)蛋糕的含糖量是 ，3號(hào)蛋糕的含糖量是 。

師：這樣能一下子比較出來嗎？

生：需要通分，含糖量分別為： 、

、 。所以2號(hào)蛋糕最甜。

師：類似 、 、 這樣的分?jǐn)?shù)，我們還可以寫成：15%、16%、14%，即我們所說的百分?jǐn)?shù)。

百分?jǐn)?shù)的根在哪里？分?jǐn)?shù)有兩種意義，一是表示分率，二是表示具體數(shù)量，而百分?jǐn)?shù)是表示分率的分?jǐn)?shù)的特殊形式。教學(xué)過程中，教師要對(duì)其進(jìn)行分析、澄清、引導(dǎo)、回應(yīng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)舊知的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)換、溝通、交融。這樣的一個(gè)過程，可以看作學(xué)生對(duì)知識(shí)原有基礎(chǔ)的發(fā)展或轉(zhuǎn)變，而不是新信息的點(diǎn)滴累積。

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問題的水平；二是學(xué)生借助成人或更有能力的伙伴的幫助所能達(dá)到的水平，兩者間的差異就是“最近發(fā)展區(qū)”。原汁數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)的教學(xué)問題，緊緊扣住學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，暴露學(xué)生的前概念，從而引發(fā)認(rèn)知沖突并衍生新知識(shí)，讓新知有生endprint

長(zhǎng)點(diǎn)。

二、找“路線”，立足數(shù)學(xué)原本：抽象、推理和轉(zhuǎn)化

要做一桌美味佳肴，辦好食材后，我們需要通過煎、炒、烹、炸、溜、煸、焗、蒸等方式把它做成可口的菜肴。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此?！肮醋　焙玫闹R(shí)和經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)在要做的就是找到合適的路線，把它變成學(xué)習(xí)能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原本是發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)成分，對(duì)其做符號(hào)化處理，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；對(duì)符號(hào)化的問題做進(jìn)一步的抽象化處理，以推理方式嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型，并將其發(fā)展為更完善、更合理的概念框架。

1. 抽象：明線到暗線的過程

抽象是一種更高級(jí)的理性，它的過程大體是這樣的：從解答問題出發(fā)，通過對(duì)各種經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的比較、分析，排除那些無關(guān)緊要的因素，提取研究對(duì)象的重要特性 （普遍規(guī)律與因果關(guān)系）加以認(rèn)識(shí)，從而為解答問題提供某種科學(xué)定律或一般原理。簡(jiǎn)言之，就是：分離—提純—

簡(jiǎn)略。

例如，我工作室程麗云老師“搭配”內(nèi)容的原汁數(shù)學(xué)課堂場(chǎng)景是這樣的：

現(xiàn)在，我們來看教師如何設(shè)計(jì)問題（見圖2），以幫助學(xué)生找到路線進(jìn)行抽象。

問題1：每次都這樣畫圖多麻煩，有沒有更簡(jiǎn)單的辦法？（第一次抽象：把物品用字母或者數(shù)字代替）

問題2：每件上衣都可以與3條褲子搭配，2件上衣表示有幾個(gè)幾？你們能夠用算式表示這種搭配關(guān)系嗎？（第二次抽象，用算式表達(dá)圖示）

問題3：小紅同學(xué)的衣服有6種穿法，小朋友猜一猜，她可能有幾件上衣、幾件褲子？（第三次抽象，用算式來解釋方法：6=1×6；6= 2×3。1件上衣，6條褲子；6件上衣，1條褲子；2件上衣，3條褲子；3件上衣，2條褲子）

由于學(xué)生思維發(fā)展水平不同，我們對(duì)數(shù)學(xué)抽象不能做“一刀切”的要求，但應(yīng)讓學(xué)生感知到抽象的過程，這是思維在碰撞、交織的利好機(jī)會(huì)?！读瞬黄鸬纳w茨比》中有句著名的話：“每逢你想要批評(píng)任何人的時(shí)候，你就記住，這個(gè)世界上所有的人，并不是個(gè)個(gè)都有過你擁有的那些優(yōu)越條件?！苯處熣莆罩R(shí)的優(yōu)越條件，但要防止知識(shí)詛咒（以為自己表達(dá)得很清楚，但別人卻不知曉），學(xué)會(huì)用搭梯子的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)抽象的

過程。

2. 推理：由大到小或小到大的過程

邏輯推理主要有兩種形式：一是歸納推理，二是演繹推理。歸納推理，由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理；演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，一般表現(xiàn)為大前提、小前提、結(jié)論的三段論模式。

例如，針對(duì)“正方體的展開圖”，教師可以設(shè)置這樣的原汁數(shù)學(xué)課堂場(chǎng)景，提出：（1）這是剛才剪開的正方體展開面（見圖3），你們能夠在這些展開圖中用“上下左右前后”來表示各個(gè)面嗎？（2）是不是只要是6個(gè)正方形的展開圖就可以圍成正方體？下面這兩種展開圖（見圖4）可以圍成正方體嗎？為什么？

這兩類問題都需要學(xué)生通過推理的方式進(jìn)行解決。相鄰必有重合點(diǎn)，對(duì)面沒有重合線，可以得出規(guī)律：每行相間是對(duì)面，再看Z端找對(duì)面。所以，分析展開圖的情況（小前提）時(shí)，可以依據(jù)這個(gè)大前提確定結(jié)論。

許多教師認(rèn)為上好這堂課很難，學(xué)生很難聽懂，會(huì)采用分類的方式開展教學(xué)，這雖然有其可取之處，這一環(huán)節(jié)也是需要的，但是要讓學(xué)生有了充分理解才去記憶，正如先有算理再有算法。

3. 轉(zhuǎn)化：A類到B類的過程

原汁數(shù)學(xué)的課堂，數(shù)學(xué)教師的每次新授都是在幫學(xué)生找到一個(gè)轉(zhuǎn)化點(diǎn)，或把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，或把一個(gè)綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本問題，或把不易懂的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容。

例如，在講授“等差數(shù)列”的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)這樣的原汁數(shù)學(xué)課堂場(chǎng)景。小學(xué)數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容中，等差數(shù)列求和的講授內(nèi)容最難，不是因?yàn)橛?jì)算繁雜，而是由于學(xué)生求項(xiàng)數(shù)有困難。雖然有求項(xiàng)數(shù)的公式：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，但學(xué)生根本不懂為何要這樣算。如果把它轉(zhuǎn)化為植樹問題，就會(huì)迎刃而解：多少棵樹=多少

個(gè)數(shù)。

師：我們?cè)诿總€(gè)數(shù)上栽一棵樹，一共有多少棵樹？

生：從第3米開始栽樹，每隔3米栽一棵，一直栽到102米，所以總長(zhǎng)是102-3=99（米），間隔長(zhǎng)是3米，所以樹應(yīng)該是：（102-3）÷（6-3）+1=34（棵）。

師：樹的棵數(shù)與數(shù)的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？

這時(shí)學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，相鄰數(shù)的差=相鄰兩棵樹的距離，棵數(shù)=（最后距離-起始距離）÷間隔長(zhǎng)+1，所以項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，公差就是間

隔長(zhǎng)。

轉(zhuǎn)化過程中，努力實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和方法的遷移，從而較快地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

三、找“鑰匙”，凸顯數(shù)學(xué)原則：嚴(yán)密有理

思維發(fā)展過程中，重要的是獲得智慧，獲得經(jīng)驗(yàn)，獲得思想，然后用它們來解決更多的問題。因此，每節(jié)數(shù)學(xué)課不唯“鑰匙”，但要有“鑰匙”。德國(guó)著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒說：數(shù)學(xué)是研究千變?nèi)f化中不變的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“金鑰匙”，凸顯出數(shù)學(xué)的嚴(yán)密有理。

例如，在講授“解決問題”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)如下的原汁數(shù)學(xué)課堂

場(chǎng)景。

師：當(dāng)當(dāng)文具店里，同樣的鋼筆每支5元，每盒40元（10支），涂老師準(zhǔn)備買9支鋼筆，獎(jiǎng)勵(lì)給書法比賽獲獎(jiǎng)的同學(xué)，你建議老師怎么買？

生1：買一盒，只要40元，如果單買9支，要45元。這樣我們可以多得1支筆，很劃算。

生2：老師，為什么同樣的筆，買10支比買9支還要便宜些？

師：這是個(gè)好問題。商家經(jīng)常會(huì)搞一些促銷活動(dòng)，整盒（整袋、整包）的商品單價(jià)會(huì)便宜一些。以后買東西時(shí)，如果商品質(zhì)量一樣，你們可以怎么做？

生3：誰劃算，我們就優(yōu)先誰。

師：生活中有許多這樣的例子，只要合理安排，就可以讓我們少花錢、辦endprint

好事。

又如，學(xué)校組織20名教師赴武當(dāng)山參加全國(guó)書法比賽，如何租車會(huì)比較合算？（大車一輛5000元/12人，小車2000元/4人）

生4：首先考慮誰劃算就優(yōu)先誰，大車每人只要400多元錢，小車每人要500元，所以我們盡量租大車。19個(gè)人需要5000×2=10000（元）。

師：兩輛大車可以坐24人，空了5個(gè)位置看上去有些浪費(fèi)。

生5：小車剛好可以坐滿。20÷4=5（輛），5×2000=10000（元）。這種座位不浪費(fèi)，錢一樣多，我覺得好些。

師：還有更好的辦法嗎？

生6：這兩種車都租用。20=12×

1+4×2，一輛大車，兩輛小車。5000+

2000×2=9000（元），錢用得少，座位也沒有多余的，避免浪費(fèi)。

師：是的，全部用大車會(huì)浪費(fèi)座位，全部用小車會(huì)導(dǎo)致每個(gè)人的車費(fèi)增加，所以可以找一個(gè)折中的辦法，就是：先就大車，剩下的安排到小車上去，兩邊來湊。

通過比較不同方案，重點(diǎn)是傳遞給學(xué)生一種策略：安排要既經(jīng)濟(jì)又合理。本節(jié)課的鑰匙則是：算單價(jià)，誰劃算，優(yōu)先誰；如浪費(fèi)，要調(diào)整，兩邊湊。

對(duì)于合理安排時(shí)間的教學(xué)，應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生知道如何巧妙安排，同時(shí)做一些事情，從而節(jié)省時(shí)間?？梢杂昧鞒虉D表示做事的次序，讓隱性思維顯性化，從而得到本節(jié)課的鑰匙：先排序→再安排；同時(shí)

做→省時(shí)間；流程圖→寫關(guān)鍵。

《高效演講》一書講到一個(gè)非常有趣的觀點(diǎn)，那就是好的演講特別要注意三個(gè)環(huán)節(jié)：坡道，巧妙開場(chǎng)，一句話引起聽眾的最大興趣；發(fā)現(xiàn)，循序漸進(jìn)，刺激聽眾主動(dòng)發(fā)現(xiàn)演講要點(diǎn)；甜點(diǎn)，完美收尾，讓聽眾記住你的演講。在我看來，數(shù)學(xué)的“鑰匙”就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的甜點(diǎn)，讓他們獲得解決諸多此類問題的樂趣。

學(xué)數(shù)學(xué)的過程原本是一個(gè)智力還原的過程，是一個(gè)靈魂冒險(xiǎn)的過程，是一個(gè)知識(shí)建構(gòu)的過程。本質(zhì)上，學(xué)數(shù)學(xué)與搭積木是同一類別的智力游戲，充滿想象，充滿誘惑，充滿驚險(xiǎn)，充滿喜悅，興味盎然，精彩無限。我們希望通過原汁數(shù)學(xué)，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的刻板印象，解除學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的煩惱，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)回到它的本來狀態(tài)，回到簡(jiǎn)單，回到樸素，回到生活，回到有趣，讓思考真正發(fā)生。

原汁數(shù)學(xué)，一言以蔽之，曰：思無窮！

責(zé)任編輯：孫建輝

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