幾類(lèi)特殊矩陣求逆矩陣的方法研究

陳瑞，王二民

(鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100 )

1 n階循環(huán)矩陣[1]

1.1 n階循環(huán)矩陣基本列

1.2 n階循環(huán)矩陣[2]

設(shè)a0,a1,…,an-1是任意復(fù)數(shù),稱(chēng)n階矩陣

(1)

是以a0,a1,…,an-1為元素的n階循環(huán)矩陣. 令

f(x)=a0+a1x+…+anxn-1

(2)

則

(3)

1.3 n階循環(huán)矩陣的行列式

引理[3]設(shè)A是復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)n階矩陣,λ1,λ2,…,λn是A的全部特征根,f(x)是C上任意一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式,那么f(λ1),f(λ2),…,f(λn)是f(A)的全部特征根.

定理：設(shè)a0,a1,…,an-1是任意復(fù)數(shù),則

(4)

其中ω1,ω2,…,ωn是全部次單位根,且多項(xiàng)式

f(x)=a0+a1x+…+anxn-1

(5)

證明：因?yàn)锳=f(P)=a0E+a1P+…+an-1Pn-1((E是n階單位陣),

所以

A=f(P)

(6)

而P的全部特征根為所有n次單位根ω1,ω2,…,ωn,根據(jù)引理可得f(P)即A的全部特征根為f(ω1),f(ω2),…,f(ωn),故

A=f(P)=f(ω1)f(ω2)…f(ωn)

(7)

1.4 n階循環(huán)矩陣可逆的判定

最常用的n階循環(huán)矩陣可逆的兩個(gè)判定方法：

1.n階循環(huán)矩陣

A=f(P)=a0E+a1P+…+an-1Pn-1

(8)

可逆的充要條件是A≠0,即f(ω1)f(ω2)…f(ωn)≠0,這里ω1,ω2,…,ωn是全部n次單位根.

2.n階循環(huán)矩陣A可逆的充要條件是f(ωi)≠0(i=1,2,…,n),其中ω1,ω2,…,ωn為全部n次單位根.

1.5 n階循環(huán)矩陣求逆矩陣的方法

在給出n階循環(huán)矩陣逆矩陣的具體求法前，先給出如下定理：

證明：已知A=a0E+a1P+…+an-1Pn-1,假設(shè)存在B=x0E+x1P+x2P2+…+xn-1Pn-1(B為n階循環(huán)矩陣),使得AB=BA=En(En為n階單位矩陣),而

AB= (a0E+a1P+ … +an-1Pn-1)(x0E+x1P+x2P2+ … +xn-1Pn-1)

=(a0x0+an-1x1+…+a1xn-1)En+(a1x0+a0x1+…+a2xn-1)P

+…+(an-1x0+an-2x1+…+a0xn-1)Pn-1

=En

(9)

故

(10)

因?yàn)锳,=A≠0,所以線性方程組(10)有唯一解，即A存在唯一的逆矩陣B，且B亦是n階循環(huán)陣.根據(jù)上述定理可得求n階循環(huán)矩陣A的逆矩陣的方法.

設(shè)A-1=x0E+x1P+x2P2+…+xn-1Pn-1,其中系數(shù)(x0,x1,x2,…,xn-1)T即線性方程組(1)存在的唯一解(b0,b1,…,bn-1)T.

3 整數(shù)環(huán)矩陣

3.1 定義[4]

設(shè)M={A:A= (ai j)M×Nai j∈Z} ,M即為整數(shù)環(huán)上矩陣.在M中定義矩陣的加法和乘法,M對(duì)這兩種運(yùn)算封閉.設(shè)A為整數(shù)環(huán)上的矩陣,若存在整數(shù)環(huán)上矩陣B,滿足AB=BA=E(E為Z上的單位矩陣),則稱(chēng)矩陣A整可逆，且B=A-1.

3.2 基本性質(zhì)

1.若A∈M，則A*∈M.

2.整初等矩陣的乘積仍是整初等矩陣.

3.對(duì)A施行一次行(列)整初等變換，即在A的左(右)邊乘一個(gè)整初等矩陣.

(11)

即k=2時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)k

(12)

由于(a1,a2,...,an)=(a1,(a2,...,an)),設(shè)(a2,...,an)=d1,由歸納假設(shè)有

(13)

即k=n時(shí)結(jié)論成立.

3.3 整數(shù)環(huán)矩陣可逆的判定

1.detA=±1,矩陣A在整數(shù)環(huán)上可逆。

證明：若detA=±1,則A在實(shí)數(shù)域R上可逆,且A-1=A*,由于A∈M,故A*∈M,從而A-1∈M,即A在整數(shù)環(huán)上可逆.

2.整初等矩陣是整可逆的.

3.A可表示成P(i,j)及P(i,j(k))這一類(lèi)整初等矩陣的乘積,則A可逆.

證明: 由于detP(i,j)=±1及detP(i,j(k))=±1，所以detA=±1，

故A整可逆.

4.設(shè)A是n階(n>2)非零方陣,A*是A的伴隨矩陣,A*=±AT,則A整可逆.

證明：因AA*=detAE,且A*=±AT,故A(±AT)=detAE,不妨設(shè)A*=AT,則

(14)

由于ai j是實(shí)數(shù),所以A=0,這與A非零矛盾,所以A=1,即A可逆.

3.4 整數(shù)環(huán)矩陣求逆矩陣的方法

整數(shù)環(huán)矩陣求逆矩陣的常用方法是整初等變換法,以下通過(guò)實(shí)例給出這種方法的具體過(guò)程.

(16)

故

(17)

4.復(fù)數(shù)矩陣求逆矩陣的方法

4.1 矩陣是實(shí)、虛部矩陣均可逆的復(fù)數(shù)矩陣時(shí)，逆矩陣的求法

設(shè)C是一個(gè)n階復(fù)數(shù)矩陣,將C寫(xiě)成C=A+iB,其中實(shí)部矩陣A、虛部矩陣B均是n階可逆矩陣.由于

I=(AB-1+BA-1)(AB-1+BA-1)-1=(A+iB)(B-1-iA-1)(AB-1+BA-1)-1，

(B-1-iA-1)(AB-1+BA-1)-1=(B-1-iA-1)[B(B-1AB-1+A-1)]-1

=(B-1-iA-1)(BB-1)(B-1AB-1+A-1)-1B-1

=(B-1B-iA-1B)[B(B-1AB-1+A-1)B]-1

=(I-iA-1B)(A+BA-1B)-1=(A+BA-1B)-1-iA-1B(A+BA-1B)-1

(18)

則復(fù)數(shù)矩陣的逆矩陣為C-1=(A+iB)-1=(A+BA-1B)-1-iA-1B(A+BA-1B)-1.

4.2 矩陣是實(shí)部可逆,虛部可分解成兩個(gè)向量乘積的復(fù)數(shù)矩陣時(shí)，逆矩陣的求法

對(duì)復(fù)數(shù)矩陣C=A+iuvT(A是n階可逆矩陣,u,v∈Rn),當(dāng)ivTA-1u≠-1時(shí),由于

(19)

(20)

(21)

利用(21)式可求實(shí)部矩陣是可逆矩陣,虛部矩陣可分解為2個(gè)向量乘積的復(fù)數(shù)矩陣的逆矩陣.

[1]賈璐,姚光同.有關(guān)循環(huán)矩陣的行列式計(jì)算與應(yīng)用[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,18(2)：131-132.

[2]張愛(ài)萍.循環(huán)矩陣的性質(zhì)與對(duì)角化[J].廣西師范學(xué)院院報(bào)(自然科學(xué)出版社),2000,4.

[3]楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解下冊(cè)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2003.

[4]劉文斌.可逆整數(shù)陣的一種標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用[J].高等教育研究,2003,(3):40-41.