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    “解幾”入門 方法先行

    2018-03-06 17:49:12余建國
    新高考·高一數(shù)學(xué) 2017年8期
    關(guān)鍵詞:方程組切線代數(shù)

    余建國

    解析幾何(簡稱“解幾”)的本質(zhì)就是用代數(shù)的方法研究幾何問題.這里有兩個問題:一是研究什么幾何問題,二是何為代數(shù)方法.“解析幾何初步”中對直線與網(wǎng)的研究歷程清楚地說明了這兩個問題,并且為我們今后學(xué)習(xí)圓錐曲線奠定了基礎(chǔ).下面以圓為例,與同學(xué)們談?wù)勅绾瓮ㄟ^研究解析幾何的常見問題,把握解析幾何學(xué)習(xí)的典型方法,跨入解析幾何的大門.

    一、問題與方法

    “解析幾何初步”中,我們研究了直線和圓,這是平面中兩個最基本的圖形.正如前面研究直線——建立平面直角坐標(biāo)系求直線的方程,利用直線的方程研究直線的幾何性質(zhì)一樣,對于網(wǎng)的研究,我們同樣經(jīng)歷這兩個步驟.本期將重點(diǎn)研究圓的幾何性質(zhì).

    1.直線與圓的位置關(guān)系

    根據(jù)平面幾何知識,直線與網(wǎng)有相交、相切和相離三種位置關(guān)系,并且用同心到直線的距離(d)與圓的半徑(r)比較可得,而通過同心坐標(biāo)與直線方程計算這個距離就是解析幾何的“拿手好戲”了;我們還可以從解方程組(直線方程與網(wǎng)的方程聯(lián)立)——純粹的代數(shù)的角度,考察所得方程組的解的情況判別直線與網(wǎng)的關(guān)系.這兩種方法都體現(xiàn)了解析幾何在溝通代數(shù)與幾何上的橋梁作用.具體結(jié)論見表1.

    2.相交時的弦長問題

    當(dāng)直線l與網(wǎng)C相交時,連結(jié)兩個交點(diǎn)A,B的線段AB稱為圓的弦,

    從代數(shù)的角度看,只要通過解方程組求得兩個交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)(x1,y1),(x2,y2),利用兩點(diǎn)間的距離公式:求得距離,如果直線AB的斜率k存在的話,也可以寫成:

    3.相切時的切線問題

    直線與網(wǎng)相切,常見的問題是求切線方程,求切線長、范圍和最值等.

    從代數(shù)的角度看,直線與網(wǎng)相切時,△一0,這是一個方程,一般通過這個方程就能求解一個未知數(shù),例如切線的斜率(如果直線的斜率存在);而從幾何的角度看,直線與網(wǎng)相切時,d=r,同樣這個方程也能求解切線的斜率.特別地,在已知切點(diǎn)的情況下,利用切點(diǎn)與網(wǎng)心的連線與切線互相垂直,可以直接確定切線的斜率,課本上習(xí)題提供了這個問題的結(jié)論:

    4.圓與圓的位置關(guān)系

    將兩個圓的方程聯(lián)立,解所得方程組.若方程組沒有實數(shù)解,說明兩個網(wǎng)沒有交點(diǎn)(公共點(diǎn)),此時兩圓是相離,還是內(nèi)含就需要結(jié)合圖形來看,因此,純粹的解方程組手段就沒有表2的判斷方法簡潔,表中d是兩圓心01,Q2間的距離,R,r分別是兩圓半徑(R≥r).

    二、示例與思想

    在求解網(wǎng)的問題時,一方面,通過分析圖形,找出可以使用的幾何關(guān)系,并盡可能地將幾何語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言,用坐標(biāo)、方程等代數(shù)語言去表征、去求解;另一方面,由于在初中的平面幾何學(xué)習(xí)中,較多地了解了網(wǎng)的有關(guān)性質(zhì),因此充分利用網(wǎng)的已有的幾何性質(zhì),例如垂徑定理,實現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算的簡化,也是同學(xué)們需要感悟的解題思想.

    例 已知圓C:x2+y2+x-6y+m=0與直線l:x+2y-3=0相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓通過坐標(biāo)原點(diǎn)O,求實數(shù)m的值.

    分析一 “以AB為直徑的網(wǎng)通過坐標(biāo)原點(diǎn)0",一方面,轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言就是原點(diǎn)0(0,0)的坐標(biāo)滿足以AB為直徑的圓的方程,若設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,原點(diǎn)O在網(wǎng)上等價于(O-x1)(0-x2)+(0-y1)(O-y2) =O,即XlX2+y.Y2 =0;另一方面,這句話也等價于OA上OB,當(dāng)X1=O(y=0)或x2=0(y1=0)時,滿足x1x2+y1y2=O,當(dāng)x1·x2≠0時有kOA=y1/x1,kOB=y2/x2,由kOA1·kOB=-1得x1x2+y1y2=0,因此對所有A,B都滿足x1x2+y1y2=0,殊途同歸,

    分析二 從代數(shù)的角度想,求解一個未知數(shù)出,只需找到一個含m的方程,“算兩次”是典型的建立方程的方法.在圖1中,取線段AB中點(diǎn)M,由于CM⊥AB,可以求得直線CM的方程,從而得到M的坐標(biāo),于是OM長可求,由于OA⊥OB,而M是線段AB的中點(diǎn),所以O(shè)M=1/2AB—AM,另一方面,可以通過類似于求弦長的方法求得AM,于是建立方程OM=AM求得m

    略解二 取線段AB中點(diǎn)M,由CM-LAB可得直線CM的方程為2x-y+4=0,與AB方程聯(lián)立,得M(-1,2),所以Am2=OM2=5.

    另一方面,因為cM2=5/4,CA2=r2=37-4m,在Rt△ACM中,有AM2一r2CM2=8-m.所以8-m=5,解得M=3.

    反思 將幾何語言轉(zhuǎn)譯為代數(shù)語言,并通過代數(shù)(坐標(biāo)、方程)運(yùn)算解決幾何問題是解析幾何的本質(zhì)方法.而研究直線與網(wǎng)的位置關(guān)系時,涉及的二元二次方程組的處理方法也是將來進(jìn)一步研究圓錐曲線的通法.需要指出的是,由于我們在初中學(xué)習(xí)過網(wǎng)的幾何性質(zhì),如垂徑定理,因此解決直線與圓的位置時,也要盡可能地挖掘其平面幾何性質(zhì),這樣,需要轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言的部分越少,計算的量和障礙就越少,真正發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢.

    總之,同學(xué)們在學(xué)習(xí)直線與圓的幾何性質(zhì)的過程中,不僅要學(xué)會相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識,更重要的是領(lǐng)悟解析幾何的思想方法,發(fā)揮坐標(biāo)法研究問題的統(tǒng)一性、程序性和簡潔性,善于將幾何語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言,從不同的角度表征數(shù)學(xué)問題,從而尋求問題的解.

    鞏固練習(xí)

    1.過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為

    A. 2x+y-3=0

    B.2x-y-3=0

    C.4x-y-3=0

    D.4x+y-3=0

    2.過點(diǎn)(3,1)作網(wǎng)(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短的弦長為_______.endprint

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