從一道題看絕對(duì)值符號(hào)的處理思路探析

陳傳春

摘要：含絕對(duì)值的問題，是高中數(shù)學(xué)試題中一類非常典型的試題，其處理的核心是圍繞如何巧處理絕對(duì)值這個(gè)符號(hào).本文以一道含絕對(duì)值的高考模擬試題為例，探析絕對(duì)值問題的處理思路和方法.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)； 絕對(duì)值； 思路探析

題目函數(shù)f1（x）=ex-2a+1，f2（x）=ex-a+1，若x∈a，+∞時(shí)，f2（x）≥f1（x），求a的取值范圍.

分析由題意f2（x）≥f1（x）對(duì)任意x∈a，+∞恒成立，ex-a+1≥ex-2a+1，借助指數(shù)函數(shù)的y=ex單調(diào)性，即x-a+1≥x-2a+1對(duì)任意x∈a，+∞恒成立.

關(guān)鍵：如何認(rèn)識(shí)和處理上式中的絕對(duì)值符號(hào)

思路1考慮絕對(duì)值的意義

解法1所謂代數(shù)意義就是a=a，a≥0-a，a<0 ，于是有了下面的解法：因?yàn)閤∈[a，+∞），所以x-a=x-a，所以原不等式轉(zhuǎn)化為x-2a+1≤x-a+1，去掉這個(gè)x-2a+1絕對(duì)值，應(yīng)考慮2a-1與a的大小，所以令2a-1=a得到a=1，所以

①當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)a≤2a-1，

（i）， a≤x≤2a-1時(shí)，x-a+1≥x-2a+1.即為3a-2≤2x∈2a，4a-2，所以3a-2≤2a，所以a≤2，所以1≤a≤2.

（ii）， x≥2a-1時(shí)，x-a+1≥x-2a+1.即為-a≤0恒成立.

綜合（i），（ii）可得1≤a≤2.

②當(dāng)a<1時(shí)，此時(shí)a>2a-1，x-a+1≥x-2a+1.即為-a≤0，即a≥0，所以0≤a<1.

綜上所述，a的取值范圍是0，2

解法2幾何意義，所謂幾何意義就是a-b表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a，b的兩點(diǎn)之間的距離，于是有了下面的解法：x-a+1≥x-2a+1可轉(zhuǎn)化為x-2a+1-x-a≤1，x-2a+1-x-a表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)到坐標(biāo)分別為2a-1和a的兩點(diǎn)距離之差，無論2a-1和a的大小如何，x-2a+1-x-a∈-a-1，a-1，x-2a+1-x-a≤1成立只需a-1≤1成立，解得a的取值范圍是0，2.

思路2考慮平方去絕對(duì)值

解法3優(yōu)先部分考慮絕對(duì)值的意義.原不等式轉(zhuǎn)化為x-2a+1≤x-a+1，因?yàn)閤∈a，+∞，不等式的左右兩側(cè)都是非負(fù)的，可以對(duì)不等式平方，整理后得到2ax≥3a2-2a※，①當(dāng)a>0，※可轉(zhuǎn)化為3a-2≤2x∈2a，+∞，所以3a-2≤2a，得到0

綜合①②③可知a的取值范圍是0，2.

值得注意的是：平方要注意不等式兩側(cè)非負(fù).

思路3考慮絕對(duì)值的等價(jià)轉(zhuǎn)化

解法4形如f（x）≤g（x）可轉(zhuǎn)化為-g（x）≤f（x）≤g（x）；形如f（x）≥g（x）可轉(zhuǎn)化f（x）≥g（x）或者f（x）≤-g（x）.于是有了下面的解法：在優(yōu)先部分考慮絕對(duì)值的意義時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為x-2a+1≤x-a+1，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

a-x-1≤x-2a+1≤x-a+1.所以3a-2≤2x-a≤0 對(duì)任意x∈a，+∞恒成立，所以3a-2≤2aa≥0 解的a的取值范圍是0，2.

思路4考慮絕對(duì)值進(jìn)行放縮

解法5對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有a-b≤a±b≤a+b，于是有了下面的解法.對(duì)于x-2a+1-x-a≤1，x-2a+1-x-a≤x-2a+1-（x-a）=a-1.

所以只需a-1≤1成立，解得a的取值范圍是0，2.

總之，從以上問題可以看出，絕對(duì)值的問題無外乎上面幾種常見處理思路，平常遇到絕對(duì)值的問題，這當(dāng)中涉及的主要數(shù)學(xué)思想和方法有：分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合，分離參數(shù)等，自己要多加體會(huì)不同的思路和注意點(diǎn)，才能理解這幾種思路的內(nèi)涵和本質(zhì).為有效解決絕對(duì)值問題提供廣闊的空間.

參考文獻(xiàn)：

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[2]溫浩然 含兩個(gè)及以上絕對(duì)值不等式的數(shù)軸解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 ，2015（27）：41.