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    理清變化機理 參數(shù)刻畫運動

    2018-03-06 17:50:31漆光宗
    新高考·高一數(shù)學(xué) 2017年8期
    關(guān)鍵詞:所求刻畫斜率

    漆光宗

    運動、變化是絕對的,而靜止、不變是相對的,對許多解析幾何中的變化型問題,如果能認(rèn)真地分析運動變化的機理及相互制約的因素,看看是誰引起了運動和變化,就將其作為參數(shù)引入,這個參數(shù)往往可以作為橋梁,溝通著主要變量之間的聯(lián)系,明確變量之間的函數(shù)關(guān)系.參數(shù)的變化引起運動,運動就可以由參數(shù)來刻畫.這樣就可以把變化中的量轉(zhuǎn)化為參數(shù)的變化,從而使問題的解決變得豁然開朗.

    經(jīng)過定點M(x0,y0)的直線l的點斜式方程為:y-y=k(x-x0),若把斜率k看成參數(shù),則不同的k值對應(yīng)著經(jīng)過點M的不同的直線,因此方程就可以表示jL經(jīng)過點M的除去直線x=x0。(斜率不存在)的所有的直線.從運動的角度看,k的變化引起了直線l的轉(zhuǎn)動.特別地:方程y=kx+b(k為參數(shù),b為常數(shù))則表示經(jīng)過定點(O,6)的除去直線x=0的所有直線.

    例1 當(dāng)直線l經(jīng)過點P(3,2)且與x,y軸正半軸交于A,B兩點,點0是坐標(biāo)原點,當(dāng)△OAB面積最小時求直線Z的方程.

    分析 經(jīng)過點P(3,2)的直線有無數(shù)多條,由于斜率k的變化引起了直線的轉(zhuǎn)動,從而引起△OAB面積的變化,因此可以引入?yún)?shù)k,△OAB面積就可以表示成關(guān)于k的函數(shù)f(k),這樣問題就轉(zhuǎn)化為探求函數(shù)f(x)取得最小值時k的取值,從而寫出所求直線l的方程.

    例2 求與直線3x+4y+l=0平行且過點(1,2)的直線l的方程.

    解 設(shè)與3x+4V+l=0平行的直線l方程為3x+4y+A—O,

    點(1,2)在直線上,則3×1+4×2+λ一0,所以λ=-11,

    故所求直線方程為3x+4y-ll=0.

    從運動、變化的角度看,曲線可以看成由點的運動所形成,當(dāng)生成曲線的動點P(稱為被動點)隨著另一動點Q(稱為主動點)的運動而有規(guī)律地運動,且Q又落在一給定的曲線C上時,可以把點Q看成參數(shù)(稱為點參數(shù)),只需根據(jù)條件去尋找表示P,Q兩點間規(guī)律的表達式,然后將Q點的兩個坐標(biāo)分別用P點的坐標(biāo)來表示,再把Q點的坐標(biāo)代入曲線C的方程.從而得到被動點P的坐標(biāo)之間的關(guān)系,即所求曲線的方程.

    例3 (人教版必修二P129例5)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.

    分析 如圖2,點M為什么運動?是因為點A的運動引起的,因此可以把點A看成主動點(參數(shù)),點M看成被動點,要探求被動點M的軌跡方程即探求點M的坐標(biāo)(x,y)所滿足的關(guān)系式.而主動點A在已知圓上運動,點A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4.建立點M與點A坐標(biāo)之間的關(guān)系,就可以建立點M的坐標(biāo)滿足的條件,從而求出點M的軌跡方程.

    解 設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y),點A的坐標(biāo)是(x0,y0).由于點B的坐標(biāo)是(4,3),且M是線段AB的中點,所以x=(x0+4)/2,y=(y0+3)/2

    于是有x0=2x-4,y0=2y-3,

    因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4即(x0+l)2+y02=4,

    把①代入②,可得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,即(x-3/2)2+(y-3/2)2=1.

    所以,點M的軌跡是以(3/2,3/2)為圓心,半徑長是1的圓,

    參數(shù)是刻畫運動的好幫手——相信你通過上述的幾個例子已經(jīng)深有體會,通過參數(shù)來刻畫運動,不但可以揭示運動的本質(zhì)屬性,還能提高我們分析和解決幾何問題的能力.endprint

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