一道“電磁感應(yīng)”易錯(cuò)題的解法探析及教學(xué)反思

王紅娟+薄宏超

摘要：應(yīng)用數(shù)學(xué)公式與圖象相結(jié)合的方法規(guī)范研究一道“電磁感應(yīng)”易錯(cuò)題目的兩種解法，分析易錯(cuò)原因并提出教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；柯西不等式；均值不等式；教學(xué)反思

題目如圖1所示，水平地面上方矩形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩個(gè)邊長(zhǎng)相等、質(zhì)量不等的相同材料制成的單匝閉合正方形線圈Ⅰ和Ⅱ，線圈Ⅰ粗細(xì)均勻，線圈Ⅱ粗細(xì)不均勻.兩線圈在距磁場(chǎng)上邊界h高處由靜止開(kāi)始自由下落，再進(jìn)入磁場(chǎng).運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線圈平面始終保持在豎直平面內(nèi)且下邊緣平行于磁場(chǎng)上邊界.兩線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中通過(guò)線圈Ⅰ和線圈Ⅱ的電荷量分別為q1、q2，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t1、t2.則（）

A.q1與q2可能相等B.q1一定大于q2

C.t1與t2可能相等D.t1一定大于t2

解析線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中通過(guò)線圈的電荷量q=It=ERt=ΔR=Bl2R，顯然通過(guò)兩線圈的電荷量大小關(guān)系由電阻決定，對(duì)于線圈Ⅰ，R=4ρlS（ρ為電阻率）；對(duì)于線圈Ⅱ，假設(shè)質(zhì)量較大，如果粗細(xì)均勻，則S=m4ρ′l（ρ′為密度）較大，R較小，q較大，即q1q2.顯然q1與q2可能相等，選項(xiàng)A對(duì)B錯(cuò).線圈先自由落體運(yùn)動(dòng)然后以相同的初速度進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中受到豎直向下的重力和豎直向上的安培力，依牛頓第二定律有a=g-B2l2vmR，可見(jiàn)兩個(gè)線圈質(zhì)量m的大小關(guān)系未知，電阻R的大小關(guān)系未知，所以加速度大小關(guān)系不能比較，t1與t2大小關(guān)系不能比較，選項(xiàng)C對(duì)D錯(cuò).故答案選擇AC.

高三復(fù)習(xí)過(guò)程中遇到此題，筆者所帶班級(jí)（本校尖子生班級(jí)）所有學(xué)生甚至很多一線老師的解題思路和參考答案無(wú)異，選擇AC，正確答案真的是AC嗎？上述解析中關(guān)于電荷量的分析是正確的，問(wèn)題出在了時(shí)間的比較.下面用均值不等式和柯西不等式兩種方法分析兩個(gè)線圈進(jìn)入磁場(chǎng)所用時(shí)間的關(guān)系.

方法一均值不等式

分析設(shè)線圈邊長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，電阻為R，電阻率為ρ，密度為ρ′，制作線圈所用導(dǎo)線橫截面積為S.

線圈開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間的速度v0=2gh

線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，受豎直向下的重力和豎直向上的安培力，規(guī)定向下為正方向，依牛頓第二定律有mg-B2l2vR=ma，得a=g-B2l2vmR.

對(duì)于線圈Ⅰ，m1R1=4ρ′lS1·4ρlS1=16ρ′ρl2

設(shè)想有一與線圈Ⅱ材料相同、邊長(zhǎng)相等、粗細(xì)均勻的線圈Ⅲ，

對(duì)于線圈Ⅲ，應(yīng)有m3R3=m1R1，所以a1=a3.

線圈Ⅰ與線圈Ⅲ運(yùn)動(dòng)情況完全相同，時(shí)間相同t1=t3.

現(xiàn)比較線圈Ⅱ和線圈Ⅲ進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)關(guān)系即可知線圈Ⅰ和線圈Ⅱ進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)關(guān)系.

對(duì)于粗細(xì)不均勻的線圈Ⅱ，假設(shè)導(dǎo)線是由n（趨近于正無(wú)窮的整數(shù)）段極短的長(zhǎng)度為Δl的導(dǎo)線連接而成，有n·Δl=4l，橫截面積分別為Sx1、Sx2…Sxn，

m2R2=m2·ρΔlSx1+ρΔlSx2+…+ρΔlSxn≥m2·nnρΔlSx1·ρΔlSx2…ρΔlSxn

當(dāng)且僅當(dāng)ρΔlSx1=ρΔlSx2=…=ρΔlSxn時(shí)不等式取“=”，即需要1Sx1=1Sx2=…=1Sxn=1S3

m2R2≥m2·n·ρ·ΔlS3=m2·4ρlS3=m3R3

所以m2R2≥m1R1

結(jié)合a=g-B2l2vmR定性作出線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中的v-t圖象，具體可分四種情況討論：

第一種情況，進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間g>B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2，所以a2>a1>0，兩線圈都做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖2所示.

第二種情況，進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間g=B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2，所以a2>a1=0，線圈Ⅰ勻速運(yùn)動(dòng)，線圈Ⅱ做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖3所示.

第三種情況，進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2>g，所以0>a2>a1，兩線圈都做加速度（大?。p小的減速運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖4所示.

第四種情況，進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間B2l2v0m1R1>B2l2v0m2R2=g，所以0=a2>a1，線圈Ⅰ做加速度（大?。p小的減速運(yùn)動(dòng)，線圈Ⅱ勻速運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖5所示.

根據(jù)“v-t圖象與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移”容易得出上述四種情況下：t1>t2

方法二柯西不等式

與方法一相同的分析過(guò)程略，以下只列出分析m2R2與m1R1大小關(guān)系部分.

設(shè)線圈Ⅱ的導(dǎo)線由n（趨近于正無(wú)窮的整數(shù)）段極短的長(zhǎng)度為lx1、lx2…lxn，對(duì)應(yīng)橫截面積分別為Sx1、Sx2…Sxn的導(dǎo)線連接而成，有4l=lx1+ lx2+…+lxn，

m2R2=ρ′ρ（lx1Sx1+lx2Sx2+…+lxnSxn）lx1Sx1+lx2Sx2+…+lxnSxn

依柯西不等式（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=…=anbn時(shí)，不等式取“=”.

m2R2≥ρ′ρlx1Sx1·lx1Sx1+lx2Sx2·lx2Sx2+…+lxnSxn·lxnSxn2

當(dāng)且僅當(dāng)Sx1=Sx2=…=Sxn時(shí)，即導(dǎo)線粗細(xì)均勻時(shí)上述不等式取“=”，

所以m2R2≥ρ′ρ（lx1+lx2+…+lxn）2=16ρ′ρl2，即m2R2≥m1R1.

綜上所述，此題的正確答案應(yīng)為AD.

為什么眾多的老師和學(xué)生會(huì)選擇AC呢？本題中，很多學(xué)生看到了兩線圈質(zhì)量m無(wú)法比較、電阻R無(wú)法比較，便急于選出答案，沒(méi)有對(duì)mR這一乘積的大小情況做出正確的分析與判斷.憑經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)做題已經(jīng)成為很多中學(xué)生的常用解題方法.遇到問(wèn)題，不能理性對(duì)待，不能準(zhǔn)確挖掘隱含條件，在沒(méi)有列出物理公式或數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程的情況下，倉(cāng)促下結(jié)論是失分的重要原因.在當(dāng)前激烈競(jìng)爭(zhēng)的大環(huán)境中，為避免學(xué)生無(wú)謂的失分，教學(xué)中還是應(yīng)該從考試大綱中要求的物理學(xué)科五大能力入手，著重關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、判斷、推理等理性思維能力.教學(xué)中要給學(xué)生獨(dú)立探究、思考的空間與時(shí)間，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與者，要積極參與到學(xué)生的思維活動(dòng)中去，但不能取代學(xué)生的思維過(guò)程.要讓學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)的產(chǎn)生、形成過(guò)程，從對(duì)現(xiàn)象的分析歸納中獲得對(duì)事物本質(zhì)的規(guī)律性認(rèn)識(shí).課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)與過(guò)程都應(yīng)時(shí)刻注重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、求真的態(tài)度.課堂的每一分鐘都應(yīng)踐行知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三維目標(biāo)的達(dá)成.