基于四次冪差修正HAR模型的股指期貨波動(dòng)率預(yù)測(cè)

陳聲利，李一軍，關(guān) 濤

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引言

作為中國(guó)資本市場(chǎng)的最重要對(duì)沖工具，股指期貨在2015年經(jīng)歷了異常波動(dòng)，并被限制正常交易超過(guò)1年之久。股指期貨波動(dòng)率建模與預(yù)測(cè)是揭示波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的重要途徑[25-26,35,38]。隨著高頻數(shù)據(jù)興起，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率[1-2]成為資產(chǎn)波動(dòng)率建模與預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。近年來(lái)，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的研究邁出新進(jìn)展。Barndorff-Nielsen等[3-4]構(gòu)建跳躍檢驗(yàn)法將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解成連續(xù)波動(dòng)和跳躍波動(dòng)。Barndorff-Nielsen等[5]區(qū)分正負(fù)收益率提出已實(shí)現(xiàn)半方差和符號(hào)跳躍。因此，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率既能分解成連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)，又能分解成上漲半方差與下跌半方差。那么，連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)、上漲半方差與下跌半方差、符號(hào)跳躍會(huì)怎樣影響未來(lái)波動(dòng)率？怎樣建立波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型，如何評(píng)估模型的優(yōu)劣？在股指期貨經(jīng)歷異常波動(dòng)大背景下，這些問(wèn)題的探討具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。

在波動(dòng)率預(yù)測(cè)領(lǐng)域，條件異質(zhì)自回歸(HAR)建模能很好地探究波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律[20]。Corsi[15]將交易者分成日線、周線和月線交易者，首次提出HAR-RV模型來(lái)預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率?？紤]跳躍波動(dòng)，Corsi等[17]和Andersen等[7]提出HAR-RV-J和HAR-RV-CJ模型。考慮杠桿效應(yīng)，Corsi[16]提出LHAR-RV-J和LHAR-RV-CJ模型?？紤]已實(shí)現(xiàn)半方差和符號(hào)跳躍[5]，Patton等[18]，Benoit[14]和Audrino等[19]構(gòu)建HAR-RV-RS和HAR-RV-SJ等模型探討好壞波動(dòng)率與符號(hào)跳躍的不對(duì)稱波動(dòng)預(yù)測(cè)能力。Bollerslev等[21]通過(guò)漸近理論推導(dǎo)得知，已實(shí)現(xiàn)四次冪差(Realized Quarticity)能提升HAR模型的預(yù)測(cè)精度，并將HAR族模型升級(jí)為HARQ族模型。

如何評(píng)估預(yù)測(cè)模型優(yōu)劣是波動(dòng)率預(yù)測(cè)的關(guān)鍵。樣本內(nèi)評(píng)估一般采用決定系數(shù)R2和損失函數(shù)，而樣本外評(píng)估，Hansen等[22]提出優(yōu)先預(yù)測(cè)能力檢驗(yàn)法(SPA)[24]。然而，Hansen[23]指出SPA檢驗(yàn)需要主觀選定基準(zhǔn)模型，具有“同對(duì)照組多重比較”的算法缺陷。為了克服該缺陷，Hansen[23]提出效率更高的模型可信集(Model Confidence Set，MCS)檢驗(yàn)方法。Audrino等[19]和馬峰等[25]在波動(dòng)率預(yù)測(cè)中證實(shí)了MCS檢驗(yàn)法的有效性。

有關(guān)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的實(shí)證研究得出了有益結(jié)論。Andersen等[7]、趙華[36]、孫杰[37]和李洋等[35]研究表明跳躍分解能夠提升HAR類模型的預(yù)測(cè)能力，且連續(xù)波動(dòng)比跳躍波動(dòng)的預(yù)測(cè)貢獻(xiàn)大。Corsi[16]表明未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與負(fù)向收益率成負(fù)相關(guān)。Patton和Sheppard[18]，Audrino等[19]證實(shí)上漲或下跌半方差對(duì)未來(lái)波動(dòng)率產(chǎn)生不對(duì)稱沖擊，下跌半方差比上漲半方差對(duì)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的貢獻(xiàn)更大。Fang Nengsheng等[27-28]表明中國(guó)股市已實(shí)現(xiàn)半方差和符號(hào)跳躍具有不對(duì)稱波動(dòng)預(yù)測(cè)能力。Bollerslev等[21]驗(yàn)證了HARQ族模型能提升樣本內(nèi)外預(yù)測(cè)能力。馬峰等[25]在國(guó)內(nèi)首次利用符號(hào)跳躍建模預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，運(yùn)用MCS檢驗(yàn)得出HAR-RV-SJd模型表現(xiàn)較優(yōu)。

現(xiàn)有研究存在的不足：第一，2015年期指異常波動(dòng)后，未見(jiàn)針對(duì)股指期貨波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律的詳實(shí)研究；第二，國(guó)內(nèi)研究[25-26,35-38]采用ABD、CPR和PZ檢測(cè)法分離跳躍，而較少運(yùn)用穩(wěn)健性較高的ADS檢測(cè)法；第三，除馬峰等[25]外，運(yùn)用好壞波動(dòng)率、符號(hào)跳躍與MCS模型評(píng)估的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)較為罕見(jiàn)；第四，Bollerslev等[21]證實(shí)四次冪差能提升HAR族模型的預(yù)測(cè)能力，但尚未探討已實(shí)現(xiàn)半方差和符號(hào)跳躍的四次冪差糾正建模，亦缺少對(duì)單級(jí)糾偏和多級(jí)糾偏建模的優(yōu)劣對(duì)比。鑒于此，本文將采用ADS跳躍檢測(cè)法分離跳躍，并同時(shí)考慮跳躍、好壞波動(dòng)率和符號(hào)跳躍的HAR建模。利用中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)四次冪差MedRQ修正4組HAR類模型，提出單級(jí)糾偏HARQ類模型和多級(jí)糾偏HARQF類模型，實(shí)證分析揭示股指期貨波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律，并采用MCS檢驗(yàn)來(lái)評(píng)估預(yù)測(cè)模型的優(yōu)劣。

2 高頻波動(dòng)率的理論基礎(chǔ)

2.1 二次變差理論

假設(shè)P=(Pt)t>0定義在概率空間(Ω,F,(Ft)t>0,P)和適應(yīng)于過(guò)濾項(xiàng)(Ft)t>0的對(duì)數(shù)價(jià)格過(guò)程。在給定的過(guò)濾概率空間下，金融資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格P服從以下布朗半鞅過(guò)程：

dPt=μ(t)dt+σ(t)dW(t)+κ(t)dq(t)

(1)

其中，μ(t)是連續(xù)且局部有限的漂移函數(shù)，σ(t)是左極限、右連續(xù)的隨機(jī)波動(dòng)過(guò)程，W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，q(t)是具有時(shí)變強(qiáng)度的計(jì)數(shù)過(guò)程，κ(t)表示對(duì)數(shù)價(jià)格過(guò)程的跳躍大小。

根據(jù)二次變差理論，由式(1)得到對(duì)數(shù)收益率r的二次變差過(guò)程：

(2)

右式兩項(xiàng)依次代表連續(xù)波動(dòng)與離散跳躍。

令Δ為資產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)的抽樣間隔(M=1/Δ)，rt=p(t)-p(t-Δ)為對(duì)數(shù)收益率。Andersen等[1-2]定義已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(RV)為日內(nèi)高頻收益率的平方和：

(3)

由Andersen等[7]可知，當(dāng)抽樣頻率Δ→0時(shí)

(4)

采用已實(shí)現(xiàn)雙冪差(BV)[3,4]估計(jì)積分波動(dòng)后可估計(jì)跳躍：

(5)

然而，(5)式得到大量無(wú)法解釋的、非零小跳躍，Andersen等[7]將其歸結(jié)為測(cè)量誤差或連續(xù)波動(dòng)的一部分。為過(guò)濾不顯著的較小跳躍，需構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)跳躍方差：

Jt=I[·]×(RVt-IVt)

(6)

其中I[·]為示性函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量顯著時(shí)為1，否則為零。

2.2 連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)

沿用二次變差的漸近性質(zhì)[3-4]，Huang Xin等[6]、Andersen等[7]基于RV和BV構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z。然而，受市場(chǎng)噪聲[13]的干擾，RV與BV是有偏估計(jì)，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)量Z缺乏穩(wěn)健性。Andersen等[13]提出更穩(wěn)健的中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(MedRV)來(lái)替換BV，并構(gòu)建ADS跳躍檢測(cè)法。

本文采用Hansen等[30]提出的已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)(RK)對(duì)ADS檢測(cè)法的RV進(jìn)行噪聲偏差校正：

(7)

其中，q為一個(gè)很小的非負(fù)整數(shù)，h為不大于q的非負(fù)整數(shù)。選取q=h=1，公式(3)修正為：

(8)

鑒于已實(shí)現(xiàn)雙冪差對(duì)微觀結(jié)構(gòu)噪聲過(guò)于敏感，Andersen等[13]基于最近鄰截?cái)喾椒ㄌ岢龉烙?jì)二次積分波動(dòng)的中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(MedRV)：

(9)

與BV相比，MedRV更加穩(wěn)健的原因在于：MedRV利用中位數(shù)選取收益率，既對(duì)大部分跳躍不敏感，又能忽略少數(shù)較小的收益率。類似的，Andersen等[13]提出估計(jì)四次積分波動(dòng)的中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)四次冪差(MedRQ)：

(10)

根據(jù)MedRV, MedRQ的漸近性質(zhì)，Andersen等[13]推導(dǎo)出服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)的跳躍檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Zmed：

(11)

(12)

(13)

其中，I[·]代表示性函數(shù)，α代表顯著性水平。

為了區(qū)分正負(fù)跳躍，Andersen等[29]將絕對(duì)值最大的高頻收益率視為跳躍時(shí)點(diǎn)，并定義跳躍收益率：

(14)

2.3 已實(shí)現(xiàn)半方差和符號(hào)跳躍

Barndorff-Nielsen等[5]區(qū)分正負(fù)收益率提出上漲已實(shí)現(xiàn)半方差和下跌已實(shí)現(xiàn)半方差：

(15)

(16)

Barndorff-Nielsen等[5]指出，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的噪聲糾偏方法適用于已實(shí)現(xiàn)半方差。因此，本文采用已實(shí)現(xiàn)核估計(jì)來(lái)修正已實(shí)現(xiàn)半方差[27-28]：

(17)

(18)

Patton等[18]依據(jù)上漲已實(shí)現(xiàn)半方差和下跌已實(shí)現(xiàn)半方差定義符號(hào)跳躍(Signed Jump)：

(19)

符號(hào)跳躍不僅刻畫(huà)高頻波動(dòng)率的不對(duì)稱強(qiáng)度，還度量了價(jià)格波動(dòng)的方向。正向符號(hào)跳躍SJ+，反映某天上漲；負(fù)向符號(hào)跳躍SJ-，預(yù)示價(jià)格下跌。

2.4 最優(yōu)抽樣頻率選擇

最優(yōu)抽樣頻率選擇對(duì)準(zhǔn)確估計(jì)高頻波動(dòng)率跳躍至關(guān)重要。國(guó)外文獻(xiàn)[7,13,18,25]通常采用5分鐘高頻數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)日頻波動(dòng)與跳躍方差。由于交易制度與投資者結(jié)構(gòu)的差異化，適用于中國(guó)股指期貨的抽樣頻率有待論證。

最優(yōu)抽樣頻率選擇應(yīng)盡量平衡已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的兩種偏差：測(cè)量誤差和微觀結(jié)構(gòu)誤差。由于RK、MedRV等改進(jìn)波動(dòng)率比標(biāo)準(zhǔn)化RV[1-2]的估計(jì)偏差更小，RV的抽樣頻率適用于改進(jìn)波動(dòng)率[14,21]。針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化RV的抽樣頻率，李勝歌等[32]、閔素芹等[31]歸納了波動(dòng)率特征圖、序列相關(guān)性和最小均方誤差等主流方法。本文選取最為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖钚』秸`差準(zhǔn)則[33-34]來(lái)探討最優(yōu)抽樣頻率。

(20)

于是，噪音污染的高頻收益率平方和可分解為真實(shí)收益率平方和、噪聲收益平方和與交叉項(xiàng)：

(21)

于是，噪音污染的高頻收益率序列平方和不再收斂于積分波動(dòng)率。均方誤差(MSE)的表達(dá)式：

(22)

(23)

(24)

通過(guò)求解方程，Bandi等[33]得到最優(yōu)抽樣頻率的解：

(25)

3 波動(dòng)建模與預(yù)測(cè)方法

3.1 HAR擴(kuò)展建模

在Corsi[15]、Corsi等[16]、Andersen等[7]等、Patton和Sheppard[18]依次提出的HAR-RV、HAR-RV-CJ、和HAR-RV-RS、HAR-RV-SJ模型礎(chǔ)上，本節(jié)四次冪差MedRQ建立單級(jí)糾偏HARQ和多級(jí)糾偏HARQF族模型。

模型1：HAR-RV

(26)

式中RVt+1、RVt+5和RVt+22分別代表未來(lái)日線、周線和月線平均波動(dòng)率。

模型2：HARQ-RV

借鑒Bollerslev等[21]，考慮日線、周線和月線的MedRQ單級(jí)糾偏，建立HARQ-RV模型：

(27)

模型3：HARQF-RV

考慮日線、周線和月線的MedRQ多級(jí)糾偏，建立HARQF-RV模型：

(28)

模型4：HAR-RV-CJ

Corsi[16]和Andersen等[7]提出HAR-RV-CJ模型：

(29)

模型4′： HAR-RV-CJd

將跳躍區(qū)分為正負(fù)跳躍，模型4升級(jí)為HAR-RV-CJd：

(30)

模型5：HARQ-RV-CJ

考慮日線、周線和月線的MedRQ單級(jí)糾偏，建立HARQ-RV-CJ模型：

(31)

模型6：HARQF-RV-CJ

考慮日線、周線和月線的MedRQ多級(jí)糾偏，建立HARQF-RV-CJ模型：

(32)

模型7：HAR-RV-RS

Patton等[18]和Benoit[14]根據(jù)日線、周線和月線的上漲和下跌已實(shí)現(xiàn)半方差，提出HAR-RV-RS模型：

(33)

模型8：HARQ-RV-RS

考慮日線、周線和月線的MedRQ單級(jí)糾偏，建立HARQ-RV-RS模型：

(34)

模型9：HARQF-RV-RS

考慮日線、周線和月線的MedRQ多級(jí)糾偏，建立HARQF-RV-RS模型：

(35)

模型10：HAR-RV-SJ

Patton等[18]和Benoit[14]基于符號(hào)跳躍提出HAR-RV-SJ模型。本文采用日線、周線和月線的差異化建模：

(36)

模型10’：HAR-RV-SJd

(37)

將符號(hào)跳躍區(qū)分為正負(fù)向符號(hào)跳躍，模型10升級(jí)為HAR-RV-SJd(如上)。

模型11：HARQ-RV-SJ

考慮日線、周線和月線的MedRQ單級(jí)糾偏，建立HARQ-RV-SJ模型：

(38)

模型12：HARQF-RV-SJ

考慮日線、周線和月線的MedRQ多級(jí)糾偏，建立HARQF-RV-SJ模型：

(39)

3.2 滾動(dòng)預(yù)測(cè)與MCS檢驗(yàn)

本文通過(guò)樣本內(nèi)外預(yù)測(cè)來(lái)評(píng)估上述模型的預(yù)測(cè)表現(xiàn)。樣本外預(yù)測(cè)采用滾動(dòng)時(shí)間窗方法，具體步驟參考魏宇[24]。采用哪種損失函數(shù)估算預(yù)測(cè)偏差較為合理，在學(xué)術(shù)界尚未達(dá)成共識(shí)。不少學(xué)者[24-26,37]同時(shí)采用多個(gè)損失函數(shù)。本文借鑒Audrino等[19]選擇如下兩個(gè)損失函數(shù)：

(40)

(41)

在特定損失函數(shù)下，MCS檢驗(yàn)輸出置信水平下的模型可信集MCS，并對(duì)預(yù)測(cè)模型的優(yōu)劣進(jìn)行排序。假定現(xiàn)有m0個(gè)預(yù)測(cè)模型組成模型集M={1,2,…,m0}，模型u在時(shí)刻t的某個(gè)損失函數(shù)值表示為L(zhǎng)u,t。定義兩個(gè)預(yù)測(cè)模型u,v的相對(duì)損失函數(shù)值為L(zhǎng)uv,t=Lu,t-Lv,t，那么優(yōu)先模型集可定義成：

M*={μ∈M0:E(duv,m)≤0}forallv∈M0

(42)

MCS檢驗(yàn)依據(jù)一系列的等價(jià)檢驗(yàn)TM和剔除規(guī)則EM來(lái)構(gòu)造可信集。等價(jià)檢驗(yàn)TM的零假設(shè)是兩個(gè)模型具有相同的預(yù)測(cè)能力，即：

H0,M:E(duv,m)=0forallu,v∈M?M0

(43)

對(duì)于任何模型子集M，若等價(jià)檢驗(yàn)TM的零假設(shè)H0,M被拒絕，則模型子集M將被剔除規(guī)則EM進(jìn)行剔除。因此，MCS算法步驟為：

步驟1：初始化M=M0；

步驟2：在顯著性水平α，利用等價(jià)檢驗(yàn)TM檢驗(yàn)零假設(shè)H0,M；

(44)

(45)

(46)

4 實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明與最優(yōu)抽樣頻率

本研究從MultiCharts獲取滬深300股指期貨主力連續(xù)從2010年4月16日至2015年8月31日，累計(jì)1306個(gè)交易日，累計(jì)70578個(gè)5分鐘高頻數(shù)據(jù)。9月1日起，中金所限定單賬戶10手最大開(kāi)倉(cāng)，股指期貨流動(dòng)性驟降，故后續(xù)數(shù)據(jù)不選入樣本。

為便于數(shù)據(jù)觀測(cè)，本文將對(duì)數(shù)收益率放大100倍，即rt=100(lnpt-lnpt-1)。根據(jù)樣本畫(huà)出日頻收盤價(jià)和對(duì)數(shù)收益率序列見(jiàn)圖1。圖1的左圖顯示，從2014年底至2015年8月股指期貨經(jīng)歷一輪極端牛市和熊市，且熊市持續(xù)時(shí)間比牛市短；而右圖的對(duì)數(shù)收益率在這段時(shí)間表現(xiàn)出明顯的異化現(xiàn)象。

圖1 滬深300股指期貨日頻收盤價(jià)和對(duì)數(shù)收益率序列

本節(jié)基于2.4節(jié)闡述的最小化MSE準(zhǔn)則[29-30]來(lái)討論股指期貨最優(yōu)抽樣頻率。按式(25)求解M*需預(yù)設(shè)抽樣頻率M，但是預(yù)設(shè)抽樣頻率M的主觀性較大。借鑒Bandi和Russell[33-34]思想，本文采用仿真抽樣頻率M來(lái)計(jì)算MSE，并根據(jù)最小化MSE準(zhǔn)則來(lái)選定最優(yōu)抽樣頻率M*。實(shí)驗(yàn)中采用式(23)漸近估計(jì)MSE，因此M*的選擇依據(jù)是使得式(23)最接近零。仿真過(guò)程中隨機(jī)選取100個(gè)交易日，根據(jù)M從1分鐘至30分鐘數(shù)據(jù)計(jì)算日頻波動(dòng)率，得到MSE的數(shù)值曲線如圖2。圖2顯示5分鐘或6分鐘計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率MSE較小。該結(jié)論與Andersen等[7]，Patton等[18]和Audrino等[19]等選用5分鐘高頻數(shù)據(jù)作為最優(yōu)抽樣頻率相吻合。作者采用序列相關(guān)性[31-32]的仿真分析亦得出類似結(jié)論，具體過(guò)程可聯(lián)系作者獲得。因此，本文選用5分鐘高頻數(shù)據(jù)估計(jì)股指期貨日頻波動(dòng)率與跳躍方差。

圖2 不同抽樣頻率下股指期貨已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的估計(jì)誤差

4.2 股指期貨高頻波動(dòng)率特征分析

4.2.1 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)分解與描述性統(tǒng)計(jì)

本節(jié)對(duì)股指期貨已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行兩種分解：連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)、上漲半方差和下跌半方差?；?分鐘高頻數(shù)據(jù)，利用ADS檢測(cè)法的Zmed統(tǒng)計(jì)量，選取置信水平α=0.99，日線已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解為連續(xù)波動(dòng)和跳躍波動(dòng)，見(jiàn)圖3。其中，由換合約所致的隔夜跳躍已被剔除。日線已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解為上漲半方差和下跌半方差，見(jiàn)圖4。從兩圖看出，各項(xiàng)高頻波動(dòng)率在后半段明顯增大，這是由于股指期貨在2014年10月底進(jìn)入異常波動(dòng)的牛熊市。

表1報(bào)告了各項(xiàng)高頻波動(dòng)率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表1中看出，除了符號(hào)跳躍(SJ)外，其余高頻波動(dòng)率的峰度和偏度數(shù)值明顯大于零，反映了這些波動(dòng)率變量表現(xiàn)出尖峰、右偏的非正態(tài)特征。尖峰特征預(yù)示股指期貨波動(dòng)具有均值回歸效應(yīng)，右偏特征反映了股指期貨發(fā)生了較小概率的極端波動(dòng)，尖峰和右偏特性決定了各項(xiàng)高頻波動(dòng)率的非正態(tài)性。表1中LB(20)代表的20階Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量顯示，除了符號(hào)跳躍之外，其余高頻波動(dòng)率變量均表現(xiàn)出顯著的自反饋效應(yīng)，且RV、MedRV的自反饋效應(yīng)最大。

圖3 滬深300股指期貨日線已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(RV)、連續(xù)波動(dòng)(C)、離散跳躍(J)和已實(shí)現(xiàn)四次冪差(MedRQ1/2)

圖4 滬深300股指期貨日線已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(RV)、上漲已實(shí)現(xiàn)半方差(RS+)、下跌已實(shí)現(xiàn)半方差(RS-)和符號(hào)跳躍(SJ)

4.2.2 正負(fù)向跳躍與符號(hào)跳躍

本節(jié)探討正負(fù)向跳躍與符號(hào)跳躍的統(tǒng)計(jì)特征。跳躍反映價(jià)格不連續(xù)波動(dòng)，而符號(hào)跳躍刻畫(huà)波動(dòng)不對(duì)稱性。

表1 股指期貨高頻波動(dòng)率描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：LB(20)代表20階Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量值，而“*”代表變量在5%的置信水平下顯著自相關(guān)。

表2是股指期貨跳躍的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。表中，跳躍比例定義為跳躍次數(shù)/樣本總數(shù)。表2顯示，跳躍比例高大27.97%，且正向跳躍比負(fù)向跳躍次數(shù)的更多。表3是股指期貨符號(hào)跳躍的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。表中，符號(hào)跳躍貢獻(xiàn)[18]由正負(fù)符號(hào)跳躍絕對(duì)值的均值定義，它能解釋價(jià)格波動(dòng)的不對(duì)稱強(qiáng)度。滬深300股指期貨的符號(hào)跳躍貢獻(xiàn)在區(qū)間35%～42%，比Patton等[18]對(duì)美國(guó)S&P500指數(shù)的結(jié)果15%更大，預(yù)示著中國(guó)股指期貨上漲或下跌波幅更大。作者亦探究了2015年牛熊狀態(tài)下跳躍與符號(hào)跳躍的差異化特征，但出于篇幅考慮已將其省略，如有需要可聯(lián)系作者。

表2 滬深300股指期貨日頻跳躍的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：“J”代表跳躍，“J+”、“J-”代表正負(fù)向跳躍。

表3 滬深300股指期貨符號(hào)跳躍的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

注：“SJ”代表符號(hào)跳躍，“SJ+”、“SJ-”代表正負(fù)向符號(hào)跳躍。

4.2.3 高頻波動(dòng)率的交互效應(yīng)

針對(duì)高頻波動(dòng)率的交互效應(yīng)，本文借鑒Andersen等[7]和Audrino等[19]采用的交叉相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行檢驗(yàn)，并取Lag為22。圖5顯示，Corr(RV,RV)反映已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率具有顯著的自反饋效應(yīng)，其余子圖依次顯示已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)(MedRV)、連續(xù)波動(dòng)(C)、跳躍波動(dòng)(J)、上漲半方差(RS+)、下跌半方差(RS-)、符號(hào)跳躍(SJ)和中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)四次冪差(MedRQ)均具有顯著的相關(guān)性。特別的，Corr(RV,SJ+)、Corr(RV,SJ-)反映已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與正、負(fù)向符號(hào)跳躍具有不對(duì)稱沖擊。因此，這些結(jié)論為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的HAR擴(kuò)展建模提供了證據(jù)支持。

4.3 HAR模型估計(jì)與波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律

本節(jié)估計(jì)HAR模型的參數(shù)，并剖析股指期貨波動(dòng)傳遞規(guī)律。預(yù)測(cè)模型可分成四組：HAR-RV，HAR-RV-CJ，HAR-RV-RS，HAR-RV-SJ及其改進(jìn)模型。借鑒Fang Nengsheng等[28]用法，為了較為全面探究期指波動(dòng)規(guī)律，本節(jié)選用全樣本對(duì)HAR模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并采用調(diào)整R2和損失函數(shù)MSE、QLIKE評(píng)估模型。表4至表7報(bào)告了HAR及其改進(jìn)模型預(yù)測(cè)未來(lái)日線、周線和月線已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，下文對(duì)其予以討論。

4.3.1 連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)的貢獻(xiàn)分析

HAR-RV-CJ及其改進(jìn)模型能揭示跳躍波動(dòng)與連續(xù)波動(dòng)的預(yù)測(cè)貢獻(xiàn)，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表5。對(duì)比分析表5的HAR-RV-CJ模型與表4的HAR-RV模型得知，對(duì)未來(lái)日線、周線和月線的波動(dòng)率預(yù)測(cè)，HAR-RV-CJ及其改進(jìn)模型的調(diào)整R2較HAR-RV模型明顯增大。該結(jié)論說(shuō)明連續(xù)與跳躍波動(dòng)分解，能夠提升HAR模型的預(yù)測(cè)能力。

圖5 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與其他波動(dòng)率變量的交互效應(yīng)

4.3.2 上漲與下跌半方差的貢獻(xiàn)分析

HAR-RV-RS及其改進(jìn)模型能揭示上漲與下跌半方差的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表6。分析表4、表5和表6得知，HAR-RV-RS模型比HAR-RV模型、HAR-RV-CJ模型具有更大的調(diào)整R2值，且HARQ-RV-RS、HARQF-RV-RS模型的調(diào)整R2亦類似。因此，上漲與下跌半方差的波動(dòng)分解，能夠顯著提升HAR模型的預(yù)測(cè)能力，并且比連續(xù)與跳躍波動(dòng)分解更有效。

4.3.3 符號(hào)跳躍的貢獻(xiàn)分析

HAR-RV-SJ及其改進(jìn)模型能揭示符號(hào)跳躍的預(yù)測(cè)能力，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表7。分析表4、表6和表7， HAR-RV-SJ模型比HAR-RV、HAR-RV-RS模型具有更大的調(diào)整R2。HARQ-RV-SJ、HARQF-RV-SJ模型也具有類似結(jié)論。該表現(xiàn)說(shuō)明符號(hào)跳躍能提升HAR-RV-RS的預(yù)測(cè)能力，體現(xiàn)了符號(hào)跳躍在HAR建模中具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

表4HAR-RV及其改進(jìn)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：角標(biāo)“*”，“**”，“***”分別代表10%，5%，1%的顯著性水平。

表5HAR-RV-CJ及其改進(jìn)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：角標(biāo)“*”，“**”，“***”分別代表10%，5%，1%的顯著性水平。

表6HAR-RV-RS及其改進(jìn)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

注：角標(biāo)“*”，“**”，“***”分別代表10%，5%，1%的顯著性水平。

4.3.4 正負(fù)向跳躍與符號(hào)跳躍的貢獻(xiàn)分析

表7HAR-RV-SJ及其改進(jìn)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

4.3.5 已實(shí)現(xiàn)四次冪差的貢獻(xiàn)分析

綜上分析，好壞波動(dòng)率的分解比連續(xù)與跳躍波動(dòng)分解的HAR建模在樣本內(nèi)預(yù)測(cè)中更優(yōu)；連續(xù)波動(dòng)比跳躍波動(dòng)的貢獻(xiàn)更大；好壞波動(dòng)率具有不對(duì)稱的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力；符號(hào)跳躍及其正負(fù)區(qū)分、已實(shí)現(xiàn)四次冪差MedRQ糾偏，能提升HAR建模的樣本內(nèi)預(yù)測(cè)能力。

4.4 樣本外滾動(dòng)預(yù)測(cè)與MCS模型評(píng)估

本節(jié)實(shí)證分析波動(dòng)模型的樣本外滾動(dòng)預(yù)測(cè)能力。滾動(dòng)時(shí)間窗長(zhǎng)度固定為1000天，而樣本外預(yù)測(cè)具有306天(2014年4月5日-2015年8月31日)。預(yù)測(cè)區(qū)間覆蓋窄幅波動(dòng)的低迷市與異常波動(dòng)的牛熊市。下文采用損失函數(shù)MSE和QLIKE評(píng)估模型精度，并利用模型置信集MCS檢驗(yàn)它們的優(yōu)劣。

(1)針對(duì)日線、周線和月線的波動(dòng)率預(yù)測(cè)，表8中HAR-RV-CJ模型的損失函數(shù)MSE、QLIKE值比HAR-RV模型小，且表9中HAR-RV-CJ的統(tǒng)計(jì)量TR、TSQ值比HAR-RV模型大，說(shuō)明連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)的波動(dòng)率分解能提高HAR建模的樣本外預(yù)測(cè)能力。較HAR-RV-CJ而言，HAR-RV-CJd模型的損失函數(shù)更小，說(shuō)明正負(fù)跳躍拆分能進(jìn)一步提升跳躍的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力。

表8 HAR模型樣本外滾動(dòng)預(yù)測(cè)的損失函數(shù)結(jié)果

注：損失函數(shù)值為標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程是以HAR-RV作為基準(zhǔn)模型，將其余模型的損失函數(shù)值除以HAR-RV損失函數(shù)值?；疑尘氨硎驹诟鹘M預(yù)測(cè)模型中損失函數(shù)值最小者，加粗?jǐn)?shù)據(jù)表示所有預(yù)測(cè)模型中損失函數(shù)值最小者。

(5)以HAR-RV、HAR-RV-CJ和HAR-RV-SJ為代表的三組模型，在表8中損失函數(shù)較小者主要集中在HARQ類模型，且在表9中MCS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量TR、TSQ較大的p值也集中在HARQ類模型。該結(jié)果說(shuō)明MedRQ單級(jí)糾偏比MedRQ多級(jí)糾偏具有更高的樣本外預(yù)測(cè)精度。該結(jié)論與樣本內(nèi)表現(xiàn)相反。

總體來(lái)看，樣本外預(yù)測(cè)中好壞波動(dòng)率的分解比連續(xù)與跳躍波動(dòng)分解的HAR建模表現(xiàn)更優(yōu)；MedRQ單級(jí)糾偏比多級(jí)糾偏表現(xiàn)更好；考慮符號(hào)跳躍與MedRQ單級(jí)糾偏的HARQ-RV-SJ模型是表現(xiàn)最佳的模型。

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于跳躍、好壞波動(dòng)率與符號(hào)跳躍構(gòu)建四組HAR模型，提出單級(jí)糾偏HARQ類模型和多級(jí)糾偏HARQF類模型，實(shí)證分析揭示股指期貨波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律，并采用MCS檢驗(yàn)來(lái)評(píng)估模型優(yōu)劣。HAR建模考察了兩種形式的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)分解：連續(xù)波動(dòng)與跳躍波動(dòng)、上漲半方差與下跌半方差?；谧钚』疢SE準(zhǔn)則確定最優(yōu)抽樣頻率，利用已實(shí)現(xiàn)核修正的ADS檢測(cè)法甄別跳躍，它對(duì)跳躍和噪音具有穩(wěn)健性。利用中位數(shù)已實(shí)現(xiàn)四次冪差MedRQ對(duì)四組HAR模型予以修正，建立HARQ類模型和HARQF類模型。本文彌補(bǔ)了四次冪差在國(guó)內(nèi)HAR波動(dòng)建模的空缺，豐富了跳躍、好壞波動(dòng)率、四次冪差在HAR波動(dòng)建模的理論，并揭示了股指波動(dòng)運(yùn)行規(guī)律。

表9 HAR類模型樣本外滾動(dòng)預(yù)測(cè)的MCS檢驗(yàn)結(jié)果

本文主要結(jié)論與啟示：(1)股指期貨已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)更依賴于連續(xù)波動(dòng)，而跳躍與正負(fù)跳躍具有負(fù)向波動(dòng)沖擊，即跳躍抑制未來(lái)波動(dòng)。因此，投資者宜減少在跳躍狀態(tài)下建新頭寸，否則較易陷入小幅波動(dòng)的行情風(fēng)險(xiǎn)。(2)好壞波動(dòng)率具有不對(duì)稱的波動(dòng)預(yù)測(cè)表現(xiàn)，壞波動(dòng)率具有正向波動(dòng)沖擊，而好波動(dòng)率具有負(fù)向沖擊。因此，股指期貨大幅上漲后易構(gòu)筑小波動(dòng)行情，而大幅下跌后易跟隨大波動(dòng)行情。(3)度量波動(dòng)不對(duì)稱性的符號(hào)跳躍，具有負(fù)向波動(dòng)沖擊，其深層內(nèi)涵是在單邊上漲或下跌行情后，股指期貨大概率進(jìn)入窄幅行情，如交易密集區(qū)。(4)樣本內(nèi)外預(yù)測(cè)均表明，好壞波動(dòng)分解比連續(xù)與跳躍波動(dòng)分解在HAR建模中表現(xiàn)更優(yōu)。(5)已實(shí)現(xiàn)四次冪差MedRQ能夠顯著提升HAR類模型的樣本內(nèi)外預(yù)測(cè)能力。與樣本內(nèi)預(yù)測(cè)相反，在樣本外預(yù)測(cè)中單級(jí)糾偏HARQ類模型比多級(jí)糾偏HARQF類模型表現(xiàn)更優(yōu)，且考慮符號(hào)跳躍的HARQ-RV-SJ模型表現(xiàn)最佳。

股指期貨是中國(guó)資本市場(chǎng)最重要的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖工具，其波動(dòng)性研究仍有待深入。考慮波動(dòng)性的量化策略與風(fēng)險(xiǎn)管理是進(jìn)一步研究工作。本研究對(duì)投資者和監(jiān)管層認(rèn)識(shí)股指期貨波動(dòng)規(guī)律與市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)具有意義。

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