經(jīng)歷過(guò)程，初步建立模型思想

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)原型經(jīng)抽象之后形成的，是對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)描述?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2001年版）》將模型思想列為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容，可見(jiàn)其在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的地位和作用。雖然模型思想注重建立模型的過(guò)程，但在小學(xué)階段，更關(guān)注讓學(xué)生親歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程。因此，教學(xué)中要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的模型思想，并有意識(shí)地將其滲透在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，使學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程，初步建立模型思想。

一、深入挖掘教材，滲透模型思想

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型主要是指用字母、數(shù)字或其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的數(shù)量關(guān)系、方程、圖表等抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，小學(xué)生一般都是用已經(jīng)被證明了的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的，無(wú)需去構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型。換句話說(shuō)，抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都可以看作數(shù)學(xué)模型，但其本身并不具備幫助學(xué)生感悟并形成模型思想的功能。因?yàn)槟Ｐ退枷胧窃跀?shù)學(xué)建模的過(guò)程中形成和發(fā)展，即在遇到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)找不到現(xiàn)成的解決方法，須要通過(guò)構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型使問(wèn)題得到解決。教學(xué)中，要充分挖掘教材中蘊(yùn)含的模型思想，并在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，給學(xué)生以模型思想的熏陶。例如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”單元的第2課時(shí)，例題是■+■+■+■，“練一練”第1題是“■+■+■+■+■+■+■”。如果僅從例題看，似乎談不上模型思想的滲透，但若把例題和“練一練”聯(lián)系起來(lái)考慮，其中所蘊(yùn)含的模型思想就顯而易見(jiàn)了。因?yàn)橛?jì)算“練一練”需要對(duì)這一類算式有一個(gè)結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，即建立一個(gè)具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題得以解決。教學(xué)時(shí)我們不仿從數(shù)學(xué)建模的角度去設(shè)計(jì)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在感悟轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，探索并發(fā)現(xiàn)算式中蘊(yùn)含的規(guī)律，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題。這不但可以使學(xué)生對(duì)問(wèn)題本身獲得更深刻地理解，而且可以使學(xué)生深切體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，初步獲得模型思想。

二、充分利用經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷建模過(guò)程

學(xué)生在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到需要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的問(wèn)題，或多或少地積累了一些的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，只不過(guò)這些經(jīng)驗(yàn)還處于非結(jié)構(gòu)性的狀態(tài)，不易被檢索和提取。而學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)又總是建立在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之上的，很多時(shí)候獲取新知識(shí)的過(guò)程就是利用已有經(jīng)驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。因此，教學(xué)中要善于利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們對(duì)已經(jīng)積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行抽象和概括，使之成為形式化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)的“常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系”一課，很多教師認(rèn)為學(xué)生對(duì)單價(jià)、速度這兩組數(shù)量關(guān)系已經(jīng)非常熟悉，不須再花時(shí)間去講解，教學(xué)時(shí)往往忽視數(shù)量關(guān)系的抽象，而把重點(diǎn)放在諸如復(fù)合單位讀、寫等枝節(jié)問(wèn)題上。事實(shí)上，讓學(xué)生經(jīng)歷將一類數(shù)量關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程才是本課的重點(diǎn)。

教學(xué)時(shí)出示例題的場(chǎng)景圖（圖1）：

首先引導(dǎo)學(xué)生從例題中得到兩個(gè)具體的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合自己的購(gòu)物經(jīng)歷列舉一些類似的數(shù)量關(guān)系，接著指出“像這樣每支、每本、每塊、每米……的價(jià)錢，都可以稱為單價(jià)；鋼筆的支數(shù)、練習(xí)本的本數(shù)、蛋糕的塊數(shù)、橡皮筋的米數(shù)……都可以稱為數(shù)量；買鋼筆、買練習(xí)本、買蛋糕、買橡皮筋……的總價(jià)錢都可以稱為總價(jià)”。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生討論總價(jià)與單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系。這就清晰展現(xiàn)了把一類數(shù)量關(guān)系抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，使學(xué)生在理解單價(jià)模型的同時(shí)，深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程，感受常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)與應(yīng)用價(jià)值，初步形成模型思想。

三、精心設(shè)計(jì)活動(dòng)，感悟模型思想

經(jīng)歷建立和求解模型的過(guò)程是學(xué)生感悟和建立模型思想的必然途徑。雖然小學(xué)階段學(xué)生一般不須要通過(guò)數(shù)學(xué)建模去解決問(wèn)題，但在新知識(shí)教學(xué)中，我們可以用“問(wèn)題—探究—建?！獞?yīng)用（解釋）”的模式組織學(xué)生的探究活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)字、字母等數(shù)學(xué)符號(hào)表示其數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過(guò)程，并在這一過(guò)程中初步感悟數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，建立模型思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，創(chuàng)設(shè)了王大伯要在平行四邊形菜地上種番茄的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出關(guān)于平行四邊形面積計(jì)算的問(wèn)題。由于教師“放”得充分，引導(dǎo)學(xué)生先討論平行四邊形的面積與什么有關(guān)，再自主探尋平行四邊形面積計(jì)算方法，學(xué)生對(duì)要解決的問(wèn)題展開(kāi)個(gè)性化的思考，進(jìn)而從不同角度構(gòu)造出平行四邊形面積計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。

一是自主建構(gòu)，舉例研究。（出示圖2）先在方格紙上畫(huà)幾個(gè)平行四邊形，再數(shù)方格求出面積。發(fā)現(xiàn)每個(gè)平行四邊形的面積都等于底乘高，所以平行四邊形面積等于底乘高。

二是自主建構(gòu)，實(shí)驗(yàn)研究。第一種是先用紙剪一個(gè)平行四邊形（邊說(shuō)邊演示，如圖3），像這樣沿高剪開(kāi)，再把剪下的三角形平移過(guò)來(lái)，平行四邊形就轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形，平行四邊形的底相當(dāng)于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形面積等于底乘高。第二種是沿中間一條高剪的，結(jié)果也發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積等于底乘高。

三是自主建構(gòu)，圖示研究。畫(huà)很多個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形，就得到一個(gè)近似的平行四邊形，因?yàn)檫@些長(zhǎng)方形寬的和等于平行四邊形的高，長(zhǎng)等于平行四邊形的底，它們面積的和等于近似的平行四邊形的面積，所以平行四邊形面積等于底乘高。

這些模型的建立，充滿了智慧的方法，生長(zhǎng)于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之中，是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的成果，也是學(xué)生“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)例證。其中，數(shù)方格的方法，依據(jù)的是一個(gè)圖形中面積單位的個(gè)數(shù)就是它的面積；沿高剪開(kāi)再平移的方法，應(yīng)用的是等積變換的方法；用長(zhǎng)方形拼出近似平行四邊形的方法，體現(xiàn)了極限思想，其對(duì)以后探索圓的面積以及圓柱體積的計(jì)算方法，都將起到很好的借鑒作用。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要有意識(shí)地挖掘教材中滲透的模型思想，從數(shù)學(xué)建模的視角去設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷把生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及自主構(gòu)造數(shù)學(xué)模型并解釋與應(yīng)用的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，初步建立模型思想，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中，柳海民.素質(zhì)教育的根本目的與實(shí)施路徑 [J].教育研究，2007（8）.

[2] 張奠宙，唐彩斌.應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模 [J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2010（7、8）.

[3] 李樹(shù)臣.滲透數(shù)學(xué)模型思想的基本途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（10）.

[4] 孫政.小學(xué)數(shù)學(xué)思想怎么教[M].南京：江蘇鳳凰美術(shù)出版社，2016.

[5] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版） [S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]endprint