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    品味類比,直覺與發(fā)敖

    2018-03-06 17:54:23常文武文江
    新高考·高一數(shù)學 2017年8期
    關鍵詞:等腰三角直覺形狀

    常文武+文江

    人與人相遇是緣,人與題目相遇也是緣.偶有學生來問:如何找m三種方法將正三角形切割為4個等腰三角形?

    師生討論出的答案如下:

    前兩種方法一目了然(但解讀有多種).第三種卻不易一眼發(fā)現(xiàn)水平線的具體位置.需申明水平切割線是過幾何對稱中心(重點).

    作為求教者,學生已經(jīng)釋然.作為老師卻感覺有必要繼續(xù)引申一番,于是追問:如果題目改為“找出將一個等腰三角形切割為4個等腰三角形的方法”,又將如何求解呢?

    請讀者類比一下:以上關于等邊三角形的結果是否可以行得通呢?

    第一種“聯(lián)結中點”法得到的是與初始等腰三角形相似的四個全等三角形,所以形狀保持了大三角形等腰的形狀;對第二種切法,利用直角三角形斜邊中線長等于斜邊一半的性質可輕易判定.(不過這只是一種解讀和推廣,讀者讀到文末白會領會)

    第三種方法就不敢保證了,

    調動直覺思維,如果等腰三角形比較“瘦”,似乎只要讓方法三的水平切割線下移一些就可以滿足要求.而對于“胖”的等腰三角形,應該上移那條水平切割線.總之,方法應該可行!

    那么如何找到切割位置呢?自然想到設未知數(shù)來解方程.

    對于圖2的等腰三角形,設BD長為未知數(shù)x.AB=AC=a,BC=b為已知數(shù).根據(jù)題設,DE= 2x,DE∥BC.利用相似,可得AD:AB=DE:BC,即a-x:a=2a:b.解得x=ab/(2a+b).

    既然第三套切法也有了推廣的解,問題似乎得到了“圓滿”解決:任何等腰三角形同樣能如同等邊三角形那樣有三種方法切割為4個等腰三角形.

    一個更大膽的問題冒出來了:這是全部的解嗎?

    本文第二作者利用對前面兩個切法的不同解讀,竟然義拓展產生了兩個“衍生產品”.請看圖3(不要忽略鈍角三角形也必須滿足條件).

    從圖3中可以看出,有一個切法是邊中點聯(lián)三角形的推廣,打破了只有聯(lián)結中點才行的“神話”.另外一個方法是“個”字型切割法,它是原先方法二的再推廣.改變了“個”字起筆(即為角平分線)在底邊的套路.

    這樣,針對新的問題“切等腰三角形為4個等腰三角形”一共找到了五種方法:倒三角切法二種,“個”字切法二種和K字切法一種.

    你還能找到其他解法嗎?

    看來哪怕是課本配套習題冊上面的普通題目,只要勤思考多動腦去發(fā)散思維,有趣又深刻的結果就有可能被你發(fā)現(xiàn).如果再把心得及時記錄下來寫成文字,你必定會在數(shù)學甚至語文學科上都取得驕人的成績.endprint

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